RADICAIS RECORDA PROPRIEDADE 1 Sejam a, b e c números reais. Se a < b, então a + c < b +c EXEMPLOS Sabendo que – 5 < 8, podemos afirmar que −12 157 −5< −12 157 +8 Sabendo que -3 > -7, podemos concluir que − 123 17 −3>− 123 17 −7

RECORDA PROPRIEDADE 2 Sejam a, b e c números reais. 2.A Se c > 0 tem-se: se a < b, então 𝑎×𝑐<𝑏 ×𝑐 2.B Se c < 0 tem-se: se a < b, então 𝑎×𝑐>𝑏×𝑐 EXEMPLOS Se – 3 < 9, podemos concluir que −3 × −2 4 <9 × −2 4 Se – 5 < 7, podemos concluir que −5 × −2 3 >7 × (−2) 3

MONOTONIA DA POTENCIAÇÃO PROPRIEDADE 3 Dados dois números reais a e b e um número ímpar 𝑛∈𝐼𝑁 , se 𝑎<𝑏 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎 𝑛 < 𝑏 𝑛 Exemplo: Se – 5 < -2, podemos concluir que (−5) 5 < (−2) 5 PROPRIEDADE 4 Dados dois números reais a e b e um número par 𝑛∈𝐼𝑁, se: . 0≤𝑎<𝑏 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 0≤ 𝑎 𝑛 < 𝑏 𝑛 . 𝑎<𝑏≤0 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎 𝑛 > 𝑏 𝑛 ≥0 Exemplos: . Sendo 0≤3<5 podemos concluir que 3 4 < 5 4 . Sendo −7<−3 ≤0 podemos concluir que (−7) 2 > (−3) 2

Exercício Demonstra a seguinte propriedade: Sejam a, b, c e d números reais Se a < b e c < d, então a + c < b + d Resolução: De a < b, obtemos que a + c < b + c De c < d, obtemos que b + c < b +d Por TRANSITIVIDADE DA RELAÇÃO ORDEM vem que: a + c < b + d Pela propriedade 1

EXERCÍCIO Sendo a e b dois números reais tais que 0≤𝑎<𝑏 Mostra que 𝑎 2 < 𝑏 2 Resolução: Tem-se que: 𝑎<𝑏 𝑒 𝑎≥0 Caso a = 0 Sendo 0 < b devemos provar que 0 < 𝑏 2 De 0<𝑏, 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 0×𝑏 <𝑏×𝑏, ou seja 0< 𝑏 2 Caso a > 0 Sendo a < b, obtemos 𝑎×𝑎<𝑏×𝑎 , isto é, 𝑎 2 <𝑏×𝑎 Por outro lado, 𝑏×𝑎<𝑏×𝑏, isto é, 𝑏×𝑎< 𝑏 2 Por TRANSITIVIDADE vem que: 𝑎 2 < 𝑏 2

EXERCÍCIO Sendo a e b dois números reais tais que 0≤𝑎<𝑏 b) Mostra que se para um dado 𝑛∈𝐼𝑁 se tem 𝑎 𝑛 < 𝑏 𝑛 , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎 𝑛+1 < 𝑏 𝑛+1 Tem-se que: 𝑎<𝑏 𝑒 𝑎≥0 Caso a = 0 Como 0 < b, então 0< 𝑏 𝑛+1 , ∀ 𝑛∈𝐼𝑁 (o produto de números positivos é positivo) Logo 𝑎 𝑛+1 < 𝑏 𝑛+1 Caso a > 0 Sendo 𝑎 𝑛 < 𝑏 𝑛 , podemos dizer 𝑎 𝑛 ×𝑎< 𝑏 𝑛 ×𝑎 Como 0 < b, resulta 0 < 𝑏 𝑛 e como a < b, vem que : 𝑏 𝑛 ×𝑎< 𝑏 𝑛 ×𝑏 Por TRANSITIVIDADE vem que: 𝑎 𝑛 ×𝑎< 𝑏 𝑛 ×𝑏, isto é, 𝑎 𝑛+1 < 𝑏 𝑛+1

