MBA EM GESTÃO FINANCEIRA E CONTROLADORIA DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTATÍSTICA APLICADA

APRESENTAÇÃO DO PROFESSOR Acadêmico: Graduado em Análise de Sistemas pelo Centro de Estudos Superiores de Maceió CESMAC (2001), possui especialização em Gestão Estratégica de Sistemas de Informação pela Faculdade de Alagoas - FAL (2006). Mestrando em Ciências da Computação – UFPE(2013...). Atualmente é Professor Especialista Tempo Integral da Faculdade Estácio de Alagoas - FAL. Administrador de Redes Gerente de Projetos de TI Consultor em TI Profissional:

Apresentação da disciplina (2ª parte) Disciplina: Fundamento da Matemática Financeira e ESTATÍSTICA APLICADA Carga horária: 40h* Datas das Aulas: 20/02 e 27/02. EMENTA: Estatística descritiva; Probabilidade; Distribuições de Probabilidades; Estimação e Intervalos de Confiança; Testes de Hipóteses; Correlação e Regressão; Coleta de Dados e Métodos de Amostragem. Objetivo Geral: Apresentar conceitos fundamentais de Estatística Aplicada.

Objetivos Específicos: Apresentar os fundamentos de estatística descritiva. Apresentar os conceitos de correlação e regressão e sua importância para estabelecer relações entre variáveis. Apresentar os fundamentos da teoria de probabilidades. Apresentar distribuições de probabilidade úteis na modelagem e solução de problemas. Apresentar princípios e métodos para coleta e tratamento de dados. Apresentar métodos de amostragem úteis na modelagem e solução de problemas. Apresentar princípios e métodos para estimação de parâmetros e estabelecimento de intervalos de confiança. Apresentar métodos para conduzir Testes de Hipóteses úteis na modelagem e solução de problemas.

MAPA CONCEITUAL – ESTATÍSTICA

Referências BIBLIOGRAFIA BÁSICA BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR SPIEGEL, M. R. Estatística. São Paulo: Makron Books, 1993, 3ª Ed.; MORETTIN, L. G. Estatística Básica. Probabilidade. Volume 1. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 1999, 7ª Ed; MORETTIN, L. G. Probabilidades. Probabilidade. Volume 2. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 1999, 7ª Ed; BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade.... Rio de Janeiro: LTC, 2009, 4ª Ed.; DEVORE, J. L. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006, 6ª Ed. NAZARETH, Helenalda. Curso Básico de Estatística. São Paulo, Editora Ática, 1995.

Sistema de Avaliação Nota mínima para aprovação na disciplina: 7 Distribuição dos pontos: Será calculada a média de matemática financeira com estatística. Proposta de Avaliação para a Estatística Aplicada Participação nas aulas (2 pontos) Pesquisa/Trabalho (5 pontos) Exercício de Fixação (3 pontos)

Agenda Conceitos introdutórios Coleta de Dados e Métodos de Amostragem Estatística Descritiva e Correlação / Regressão Probabilidade e Distribuições de Probabilidade Estimação e Testes de Hipóteses

Introdução à Estatística É fundamental o emprego da Estatística em quase todas as áreas do conhecimento, todas as vezes que estiverem envolvidas informações na forma de dados coletados em pesquisas ou de forma experimental. Com o objetivo de alcançar uma melhoria dos processos tanto nas áreas industriais como tecnológicas, as ferramentas estatísticas tem alcançado um papel importantíssimo nesse cenário.

Conceito de Estatística Estatística é “um conjunto de técnicas e métodos de pesquisa que, entre outros tópicos, envolve o planejamento do experimento a ser realizado, a coleta qualificada dos dados, a inferência, o processamento, a análise e a disseminação das informações”.

Todo profissional hoje em dia deve estar ciente da importância da Estatística e ter conhecimento de como utilizá-la, a fim de ter um lugar no mercado de trabalho com a capacidade de lhe dar com as realidades atuais extremamente competitivas. Dentre várias habilidades profissionais, vem crescendo em importância o desenvolvimento do pensamento estatístico, tendo em vista as necessidades de todas as áreas de conhecimentos de uma análise mais apurada durante os processos decisórios.

Estatística na área de Gestão Observa-se que o controle de qualidade foi criado como uma necessidade de resolver problemas na redução de custos, no controle de perdas desnecessárias, na uniformização e normalização da produção, auxiliando as empresas a controlarem, melhor distribuírem e maximizarem os seus recursos, tornando-as assim mais competitivas. 

