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Conceitos básicos de probabilidade Seção 3.1 Conceitos básicos de probabilidade

Experimento probabilístico: Termos importantes Experimento probabilístico: Lançar um dado. Ação por meio da qual se obtêm contagens, medições ou respostas. Espaço amostral: { 1 2 3 4 5 6 } O conjunto de todos os possíveis resultados. Evento: { Obter um número par } = { 2 4 6 } Basic Definitions are given first. Each concept is then illustrated. Subconjunto do espaço amostral. Resultado: {4} O resultado de uma única tentativa.

Outro experimento Experimento probabilístico: Ação por meio da qual se obtém contagens, medições ou respostas. Espaço amostral: O conjunto de todos os possíveis resultados. Evento: Subconjunto do espaço amostral. Resultado: O resultado de uma única tentativa. Escolher um carro da linha de produção. A quality control example utilizing the newly defined terms

Tipos de probabilidade Clássica (resultados igualmente prováveis) P(E) número de resultados em E número total de resultados no espaço amostral Empírica Freqüência no evento E P(E) Freqüência total A probabilidade de que a pressão sangüínea abaixe após a medicação. The three types of probability and an example for each. Formulas for classical and empirical probabilities are given. In classical probability all simple outcomes are equally likely. Subjetiva A probabilidade de que a linha telefônica esteja ocupada.

Três diagramas Início 36 resultados 1a jogada 2a jogada 1 2 3 4 5 6 Dois dados são jogados. Descreva o espaço amostral. 1a jogada 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Illustration of a tree diagram using the roll of two dice. 2a jogada 36 resultados

Espaço amostral e probabilidades Dois dados são jogados e sua soma é anotada. 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 The sum is 4 can be successful in 3 ways. P(4) = 3/36 = 1/12 = 0.083 The sum is 11 can be successful in 2 ways. P11) = 2/36 = 118 =0.056 Detemine a probabilidade de que a soma seja 4. 3/36 = 1/12 = 0,083 Determine a probabilidade de que a soma seja 11. 2/36 = 1/18 = 0,056 Determine a probabilidade de que a soma seja 4 ou 11. 5/36 = 0,139

Eventos complementares O complemento do evento E é o evento E´. E´ consiste em todos os resultados do espaço amostral que não estejam incluídos no evento E. E E´ P(E´) = 1 – P(E) A produção diária é de 12 carros, 5 dos quais são defeituosos. Se um carro for selecionado ao acaso, determine a probabilidade de que ele não seja defeituoso. Sometimes it is easier to calculate the probability that an event won’t happen. Then subtract from 1 to find the probability that it will Solução: P(defeituoso) = 5/12 P(não defeituoso) = 1 – 5/12 = 7/12 = 0,583

Probabilidade condicional e a regra da multiplicação Seção 3.2 Probabilidade condicional e a regra da multiplicação

Probabilidade condicional A probabilidade de um evento B ocorrer, dado (ou na condição de) que outro evento A já ocorreu. Escrevemos essa situação como P(B|A) e lemos “a probabilidade de B, dado A”. Dois carros são selecionados em uma linha de produção com 12 carros, 5 deles defeituosos. Qual é a probabilidade de o segundo carro ser defeituoso, dado que o primeiro carro era defeituoso? 2 illustrations for conditional probability, one with dependent events the other with independent events. Dado que um carro defeituoso já foi selecionado, o espaço amostral condicional possui 4 carros defeituosos entre 11. Logo, P(B|A) = 4/11.

Eventos independentes Dois dados são lançados. Determine a probabilidade de sair 4 no segundo, dado que no primeiro já saiu 4. Espaço amostral original: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Dado que no primeiro dado saiu 4, o espaço amostral condicional é: {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2 illustrations for conditional probability, one with dependent events the other with independent events. Note that knowing what happens on the first die, does not affect the probability of rolling a 4 on the second. Logo, a probabilidade condicional, P(B|A) = 1/6

Eventos independentes Dois eventos A e B são independentes se a probabilidade de ocorrência do evento B não é afetada pela ocorrência (ou não-ocorrência) do evento A. A = ser mulher. B = ter sangue tipo O. A = 1o filho ser menino. B = 2o filho ser menino. Dois eventos que não são independentes são dependentes. Intuitive examples for pairs of independent events and pairs of dependent events A = tomar uma aspirina por dia. B = ter um ataque do coração. A = ser mulher. B = ter menos de 1,62 m.

