POLO MG_09 Encontro 7 – Polinômios Prof. Luciano

Polinômios Definição Soma de monômios Números Complexos Coeficientes Expoentes Números Naturais

Pode assumir valores Complexos Termo independente de x Polinômios Definição Soma de monômios Pode assumir valores Complexos Termo independente de x

Polinômios São Polinômios

Polinômios Não são Polinômios

Polinômios Valor Numérico

Polinômios Valor Numérico Fornece o valor da soma dos coeficientes do polinômio P(x). Fornece o valor do termo independente de x.

Qual a soma dos coeficientes do polinômio P(x). Polinômios Valor Numérico Qual a soma dos coeficientes do polinômio P(x).

Qual a soma dos coeficientes do polinômio P(x). Polinômios Valor Numérico Qual a soma dos coeficientes do polinômio P(x). Soma dos coeficientes

Qual o valor do termo independente de x. Polinômios Valor Numérico Qual o valor do termo independente de x. Termo independente de x

Qual o valor do termo independente de x. Termo independente de x Polinômios Valor Numérico Qual o valor do termo independente de x. Termo independente de x

 é raiz do polinômio P(x). 2 é raiz do polinômio P(x) Polinômios Raiz de um polinômio  é raiz do polinômio P(x). 2 é raiz do polinômio P(x)

 é raiz do polinômio P(x). 2i é raiz do polinômio P(x) Polinômios Raiz de um polinômio  é raiz do polinômio P(x). 2i é raiz do polinômio P(x)

Não se define grau para um polinômio nulo Polinômios Polinômio Nulo Não se define grau para um polinômio nulo

Polinômios Grau de um Polinômio

Polinômios Grau de um Polinômio

Polinômios Grau de um Polinômio Observação: Monômio de grau 3: (2 + 1)

Identidade polinomial Polinômios Identidade polinomial Idênticos

Polinômios 1) Se e são polinômios idênticos, então a soma dos valores positivos de é:

Polinômios

Operações com Monômios e Polinômios

Adição de Monômios Devemos efetuar a soma ou subtração dos coeficientes numéricos entre os monômios semelhantes. Ex: 5x2 – 3ay3 + 7x2 + ay3 5x2 + 7x2 – 3ay3 + ay3 Monômios semelhantes Monômios semelhantes = 12x2 – 2ay3

Multiplicação de Monômios O produto de monômios é obtido da seguinte forma: primeiro, multiplicam-se os coeficientes numéricos; em seguida, multiplicam-se as partes literais. Ex: (4ax2) . (–13a3x5) = (4) . (–13) . (a1 . a3) . (x2 . x5) = – 52a4x7

Lembrando... Um produto de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência: conservamos a base e adicionamos os expoentes. am.an = am+n Ex: x4.x9 = x4+9 = x13

Divisão de Monômios A divisão de monômios é obtida da seguinte forma: primeiro, dividem-se os coeficientes numéricos; em seguida, dividem-se as partes literais.

Lembrando... Um quociente de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência: conservamos a base e subtraímos os expoentes. am:an = am–n *com a ≠ 0 Ex: x12 : x8 = x12–8 = x4

Adição de Polinômios Ex: Efetue a soma algébrica dos monômios semelhantes. Ex: (4x2 – 7x + 2) + (3x2 + 2x + 3) – (2x2 – x + 6) =  eliminando os parênteses = 4x2 – 7x + 2 + 3x2 + 2x + 3 – 2x2 + x – 6 =  agrupando os termos semelhantes = 4x2 + 3x2 – 2x2 – 7x + 2x + x + 2 + 3 – 6 = = 5x2 – 4x – 1  forma reduzida * Não esqueça da regra de sinais!