Aplicação da Estatística Recursos Humanos Pessoal / Folha de Pagamento. Avaliação de Desempenho Treinamento Recrutamento & Seleção

Aplicação da Estatística Operações Logística Qualidade Total Avaliação de Estoques Cadeia de Suprimentos

Aplicação da Estatística Marketing Propaganda Pesquisa de Mercado Comportamento do Consumidor Endomarketing

Aplicação da Estatística Monitoramento Gestão de Recursos Suporte Banco de dados Telecomunicações Desenvolvimento de software...

Aplicação da Estatística Finanças Risco e Retorno de Investimentos Financiamento de Recursos Orçamento Empresarial Projeção de Resultados

Motivação Estatística O objetivo fundamental da Estatística é extrair informações confiáveis a partir dos dados coletados para a tomada de decisão.

Método Científico Há muito tempo que o homem faz descobertas importantes, que originaram muitos dos conhecimentos atuais. Entretanto muitas dessas descobertas foram ao acaso, ou em função de uma necessidade da época e muitas dessas descobertas não seguiram um caminho, roteiro ou um método específico.

Método Científico Hoje em dia os métodos de observação, estudo e análise fazem parte da maioria dos aumentos de conhecimentos atuais. Até mesmo os conhecimentos obtidos por descobertas ao acaso são desenvolvidos com base em métodos específicos, que chamamos de métodos científicos. Os métodos são as trilhas que nos permite chegar a um objetivo, ou a um determinado resultado, sendo um conjunto de passos e procedimentos que repetidos fornecem um resultado específico. Dentre os métodos científicos destacamos o método estatístico e experimental.

Método Experimental Quando se realiza um experimento e se deseja analisar como se comportam seus resultados ao se alterar algum dos elementos componentes do experimento, é necessário manter constante os demais fatores (causas). Quando se usa este tipo de pesquisa, faz-se uma análise do problema, montam-se as hipóteses necessárias. As alterações nas variáveis tanto em quantidade, quanto em qualidade, permite o estudo das relações de causas e efeitos do referido fenômeno em análise. Todo esse procedimento experimental permite que se possa avaliar e controlar os resultados obtidos. 

Método Experimental Pontos importantes do método experimental: Indicar o objeto de estudo; Determinar as variáveis independentes capazes de influenciar o fenômeno em estudo; Identificar as ferramentas de análise, controle e observação dos efeitos, resultantes da manipulação das variáveis, sobre o objeto.

Método Estatístico  No método estatístico, observando suas várias etapas, podemos considerar que a mais importante muitas vezes não é a análise de dados. Podemos dizer que a etapa que necessita de maior atenção e cuidado é o planejamento de como o conjunto de dados será coletado. Um mau planejamento, ou mesmo uma coleta feita de forma inapropriada pode acarretar em dados inúteis, de onde não se consegue tirar nenhuma informação ou qualquer conclusão coerente.

Método Estatístico O uso dos métodos estatísticos está praticamente em todos os setores e campos de estudo. É possível utilizar o método na avaliação da produção, a fim de melhorar o controle de qualidade e permitir um produto melhor a custos menores; utilizar no controle estatístico de doenças e epidemias, permitindo uma ação antecipada no controle de doenças; ou até mesmo na criação de regulamentações e leis, com a finalidade de proteger espécies em extinção, verificadas através de levantamentos estatísticos da população..

Abusos da Estatística Não é de hoje que ocorrem abusos com a Estatística. Assim é que, há cerca de um século, o estadista Benjamin Disraeli disse: “Há três tipos de mentiras: as mentiras, as mentiras sérias e as estatísticas”. Já se disse também que “os números não mentem; mas os mentirosos forjam os números” e que “se torturarmos os dados por bastante tempo, eles acabam por admitir qualquer coisa”. O historiador Andrew Lang disse que algumas pessoas usam a Estatística “como um bêbado utiliza um poste de iluminação – para servir de apoio, e não para iluminar”. Todas essas afirmações se referem aos abusos da Estatística quando os dados são apresentados de forma enganosa.

