Matemática Frações Algébricas

Frações Algébricas, equações fracionarias e literais Observe e resolva as seguintes situações: Tony distribuiu 100 chocolates entre x pessoas, em quantidades iguais que quantidades de chocolate cada pessoa recebeu? Resposta: 𝟏𝟎𝟎 𝒙 Sonia colocou diversas caixas de sorvete com dimensões x, y e z em um congelador com V metro cúbicos de volume. Qual é o numero máximo de caixas que ela pode colocar no congelador Resposta: 𝑽 𝒙 . 𝒚 . 𝒛

Frações Algébricas O quociente de dois polinômios escritos na forma fracionaria, com uma ou mais variáveis ou incógnitas no denominador (diferente de zero) chama-se fração algébrica Exemplos: 17 𝑎2 −𝑏2 ; 𝑥 2𝑥 − 3 Lembre-se de que o denominador de uma fração algébrica NÃO PODE SER IGUAL A ZERO, pois não existe divisão por zero. A fração algébrica 1 𝑥 −3 é valida para qualquer numero real, exceto o 3, que tornaria o denominador da fração igual a zero. Assim: U = {x  IR x  3} A fração algébrica 𝑥 + 1 𝑥2 − 4 é valida para qualquer numero real, exceto o 2 e – 2, que tornaria o denominador da fração igual a zero. Assim: U = {x  IR  x  - 2 e x  2 }

Frações Algébricas Equivalentes Observe que, multiplicando ou dividindo os termos de uma fração algébrica por um polinômio não-nulo, obtemos uma fração algébrica equivalente Exemplos: 3𝑥 𝑥+𝑦 Multiplica-se 3𝑥𝑘 𝑥𝑘+𝑦𝑘 Onde K é  zero Por K 12𝑥2 4𝑎+8𝑏 Divide-se 6𝑥2 2𝑎+4𝑏 Frações Equivalentes Por 2

Simplificação de fração algébrica Para simplificar uma fração algébrica devemos dividir os seus termos por um divisor comum, diferente de zero, a fim de obter um fração equivalente mais simples. Como exemplo, simplificaremos as seguintes expressões algébricas / / / / / 12 𝑎𝑏2𝑐 18𝑎𝑏5 = 2 . 2 . 3 . 𝑎 .𝑏 . 𝑏 .𝑐 2 . 3 . 3 . 𝑎.𝑏 . 𝑏 . 𝑏 . 𝑏 . 𝑏 FORMA FATORADA / / / / / Solução: fatoramos os termos da fração e, em seguida cancelamos os termos iguais 2𝑐 3𝑏3 Ficamos com: Forma simplificada

Fração Algébrica Simplificada Solução 𝑥2+2𝑥𝑦+𝑦2 𝑥2+𝑦2 Fatoramos os termos da fração e. em seguida, cancelamos os termos iguais: / 𝑥2+2𝑥𝑦+𝑦2 𝑥2−𝑦2 𝑥+𝑦 2 𝑥+𝑦 . 𝑥 −𝑦 𝑥+𝑦 . (𝑥+𝑦) 𝑥+𝑦 . 𝑥 −𝑦 = = / (𝑥+𝑦) 𝑥 −𝑦 = Fração Algébrica Simplificada

Fração Algébrica Simplificada Mais um exemplo: 4𝑥 −4𝑎 6𝑎2 −6𝑥2 Fatoramos os termos da fração e. em seguida, cancelamos os termos iguais: / / 4𝑥 −4𝑎 6𝑎2 −6𝑥2 2 . 2 𝑥 −𝑎 2 . 3 . 𝑥2 −𝑦2 − 2 . 2 (𝑥 −𝑎) 2 . 3 𝑎+𝑥 . 𝑎 −𝑥 = = / / − 2 3 . 𝑎 −𝑥 = Fração Algébrica Simplificada

Nesse caso não há simplificação Nesse caso há simplificação Observação: Só podemos simplificar os termos de uma fração após transforma-los em produtos: Soma e Subtração Multiplicação  𝑥+𝑦 +(𝑥+𝑦) 𝑥+𝑦 − (𝑥 −𝑦) 𝑥+𝑦 . (𝑥+𝑦) 𝑥+𝑦 . (𝑥 −𝑦) Nesse caso não há simplificação Nesse caso há simplificação

Vale a pena uma atenção especial antes de simplificar. Cuidado: Vale a pena uma atenção especial antes de simplificar.  / 2𝑎 𝑎+𝑏 2𝑎 𝑎+𝑏 / Essa simplificação é INCORRETA, pois “a” não é um fator comum a todos os termos

O MDC e MMC de monômios e polinômios Vale a pena... ...lembrar!!