Multiplicação de Monômio por Polinômio A multiplicação de um monômio por um polinômio é feita multiplicando-se o monômio por cada termo do polinômio. Ex: 4x2y3 . (2x3 – 5xy4) = = 4x2y3 . 2x3 + 4x2y3 . (– 5xy4 ) * Não esqueça da regra de sinais! = 8x5y3 – 20x3y7

Multiplicação de Monômio por Polinômio A multiplicação de um polinômio por outro polinômio é feita multiplicando-se cada termo de um deles pelos termos do outro e, sempre que possível, reduzindo os termos semelhantes. Ex: (a + b) . (c + d) = ac + ad + bc + bd

Divisão de Polinômio por Monômio Efetuamos a divisão de um polinômio por um monômio fazendo a divisão de cada termo do polinômio pelo monômio. Ex: (18x3 – 12x2 + 3x) : (3x) = = (18x3 : 3x) – (12x2 : 3x) + (3x : 3x) = 6x2 – 4x + 1

Valor Numérico de uma Expressão Algébrica Ex: Após obtida a expressão algébrica, basta substituir cada incógnita pelo valor estabelecido pelo exercício. Ex: Determine o valor numérico da expressão abaixo para x = 2 e y = 3 3x2 – 2x + 7y + 3x – 17y 1º reduzimos os termos semelhantes 3x2 + x – 10y 2º substituímos os valores de x = 2 e y = 3 3.22 + 2 – 10.3 3.4 + 2 – 30 12 + 2 – 30 = - 16

Teorema da decomposição Polinômios Equações polinomiais Raízes de uma equação Teorema da decomposição

2x4 +x³ + 6x² + 2x – 1 = 0 Polinômios Propriedades: 1) Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes . Grau da equação ( Representa o número de raízes) 2x4 +x³ + 6x² + 2x – 1 = 0 2) Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por x - b . 3) Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0 , então o conjugado a - bi também será raiz .

Polinômios Propriedades: 4) Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k . Exemplo: x2 - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x1 = x2 = 4). Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois.

Polinômios Lembre que quando: a.x³ + bx² + cx + d = 0 5) Se a =  1  não há raízes fracionárias. 6) Se d = 0  x1 = 0 (Lembre a quantidade de raízes nulas é determinada, pelo menor expoente da incógnita.) Ex: 2x7+3x4 + 2x² = 0

Polinômios Lembre que quando: a.x³ + bx² + cx + d = 0 5) Se a =  1  não há raízes fracionárias. 6) Se d = 0  x1 = 0 (Lembre a quantidade de raízes nulas é determinada, pelo menor expoente da incógnita.) Ex: 2x7+3x4 + 2x² = 0 Há duas raízes nulas 7) Se a + b + c + d = 0  x1 = 1 é raiz.

Polinômios Toda equação algébrica P(x) = 0 de grau n ≥ 1 admite, pelo menos, uma raiz complexa. Teorema das raízes complexas ( PRRI)

Polinômios Toda equação algébrica P(x) = 0 de grau n ≥ 1 admite, pelo menos, uma raiz complexa. Teorema das raízes complexas ( PRRI) Divisores do termo independente: 1, 2, 3, 6 -1 1 1 –4 1 6 1 1 –5 –3 6 -2 4 Resto = 0  x1 = -1 é raiz Resto  0x =1 não é raiz. Grau n – 1

Teorema das raízes complexas Polinômios Teorema das raízes complexas –1 1 –4 –1 14 10 –1 1 –5 4 10 Resto 1 –6 10 Resto Grau n – 2

Teorema das raízes complexas Polinômios Teorema das raízes complexas

Polinômios Teorema das raízes complexas ( PRRF) 18 x3 + 9x2 - 2x -1 = 0

Polinômios Teorema das raízes complexas ( PRRF) Divisores do termo independente: 1 18 x3 + 9x2 - 2x -1 = 0

Polinômios Teorema das raízes complexas ( PRRF) Divisores do termo independente: 1 18 x3 + 9x2 - 2x -1 = 0 Divisores do coeficiente da incógnita de maior expoente: 1, 2, 3, 6, 9, 18 PRRF: 1/2, 1/3,  1/6, 1/9, 1/18 –1/2 18 9 -2 -1 18 -2 Resto  x1 = -1/2 18x² +0x -2 = 0 x² = 1/9