Fases da Pesquisa Pesquisa Estatística Planejamento Coleta Crítica Análise Resultados O que? Onde? Como? Cronograma Orçamento... Aplicação Do Questionário Validação Dos dados Coletados/ Organização Dos Dados na planilha Aplicação De técnicas estatísticas Apresentação Do relatório / Resultados

Estudo da Estatística Estatística Descritiva, que se preocupa com a organização e descrição dos dados experimentais; Estatística Indutiva (Estatística Inferencial), que cuida da sua análise e interpretação, ou seja, tirar conclusões sobre populações com base nos resultados observados em amostras extraídas dessas populações. Estatística Probabilística – representa o estudo de planejar jogadas ou estratégias de jogos de azar , bem como o risco e o acaso em eventos futuros.

População e Amostra População - Conjunto de todos os elementos que possuem pelo menos uma característica em comum. Amostra - Subconjunto representativo da população

Variáveis Qualitativa – quando seus valores são expressos por atributos. Exemplo : Sexo , Cor da Pele. Quantitativa – quando seus valores são expressos por números. Exemplo : altura, numero de alunos de um colégio.

Variáveis Quantitativas Discretas – variáveis que só podem assumir valores pertencentes a um conjunto enumerável. Exemplo : numero de alunos de uma escola. Contínuas – quando uma variável pode assumir qualquer valor entre dois limites. Exemplo : Peso de um adulto pode ser de 70 Kg ou 70,1 Kg ou 79,13 Kg ou 70,134 Kg.

Organização dos dados.   Os dados estatísticos podem estar organizados ou desorganizados.  Quando desorganizados recebem a denominação de “dados estatísticos brutos”.  Por exemplo: Z = (5, 2, 4, 1, 3)  Já quando organizados recebem a denominação de “dados organizados em Rol”. Por exemplo: Z = (1, 2, 3, 4, 5) O Rol pode ser organizado em ordem numérica, alfabética ou alfanumérica, de forma crescente ou decrescente.   Por exemplo: Z = (1, 2, 3, 4, 5) Z = (A, B, C, D, E) Z = (5, 4, 3, 2, 1)

Tipologias de variáveis   Para cada fenômeno existe um número correspondente de resultados possíveis. Por exemplo: fenômeno - “sexo” dois os resultados possíveis são: masculino e feminino; fenômeno - “número de filhos” o número de resultados possíveis, é expresso através dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, ..., n; fenômeno “altura” os resultados podem tomar um número infinito de valores numéricos dentro de um certo intervalo.

Neste momento cabe reforçar a definição de Variável: é um conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. A partir dos exemplos anteriores podemos afirmar que os dados estatísticos também podem ser identificados segundo o seu tipo ou espécie, ou seja:   Dados contínuos – são aqueles em que a variável pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo, como para o caso do exemplo “altura” , em que são aceitos valores desde 1,40 até 2,30. Neste caso a variável é dita variável quantitativa contínua. Neste ponto cabe esclarecer algumas regras de aproximação e arredondamento de dados segundo a NBR 5891 da ABNT:

Amostragem Não Probabilística Acidental ou de conveniência – indicada para assuntos exploratórios. Intencional – Escolhe-se um grupo específico. Quotas ou proporcional – É necessário o conhecimento prévio da população.

Amostragem Probabilística Aleatória Simples – é utilizada uma tabela de números aleatórios. Aleatória Estratificada – Estratifica cada subconjunto através de critérios. Conglomerado – Por sorteio é indicado um conjunto.

Tabelas I. Tabelas II. Séries estatísticas Por definição tabela é um conjunto de observações de alguma forma organizadas e distribuídas em um quadro. II. Séries estatísticas Por definição, série estatística é toda a tabela que representa um determinado conjunto de dados estatísticos organizados segundo a cronologia, o local ou a categoria.

II.A Série cronológica ou temporal ou histórica Descreve os valores da variável, em local específico, de acordo com intervalos de tempo variáveis.  II.B Série geográfica ou territorial Descreve os valores da variável, em determinado instante, segundo diversos locais.

II.C Série especificativa ou categórica Descreve os valores da variável, em determinado tempo e local, segundo espécies ou categorias. II.D Série mista É uma série conjugada, pois pode variar simultaneamente o tempo, o fato e o lugar.

GRÁFICO ESTATÍSTICO Forma de se apresentar os dados estatísticos. Objetivos: produzir uma impressão mais rápida e viva do fenômeno em estudo, causar melhor impressão visual. Gráficos Estatísticos e Tabelas facilitam a análise e a interpretação.