Eventos independentes Se os eventos A e B são independentes, P(B|A) = P(B) Probabilidade condicional Probabilidade Entre os 12 carros de uma linha de produção, 5 têm defeito e 2 são selecionados ao acaso. A = o primeiro carro é defeituoso. B = o segundo carro é defeituoso. A probabilidade de o segundo carro ser defeituoso depende de o primeiro ter ou não defeito. Os eventos são dependentes. Distinguish between 2 events that are independent and 2 events that are dependent. Dois dados são lançados. A = sair 4 no primeiro e B = sair 4 no segundo. P(B) = 1/6 e P(B|A) = 1/6. Os eventos são independentes.

Tabela de contingência Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eles gostavam de um novo suco. Os resultados estão a seguir. Omaha Seattle Miami Total Sim 100 150 150 400 Não 125 130 95 350 Não sabe 75 170 5 250 Total 300 450 250 1.000 Uma das respostas é selecionada ao acaso. Determine: A 3 by 3 contingency table 1. P(sim) 2. P(Seattle) 3. P(Miami) 4. P(não, dado Miami)

Soluções Omaha Seattle Miami Total Sim 100 150 150 400 Não 125 130 95 350 Não sabe 75 170 5 250 Total 300 450 250 1.000 1. P(sim) 2. P(Seattle) 3. P(Miami) 4. P(não, dado Miami) = 400/1.000 = 0,4 Notice how the sample space changes when an event is “given”. = 450/1.000 = 0,45 = 250/1.000 = 0,25 = 95/250 = 0,38 Respostas: 1) 0,4 2) 0,45 3) 0,25 4) 0,38

Regra da Multiplicação Para determinar a probabilidade de que dois eventos, A e B, ocorram em seqüência, multiplique a probabilidade de A ocorrer pela probabilidade condicional de B ocorrer, dado que A já ocorreu. P(A e B) = P(A) x P(B|A) Dois carros são selecionados em uma linha de produção com 12 unidades, 5 delas defeituosas. Determine a probabilidade de ambos os carros serem defeituosos. A = o 1o carro é defeituoso. B = o 2o carro é defeituoso. P(A) = 5/12 P(B|A) = 4/11 P(A e B) = 5/12 x 4/11 = 5/33 = 0,1515

Regra da Multiplicação Dois dados são lançados. Determine a probabilidade de sair 4 em ambos. A = sair 4 no primeiro dado e B = sair 4 no segundo dado. P(A) = 1/6 P(B|A) = 1/6 P(A e B) = 1/6 x 1/6 = 1/36 = 0,028 Quando dois eventos A e B são independentes, P(A e B) = P(A) x P(B) Observe que para eventos independentes P(B) e P(B|A) são as mesmas.

Seção 3.3 A Regra da Adição

Compare “A e B” a “A ou B” O evento composto “A e B” significa que tanto A quanto B ocorreram na mesma tentativa. Para definir P(A e B), usa-se a Regra da Multiplicação. O evento composto “A ou B” significa que A pode ocorrer sem B, assim como B pode ocorrer sem A, ou ainda tanto A quanto B podem ocorrer. Para definir P(A ou B), usa-se a Regra da Adição. A B A B A ou B A e B

Eventos mutuamente exclusivos Dois eventos, A e B, serão mutuamente exclusivos se não puderem ocorrer na mesma tentativa. A = ter menos de 21 anos. B = estar concorrendo ao Senado dos Estados Unidos. A = ter nascido na Filadélfia. B = ter nascido em Houston. Exclusão mútua A B P(A e B) = 0 Se o evento A ocorre, isso exclui o evento B da tentativa.

Eventos não mutuamente exclusivos Se dois eventos podem ocorrer na mesma tentativa, eles não são mutuamente exclusivos. A = ter menos de 25 anos. B = ser um advogado. A = ter nascido na Filadélfia. B = ver West wing na TV. A e B Sem exclusão mútua P(A e B) ≠ 0 A B

A Regra da Adição A probabilidade de que um ou outro dos dois eventos ocorram é: P(A) + P(B) – P(A e B) Uma carta é tirada de um baralho. Determine a probabilidade de ser um rei ou ser de naipe vermelho. A = a carta é um rei. B = a carta é vermelha. P(A) = 4/52 e P(B) = 26/52 mas P(A e B) = 2/52 P(A ou B) = 4/52 + 26/52 – 2/52 = 28/52 = 0,538

Quando os eventos são mutuamente exclusivos, A Regra da Adição Uma carta é tirada de um baralho. Determine a probabilidade de a carta ser um rei ou um 10. A = a carta é um rei. B = a carta é um 10. P(A) = 4/52 e P(B) = 4/52 e P(A e B) = 0/52 P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0/52 = 8/52 = 0,054 Quando os eventos são mutuamente exclusivos, P(A ou B) = P(A) + P(B)