MDC = Máximo Divisor Comum O MDC de dois números naturais é o produto dos fatores comuns, cada um com o seu menor expoente Exemplo: Determine o MDC de 168 e 180 Precisamos fatorar os dois números Fatorando, temos: 168 2 84 2 42 2 21 3 7 7 1 180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1 Pegando os fatores comuns de menor expoente temos: 22 . 3 Portanto o MDC de 168 e 180 é: 2 . 2 . 3 = 12 168 = 23 . 3 . 7 180 = 22 . 32 . 5

MMC = Mínimo Múltiplo Comum O MMC de dois números naturais é o produto dos fatores comuns e não-comuns, cada um com o seu MAIOR expoente Exemplo: Determine o MMC de 168 e 180 Precisamos fatorar os dois números Fatorando, temos: 168 2 84 2 42 2 21 3 7 7 1 180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1 Pegando os fatores comuns e não-comuns de maior expoente temos: 23 . 32 + 5 . 7 Portanto o MMC de 168 e 180 é: 2520 168 = 23 . 3 . 7 180 = 22 . 32 . 5

O MDC e o MMC dos monômios O MDC e o MMC de dois ou mais monômios são obtidos de forma análoga ao utilizado para números inteiros O MDC é o produto dos fatores comuns (numéricos e literais), cada um com o seu menor expoente O MMC é o produto dos fatores comuns e não comuns (numéricos e literais), cada um com o seu maior expoente Exemplo: Determine o MDC e o MMC dos monômios 80a3b2c4 e 128b5c3d

Fatores comuns e não-comuns de maior expoente Exemplo 1: Determine o MDC e o MMC dos monômios 80a3b2c4 e 128b5c3d Fatorando os monômios temos: 80a3b2c4 = 24 . 5 . a3 b2 c4 128b5c3d = 27 . b5 c3 d Fatores comuns de menor expoente Depois de fatorar temos: MDC (80a3b2c4 ; 128b5c3d) = 24 . b2 c3 = 16 b2c3 MMC (80a3b2c4 ; 128b5c3d) = 27 . 5 . a3 . b5 c4 . d = 640 a3b5c4d Fatores comuns e não-comuns de maior expoente

O MDC e o MMC dos Polinômios No caso dos polinômios, primeiro fatoramos, para depois aplicar regras semelhantes as utilizadas no caso dos monômios Exemplo: Determine o MDC e o MMC dos polinômios; x2 – 9 x2 + x – 12 x2 – 6x + 9 Fatorando os polinômios temos: x2 – 9 = (x + 3) . (x – 3) A diferença de dois quadrados LEMBRAM NÉ? x2 + x – 12 = (x + 4) . (x – 3) O produto de Stevin, Lembram também!!! x2 - 6x + 9 = (x – 3)2 ou (x - 3) . (x - 3) O quadrado da diferença de dois termos

O MDC e o MMC dos Polinômios Determine o MDC e o MMC dos polinômios; x2 – 9 x2 + x – 12 x2 – 6x + 9 Depois de Fatorado temos: MDC: x2 – 9 = (x + 3) . (x – 3) x2 + x – 12 = (x + 4) . (x – 3) x2 - 6x + 9 = (x – 3)2 ou (x - 3) . (x - 3) MDC: (x – 3) Produto de Stevin MMC: (x – 3) . (x + 3) . (x + 4) MMC: (x – 3)2 . (x + 3) . (x + 4) (2x - 6x – 9) . (x2 + 7x + 12)