INDICADORES DE CONSUMO MELHORAM EM JANEIRO Miriam Leitão

TIPOS DE GRÁFICOS Diagramas Cartogramas Pictogramas Gráficos geométricos dispostos em, no máximo, duas dimensões. Cartogramas Ilustrações relativas a cartas geográficas, utilizadas em Geografia, História e Demografia. Pictogramas Processo gráfico no qual constam figuras.

TIPOS DE GRÁFICOS Diagramas Cartogramas Pictogramas Gráfico em linha ou em curva. Gráfico em colunas ou em barras. Gráfico em colunas ou em barra múltiplas. Gráfico em setores. Cartogramas Pictogramas

GRÁFICOS EM LINHA OU EM CURVA Utiliza uma linha poligonal. Utiliza o Sistema de Coordenadas Cartesianas.

GRÁFICOS EM LINHA OU EM CURVA

GRÁFICO EM COLUNAS Utiliza retângulos dispostos verticalmente. Os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos respectivos dados.

GRÁFICO EM COLUNAS

GRÁFICOS EM BARRAS Utiliza retângulos dispostos horizontalmente. Os retângulos têm a mesma altura e os comprimentos das bases são proporcionais aos respectivos dados

GRÁFICO EM COLUNAS/BARRAS MÚLTIPLOS Representa simultaneamente dois ou mais fenômenos estudados com o objetivo de compará-los.

GRÁFICO EM SETORES Gráficos de pizza. Construído com base em um círculo, dividido em setores, de acordo com o numero de parcelas. Os 3600 disponíveis no círculo são repartidos proporcionalmente. Regra de 3 simples, onde a soma de todas as parcelas corresponde a 3600. Ressalta a participação de cada parcela no todo.

GRÁFICO EM SETORES

Exercícios A tempe ( ) A temperatura máxima observada foi de 30 °C .

A tempe ( ) Às 09:00 horas a temperatura era mais elevada do que às 08:00 horas.

( ) A variação das temperaturas observada foi de 6 °c .

CARTOGRAMA Representam a cartas geográficas Objetivo: apresentar dados estatísticos relacionados com áreas geográficas ou políticas. Utilizado em Geografia, História e Demografia. Dados absolutos (população): pontos em numero proporcional aos dados. Dados relativos (densidade): hachuras ou cores. Representar dados absolutos ou relativos

CARTOGRAMAS Taxa de mortalidade infantil em grupo de 1000 nascimentos nas regiões brasileiras em 1984

CARTOGRAMAS

PICTOGRAMAS Processo gráfico no qual constam figuras. População Urbana no Brasil em 1980 (x10)

PICTOGRAMAS Incendios Florestais em Portugal

PICTOGRAMAS Em meados de 1969, uma região situada ao sul do estado do Texas, no Estados Unidos, tinha sua economia baseada quase que exclusivamente no comércio varejista e no turismo. No entanto, em 1970, descobriu-se que nesta região havia petróleo. Estudos geológicos indicavam que ali, encontrava-se a maior reserva petrolífera já encontrada em solo norte-americano. Desde então, várias empresas começaram a explorar este petróleo. O gráfico abaixo, mostra a evolução da produção, entre os anos de 1970 e 1976 (em milhares de barris). OBS: As linha verde, indica a produção máxima, e a linha vermelha, a produção mínima.

Amostra dos alunos de uma escola sobre os seus desportos preferidos Amostra dos alunos de uma escola sobre os seus desportos preferidos. Qual a relação entre os alunos que preferem futebol e volei? 1. Qual é o desporto preferido pela maioria dos alunos que responderam ao inquérito?     2. O que concluis da comparação entre o boneco representativo dos alunos que preferem futebol, em relação aos de que preferem volei? Quantas vezes mais alunos preferirão o primeiro desporto em relação ao segundo? Justifica a tua resposta.

PICTOGRAMAS Qual foi o aumento de produção entre os anos de 1996 e 1997?

Quantos livros de autores portugueses foram vendidos? Qual foi o genero de livro menos vendido nesse mês?

( ) Lúcia tem mais moedas da Austrália do que do Canadá ( ) Lúcia tem mais moedas da Austrália do que do Canadá. ( )O país do qual a Lúcia possui mais moedas é a Suíça.