Tabela de contingência Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eles gostavam de um novo suco. Os resultados estão a seguir. Omaha Seattle Miami Total Sim 100 150 150 400 Não 125 130 95 350 Não sabe 75 170 5 250 Total 300 450 250 1.000 Uma das respostas é selecionada ao acaso. Determine: 1. P(Miami e sim) 2. P(Miami e Seattle) 3. P(Miami ou sim) 4. P(Miami ou Seattle)

Tabela de contingência Omaha Seattle Miami Total Sim 100 150 150 400 Não 125 130 95 350 Não sabe 75 170 5 250 Total 300 450 250 1.000 Uma das respostas é selecionada ao acaso. Determine: = 250/1.000 • 150/250 = 150/1.000 = 0,15 1. P(Miami e sim) 2. P(Miami e Seattle) = 0

Tabela de contingência Omaha Seattle Miami Total Sim 100 150 150 400 Não 125 130 95 350 Não sabe 75 170 5 250 Total 300 450 250 1.000 3. P(Miami ou sim) 4. P(Miami ou Seattle) 250/1.000 + 400/1.000 – 150/1.000 = 500/1.000 = 0,5 250/1.000 + 450/1.000 – 0/1.000 = 700/1.000 = 0,7

P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) Resumo Para eventos complementares P(E') = 1 – P(E) Subtraia, de um evento, a probabilidade do outro. Probabilidade de que ambos os eventos ocorram P(A e B) = P(A) • P(B|A) Multiplique a probabilidade do primeiro evento pela probabilidade condicional de que o segundo evento ocorra, dado que o primeiro já ocorreu. Probabilidade de que pelo menos um dos eventos ocorra P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) Some as probabilidades simples; para evitar contagem dupla, não se esqueça de subtrair a probabilidade de que ambos ocorram.

Princípios da contagem Seção 3.4 Princípios da contagem

Princípio Fundamental da Contagem Se um evento pode ocorrer de m maneiras e um segundo evento pode ocorrer de n maneiras, o número de maneiras pelas quais os dois eventos podem ocorrer em seqüência é m • n. Essa regra pode ser estendida para qualquer número de eventos que ocorram em seqüência. Se uma refeição consiste em duas opções de sopa, três de prato principal e duas de sobremesa, quantas refeições diferentes podem ser compostas? Sobremesa Sopa Principal The probability of ordering a particular soup and particular main dish and a particular desert is 1/12 or 0.083 Início 2 • 3 • 2 = 12 refeições

Fatoriais Suponha que você queira colocar n objetos em ordem. Há n opções para o primeiro lugar. Restarão n – 1 opções para o segundo, depois n – 2 opções para o terceiro e assim por diante, até que, no último lugar, não vai mais haver opções. Com base no Princípio Fundamental da Contagem, o número de maneiras em que n objetos podem ser arranjados é: n(n – 1)(n – 2)…1 Essa expressão chama-se n fatorial e escreve-se n!.

O número de permutações para n objetos é n! Uma permutação é um arranjo ordenado. O número de permutações para n objetos é n! n! = n (n – 1) (n – 2) ... 3 • 2 • 1 O número de permutações de n objetos, tomando-se r a cada vez (onde r  n), é: Você precisa ler cinco livros de uma lista de oito. Em quantas seqüências diferentes você pode fazê-lo? Emphasize that in counting permutations, order is important. 6.720 Há 6.720 permutações de oito livros para se lerem cinco.

Combinações Uma combinação é uma seleção de r objetos em um grupo de n objetos. O número de combinações de n objetos, tomando-se r a cada vez, é: Você precisa ler cinco livros de uma lista de oito. De quantas maneiras você pode escolher os livros se a ordem não importar? In counting combinations, order does not matter. An object is either selected or it is not. Há 56 combinações de 8 objetos tomando-se 5.

2 4 1 3 Combinações de 4 objetos escolhendo-se 2 1 2 1 3 4 1 2 3 The next two slides show the difference between permutations and combinations. With 4 objects, there are 6 ways to chose 2 without regard to order. 4 3 2 4 Cada um dos seis grupos representa uma combinação.

2 4 1 3 Permutações de quatro objetos escolhendo-se dois 1 2 1 2 1 3 1 3 4 4 1 1 2 2 3 3 If order is important, there are 12 ways of arranging 4 objects, choosing 2. If there are r members in each subset, then each subset can be arranged in r! ways. In this case there are 2 members in each subset so each subset (combination) can be arranged in 2! = 2*1 = 2 ways 4 4 3 3 2 2 4 4 Cada um dos 12 grupos representa uma permutação.