Polinômios Relações de Girard

Polinômios Relações de Girard

Polinômios Relações de Girard

Teorema do resto (divisor de 1º grau - d = ax + b) Polinômios Teorema do resto (divisor de 1º grau - d = ax + b) P(x) ax + b P(x) = (ax + b) · Q(x) + R Q(x) R Raiz do divisor

Polinômios P(x) ax + b Q(x) R Teorema de D’alembert Condição necessária para que P(x) seja divisível por ax + b. Q(x) R

Polinômios O resto da divisão do polinômio pelo binômio é: Teorema do resto

Dispositivo Briot-Ruffini Coeficientes do polinômio a · Q(x) Polinômios Dispositivo Briot-Ruffini Grau n Grau 1 Coeficientes de P(x) P(x) ax + b Q(x) R ... Grau n – 1 Raiz do divisor Resto ... Coeficientes do polinômio a · Q(x) Resto

Dispositivo Briot-Ruffini Polinômios Dispositivo Briot-Ruffini 2 3 – 7 6 5 3

Dispositivo Briot-Ruffini Polinômios Dispositivo Briot-Ruffini 2 3 – 7 6 5  + = 3 –1

Dispositivo Briot-Ruffini Polinômios Dispositivo Briot-Ruffini 2 3 – 7 6 5  + = 3 –1 4

Dispositivo Briot-Ruffini Polinômios Dispositivo Briot-Ruffini 2 3 – 7 6 5  + = 3 –1 4 13

Dispositivo Briot-Ruffini Coeficientes do polinômio a · Q(x) Polinômios Dispositivo Briot-Ruffini 2 3 – 7 6 5 3 –1 4 13 Resto Coeficientes do polinômio a · Q(x)

Dispositivo Briot-Ruffini Coeficientes do polinômio a · Q(x) Polinômios Dispositivo Briot-Ruffini 2 3 – 7 6 5 3 –1 4 13 Resto Coeficientes do polinômio a · Q(x) Grau do polinômio Q(x) é uma unidade menor que o grau do polinômio P(x)

Teorema da decomposição Polinômios Equações polinomiais Raízes de uma equação Teorema da decomposição

Polinômios Seja p um polinômio de grau seis, cujos coeficientes de termo de maior grau é igual a 2. As raízes deste polinômio são c, 2 e 0, com multiplicidades 3, 2 e 1 respectivamente. Considerando p(1) = 16, o valor da raiz c é igual a: a) –1. b) . c) –7. d) 7. e) 15.

Polinômios Sobre todas as raízes da equação afirma-se que essa equação possui: uma raiz real e duas complexas.

Teorema das raízes complexas Polinômios Teorema das raízes complexas –1 1 –4 –1 14 10 –1 1 –5 4 10 Resto 1 –6 10 Resto Grau n – 2

Teorema das raízes complexas Polinômios Teorema das raízes complexas

Polinômios Seja P(x) um polinômio de terceiro grau, cujo gráfico está representado na figura abaixo: 2 1 –1 x y Então o resto da divisão de P(x) pelo monômio x + 2 é:

Determine o polinômio de quarto grau, cujo esboço do gráfico é: EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA:

Mais alguns... Uma das raízes de 2x3 – (m +3)x2 + 11x – m = 0 é 1. Quais são as outras raízes dessa equação?

Mais alguns... A equação 2x³ - 5x² + x + 2 = 0 tem três raízes reais. Uma delas é 1. Encontre as outras duas.

Mais alguns... Uma das raízes do polinômio P(x) = 3x3 + 2x2 – 7x + 2 é – 2. Então, a soma das outras raízes desse polinômio é: a) 2/3 b) -1 c) 4/3 d) -3/4 e) 1

Só mais um... (ou não) Resolver a equação x3 – 6x2 + 3x + 10 = 0, sabendo que a soma de duas raízes é 1.