( ) Lúcia tem mais 3 moedas do Brasil do que da Africa do Sul ( ) Lúcia tem menos moedas do Canadá do que do Brasil ( ) O número de moedas que a Lúcia tem na sua colecção é 84.

(a) Gráfico em linha/curva (d) Grafico em Barras (b) Grafico em Colunas (e) Grafico em Setores (c) Pictograma (f) Cartograma

(a) Gráfico em linha/curva (d) Grafico em Barras (b) Grafico em Colunas (e) Grafico em Setores (c) Pictograma (f) Cartograma

(a) Gráfico em linha/curva (d) Grafico em Barras (b) Grafico em Colunas (e) Grafico em Setores (c) Pictograma ( f) Cartograma

Gráfico em Colunas Multiplas Grafico em Barras Multiplas (c) Pictograma (d) Cartograma

(a) Gráfico em linha/curva (d) Grafico em Barras (b) Grafico em Colunas (e) Grafico em Setores (c) Pictograma (f) Cartograma

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO Histograma, Polígono de Frequência, Polígono de Frequência Acumulada (Ogiva de Galton). Utilizam o primeiro quadrante do sistema de eixos coordenados cartesianos ortogonais. Eixo das abscissas: valores da variável. Eixo das ordenadas: freqüências.

HISTOGRAMAS

HISTOGRAMAS Histograma referente à distribuição do número de candidatos segundo as notas finais acumuladas nas duas etapas, com os respectivos pesos. 1998 UnB

POLÍGONO DE FREQUÊNCIA Gráfico em linha, com as freqüências marcadas sobre as perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe. É a linha poligonal fechada que une ordenadas traçadas dos pontos médios das classes. Sua construção é feita, quase sempre, acompanhando a do histograma

Polígono de frequências sobre a duração das comunicações por telefones.

POLÍGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA Ogiva de Galton Sir Francis Galton 1822-1911 Ogiva: gráfico de uma distribuição cumulativa

POLÍGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA (OGIVA DE GALTON) Representa frequência acumulada. Mantém o eixo das abscissas Altera a escala do eixo das ordenadas, conforme o tipo dessa frequência. Construção: marcamos na abscissa os valores da variável (limites superiores dos intervalos) e na ordenada as freqüências acumuladas. quer seja relativa ou percentual, crescente ou decrescente,

HISTOGRAMA/POLÍGONO DE FREQUÊNCIA

POLÍGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA

Questões para revisão de conteúdo: - Coloque F para falso e V para verdadeiro:  ( ) Estatística é a ciência que estuda quantitativamente os fenômenos naturais ou sociais, cuja avaliação está baseada em métodos científicos de coleta, organização, apresentação e análise de dados. ( ) Amostra é um subconjunto das observações abrangidas pela população, através da qual se faz um estudo ou inferência sobre as características da população.  

- Tomando por base o texto abaixo: Ao chegarmos a uma Empresa em que exista risco de acidentes, não precisamos percorrer todos os ambientes de trabalho, obrigatoriamente, para conseguirmos chegar à conclusão, bem próxima à realidade, de que existe o cuidado com a proteção do trabalhador. Para tanto, basta que seja observado, através de inspeção em alguns setores de cada Departamento, por exemplo, se todos possuem e estão usando os Equipamentos de Proteção Individual e Coletiva, bem como atendendo os procedimentos operacionais estabelecidos. Podemos afirmar que estamos tratando do conceito de: a) Amostra; b) População; c) Censo; d) Conjunto Universo.

- Coloque F para falso e V para verdadeiro ( ) Os dados organizados recebem a denominação de “dados organizados em Rol”! ( ) Variável é um conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. ( ) Dados contínuos são aqueles em que a variável pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo.

Considere uma faculdade com 2. 000 estudantes dos quais 1 Considere uma faculdade com 2.000 estudantes dos quais 1.200 estudam Administração e 800 estudam Ciências Contábeis. Considerando que 40% dos alunos de Administração e 30% dos alunos de Ciências Contábeis possuem bolsas de estudo, responda: Quantidade de estudantes de Administração que possuem bolsas de estudo. Quantidade de estudantes de Ciências Contábeis que não possuem bolsas de estudo. Dentre os bolsistas, qual o percentual de alunos de Administração ? Dentre os não bolsistas , qual o percentual de alunos de Ciências Contábeis?