Raízes de índice 𝑛∈𝐼𝑁, 𝑛 ≥2 Considera as seguintes equações em IR 𝑥 2 =4 ; 𝑥 3 =−8 ; 𝑥 2 =0 ; 𝑥 2 =−4 ; 𝑥 3 =8 ; 𝑥 3 =0 Vamos resolver … 𝒙 𝒏 =𝒂 n é par n é ímpar a > 0 Duas e só duas soluções b e -b Uma e uma só solução b a = 0 Uma solução: 0 a < 0 Não tem soluções

Definição Dado um número real a e um número natural n ímpar, existe um único número real b tal que 𝑏 𝑛 =𝑎. O número real b designa-se por raiz índice n de a e representa-se por 𝑛 𝑎 . Definição Dado um número real positivo a e um número natural n par, existe um único número real positivo b tal que 𝑏 𝑛 =𝑎. Verifica-se também que (−𝑏) 𝑛 =𝑎 e que não existe, para além de b e de –b, qualquer outra solução da equação 𝑥 𝑛 =𝑎 O número real positivo b designa-se por raiz índice n de a e representa-se por 𝑛 𝑎 .

Definição Dado um número natural n, 0 é o único número real cuja potência de expoente n é igual a 0 e, por esta razão, representa-se também por 𝑛 0 Definição 𝑛 𝑎 diz-se um radical ou uma raiz, em que n é o índice e a é o radicando.

Exercícios (carácter demonstrativo) Seja n um número natural ímpar e sejam a e b números reais tais que 𝑏 𝑛 =𝑎. Mostra que b é único.

Exercícios (carácter demonstrativo) Seja n um número natural par e a e b números reais positivos, tais que 𝑏 𝑛 =𝑎. Mostra que (−𝑏) 𝑛 =𝑎 e que não existem outras soluções da equação 𝑥 𝑛 =𝑎 para além de –b e b.

Propriedades algébricas dos radicais

Produto de raízes com o mesmo índice

Quociente de raízes com o mesmo índice

Potência de uma raiz

Potência de uma raiz (continuação)

Composição de raízes

Simplificação de raízes A simplificação da adição de radicais só pode ser feita quando estes tiverem o mesmo índice e o mesmo radicando. Para isso, aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, colocando em evidência fatores comuns.

Por vezes, na adição de expressões com radicais parece que não podemos efetuar simplificações, ou porque não têm o mesmo índice ou porque não têm o mesmo radicando. Acontece, porém, que algumas dessas expressões não se encontram na sua forma mais simples. Para radicais com o mesmo índice, pode nalguns casos ser feita uma simplificação passando fatores para fora do radical.

Racionalização de denominadores

Racionalização de denominadores Por racionalização do denominador de uma fração, entende-se o processo que conduz à obtenção de uma fração equivalente à dada, cujo denominador é um número natural. Na prática, se o denominador for uma expressão com radicais, o objetivo é transformar a fração noutra equivalente, sem radicais no denominador.

Exemplos

Exemplos

Neste caso, multiplicamos o numerador e o denominador por uma expressão, que se designa por expressão conjugada. Exemplo

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

POTÊNCIAS DE EXPOENTE RACIONAL Definição (Radicais equivalentes) Sejam 𝑎≥0, 𝑚, 𝑛, 𝑚 ′ 𝑒 𝑛 ′ 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑡𝑎𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑚, 𝑚 ′ ∈ 𝑍 + 0 𝑒 𝑛 , 𝑛 ′ ∈𝐼𝑁 {1}, sendo 𝑚 𝑛 = 𝑚 , 𝑛 , Nestas condições, 𝑛 𝑎 𝑚 = 𝑛 ′ 𝑎 𝑚 ′ Exemplo: 3 5 2 = 3×2 5 2×2 = 6 5 4

Objetivo: Estender o conceito de potência de base não negativa e expoente natural a potência de base não negativa e expoente racional positivo

Objetivo: Estender o conceito de potência de base não negativa e expoente racional positivo para potência de base não negativa e expoente racional negativo.

Propriedades algébricas das potências de base positiva e expoente racional

Produto de potências com a mesma base

Produto de potências com o mesmo expoente

Quociente de potências com a mesma base

Quociente de potências com o mesmo expoente

Potência de potência

Exercícios resolvidos