Medidas de Posição Central Em uma dada distribuição amostral, é possível fazer várias observações, no intuito de entender o comportamento dos seus valores. Podemos, por exemplo, tentar localizar a maior concentração de valores de uma determinada distribuição. Revisaremos então as medidas de posição. São elas: as medidas de tendência central e as separatrizes.

Medidas de tendência Central As medidas de tendência central são valores que, de maneira condensada, trazem informações contidas nos dados estatísticos; É um valor que tende a melhor representar um conjunto de números. Funcionam como um resumo, passando a ideia do comportamento geral dos dados. Resumindo: Representam um valor central em torno do qual os dados se concentram e se distribuem.

Médias MÉDIA ARITMÉTICA  SIMPLES  a média aritmética, ou média, de um conjunto de N números X1, X2, ...., Xn é definido por: _ X = X1 + X2 + ....... + Xn / n EXEMPLO :  {1, 1, 3, 4, 4} X = 1 + 1+ 3 + 4 + 4 = 13 = 2,6  MÉDIA PONDERADA  Se os valores X1, X2, ...., Xn ocorrerem com freqüências f1, f2, ....., fn, então: X = X1 f1 + X2 f2 + ..... + Xn fn =  Xi fi ----------------------------------- ---------- f1 + f2 + ..... + fn  fi

MODA Pode-se definir como moda o valor mas freqüente, quando comparada sua freqüência com a dos valores contíguos de um conjunto ordenado. A moda pode não existir e, mesmo que exista, pode não ser única. EXEMPLOS :  X = 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8 moda = 6 – valor mais freqüente – unimodal  Y = 2, 3, 4, 5, 6 não tem moda – amodal  Z = 2, 4, 4, 4, 6, 7, 8, 8, 8, 9 tem duas modas 4 e 8 – bimodal  

MODA FÓRMULA PARA DADOS AGRUPADOS: Mo =( l * + L * ) / 2 Ou Mo = l* + h ( D1 / D1 + D2) Sendo: l*  Limite Inferior da Classe Modal. L*  Limite Inferior da Classe Modal. h  intervalo de classe. D1  Frequencia Simples – Frequencia Anterior. D2  Frequencia Simples – Frequencia Posterior

Mediana Corresponde ao valor do elemento central de uma amostra. FÓRMULA PARA DADOS AGRUPADOS: Md = l* + h ( Xm – F(Ant) / f*) Sendo: l*  Limite Inferior da Classe Mediana. f*  frequencia simples da classe mediana. h  intervalo de classe. Xm  Valor Mediano.

Medidas de tendência Central

Medidas de Posição Na análise da distribuição de uma variável, há grande interesse de determinarmos qual o valor que divide a distribuição em duas partes iguais, quatro partes iguais, dez partes iguais e cem partes iguais. A estes valores (separatrizes) chamaremos respectivamente de:  Quartis  Decis  Percentis O interesse no conhecimento das separatrizes decorre do fato de a partir delas poderemos introduzir os índices de Pearson, de uso muito prático na descrição de uma variável X.

Medidas de Posição QUARTIS  dividem a distribuição em quatro partes iguais. Qnq = X ( nqn / 4 + ½) Sendo: Qnq  primeiro, segundo e terceiro quartil ( i = 1, 2 e 3) nq  número do quartil que se deseja obter X  elemento da série ordenada n  tamanho da amostra

Medidas de Posição DECIS – Dividem a distribuição ordenada em dez partes iguais.  Qnq = X ( nqn / 10 + ½) Sendo: Qnq  primeiro, segundo e terceiro decil ( i = 1, 2 e 3) nq  número do quartil que se deseja obter X  elemento da série ordenada n  tamanho da amostra

Medidas de Posição PERCENTIS : Dividem a distribuição ordenda em cem partes iguais. Qnq = X ( nqn / 100+ ½) Sendo: Qnq  primeiro, segundo e terceiro centil ( i = 1, 2 e 3) nq  número do quartil que se deseja obter X  elemento da série ordenada n  tamanho da amostra

Exercícios: 1. Determine a mediana para os dados (1, 5, 8, 9, 10): 3,3 6,6 5

Exercícios: 2. Determine a média para os dados (2, 3, 10, 15, 15): 10 13 15 9

Exercícios: 3. A moda representa: O elemento central da distribuição. A diferença entre a média e a mediana. O elemento de maior frequência na distribuição de valores. A soma de todos os valores, dividido pela quantidade de dados.

Exercícios 4) Considere a seguinte amostra de uma pesquisa feita com 15 consumidores que atribuíram as seguintes notas a uma mercadoria , numa escala de 0 a 100 : 65, 68, 70, 75, 80, 80 ,82 ,85, 90 ,90, 90, 95, 98, 100, 100. Calcular : a) A Média b) Moda c) 3º Quartil

Exemplo usando Excel Determine a média, a moda, a mediana, Os quartis, apresente também o 4º decil e o percentil 72 da amostra abaixo, usando a planilha do Excel: 44 48 53 54 56 57 60 62 63 65 66 67 68 69 70 71 72 74 77 78 80 81 82 85 90 93 95 97 100 106 107

Medidas de Dispersão As medidas de dispersão dizem como se distribuem os valores em torno da média da amostra (ou população). Elas são: Amplitude Variância Desvio Padrão Coeficiente de Variação

Medidas de Dispersão AMPLITUDE É a diferença entre o maior e o menor dado observado. A amplitude não mede bem a dispersão dos dados porque, em seu cálculo, usam-se apenas os valores extremos – e não todos os dados.

Medidas de Dispersão Exemplo: Antônio  a = 5-5 =0 João  a = 6-4 = 2 José  a = 10-0 = 10 Pedro  a = 10-0 = 10 Aluno Notas Média Antônio 5 João 6 4 José 10 Pedro

Medidas de Dispersão Variância A variância da amostra, representada por s2, é obtida somando-se os quadrados dos desvios, em relação à sua média e dividindo o resultado pelo número de observações menos um.

Medidas de Dispersão 36 X 8 9 10 6 11 7 13 Média 9 X - média -1 1 -3 2 Exemplo: Considere dois conjuntos de atiradores, ambos com 8 atiradores. Conjunto A: 8,9,10,8,6,11,7,13. Conjunto B: 7,3,10,6,5,13,18,10. Calcule a variância desses dois conjuntos. Conjunto A: X 8 9 10 6 11 7 13 Média 9 X - média -1 1 -3 2 -2 4 (X – média)2 1 9 4 16 36

Medidas de Dispersão 72 812 X 7 3 10 6 5 13 18 X2 49 9 100 36 25 169 Exemplo: Considere dois conjuntos de atiradores, ambos com 8 atiradores. Conjunto A: 8,9,10,8,6,11,7,13. Conjunto B: 7,3,10,6,5,13,18,10. Calcule a variância desses dois conjuntos. Conjunto B: X 7 3 10 6 5 13 18 X2 49 9 100 36 25 169 324 72 812

Medidas de Dispersão DESVIO -PADRÃO O desvio padrão é a raiz quadrada do valor obtido para a variância.  Ele é o valor que quantifica a dispersão dos eventos sob distribuição normal, ou seja, a média das diferenças entre o valor de cada evento e a média central. 

Medidas de Dispersão Coeficiente de Variação Corresponde à relação entre o desvio-padrão e a média. Ele mede a dispersão relativa em relação à média.

Medidas de Dispersão Calcule o desvio-padrão da amostra: 4, 5, 5, 7 e 8 e marque a opção correta:     A)  2,56.     B)  1,64.     C)  5,80.     D)  1,80.

Medidas de Dispersão Calcule o desvio-padrão da amostra: 2, 2, 7, 8 e 9 e marque a opção correta: A)  5,6. B)  3,36. C)  7,6. D)  1,30. E)  1,70.

Medidas de Dispersão O Desvio Padrão, bem como a Variância,  é uma medida de dispersão. Uma daquelas que medem o quanto cada elemento de uma distribuição se desviou de um valor central. No caso, este valor central é a média. As notas do aluno João ao longo de 6 simulados feitos por ele foram: 4,0 - 7,0 - 6,0 - 6,0 - 8,0 - 5,0 determine o desvio padrão dessas notas.

Medidas de Dispersão ENEM 2010 - Questão 170 – Prova Rosa. Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para classificação no concurso o candidato deveria obter média aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor da pontuação mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos. Dados dos candidatos no concurso O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é: A) Marco, pois a média e a mediana são iguais. B) Marco, pois obteve menor desvio padrão. C) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português. D) Paulo, pois obteve maior mediana. E) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.

Medidas de Dispersão (Excel) Calcule a média e o desvio padrão dos dados apresentados na tabela abaixo: Peso em gramas de um produto. Produto A Produto B 25,5 27,0 26,0 26,5 25,0 24,0 27,5 28,0

Medidas de Dispersão (Excel) Calcule a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação dos dados da tabela abaixo: Conceito de qualidade de uma pesquisa a um determinado serviço 100,0 97,5 85,0 80,0

Noções sobre correlação Existem situações em que interessa estudar o comportamento conjunto de duas variáveis. O comportamento conjunto de duas variáveis aleatórias contínuas pode ser observado através do gráfico de dispersão, no qual cada variável é plotada em cada eixo cartesiano, ou através de uma medida estatística denominada coeficiente de correlação.

Noções sobre correlação O termo correlação significa relação nos dois sentidos: descreve a associação entre duas variáveis, não fazendo julgamento sobre se uma é causa ou conseqüência da outra. A correlação é usada quando se deseja estudar quão consistentemente duas variáveis mudam em conjunto. Quando isto ocorre diz-se que há uma correlação ou covariação, cuja direção e magnitude podem ser quantificadas.

Diagrama de dispersão Para desenhar uma diagrama de dispersão, 1º se traça o sistema de eixos cartesianos. Depois se representa uma das variáveis no eixo dos X e a outra variável no eixo dos Y. Colocam-se, então, os valores das variáveis sobre os respectivos eixos e marca-se um ponto para cada par de valores.

Correlação: Positiva e Negativa Correlação positiva – as variáveis X e Y crescem no mesmo sentido, isto é, à medida que x cresce, em média, Y também cresce. Correlação negativa – as variáveis X e Y variam em sentidos opostos, isto é, caso X cresça, Y em média decresce. Correlação nula – não há interação entre as variáveis X e Y.

Coeficiente de correlação ( r ) Sejam X e Y duas variáveis aleatórias de uma população, das quais é selecionada uma amostra de pontos (x;y). A correlação entre as variáveis X e Y quantifica o grau da relação linear entre os resultados. A correlação entre as variáveis aleatórias X e Y da população é estimada pelo coeficiente de correlação de Pearson, denotado por r: ***O coeficiente de correlação ( r )varia entre –1 e +1.

Classificação do grau de correlação CHADDOCK propôs a seguinte classificação quanto ao grau de correlação: Classificação do grau de correlação r = 0 Não há correlação r < 0,5 Correlação Fraca r > 0,5 Correlação Média r > 0,75 Correlação Forte r = 1 Correlação Perfeita

Resumindo... O coeficiente de correlação mede o “ajuste” de uma reta traçada o mais próximo possível dos pontos que a determinaram, isto é, quão próximos da reta traçada se encontram os pontos. O gráfico ou diagrama de dispersão mostra se as duas variáveis variam no mesmo sentido (r > 0), em sentidos opostos (r < 0),ou se as duas variáveis não variam em conjunto (r = 0). Portanto o coeficiente de correlação varia de -1 a +1, denominando a correlação para esses valores extremos de: correlação perfeita e negativa (r = -1) e correlação perfeita e positiva (r = +1).

Exercício

Exercícios 1 - Faça um diagrama de dispersão e avalie se existe correlação e qual o seu tipo. Dia Carros Vendidos 1 10 5 8 7 15 6 20 4 25 2 30

Exercícios 2 - Faça um diagrama de dispersão e calcule o coeficiente de correlação para os dados apresentados na tabela abaixo: Dados relativos a duas variáveis X e Y X Y 3 2 5 4 7 1

Exercícios Um administrador de entrevistadores aferiu as semanas de experiência e o número de entrevistas realizadas numa amostra com 10 entrevistadores revelando os seguintes dados: Determine o coeficiente de correlação. Semanas de experiência Nº de entrevistas realizadas 15 4 41 9 58 12 18 6 37 8 52 10 28 24 5 45 33 7

Desafio ( Excel ) 3 – Em um trabalho analisando a produção de uma determinada peça, foi obtido tanto o tempo quanto a quantidade de peças produzidas. Os dados estão na tabela abaixo. Produção (Qt) Tempo (em horas) 25 2,7 45 60 3,5 68 3,7 80 5,8 100 5,1 120 4,8 140 11,7 143 11,1 148 14,2 Construa um diagrama de dispersão. Você acha que existe correlação entre as medidas?

Noções sobre Regressão Linear Todas as vezes que temos duas variáveis com certa correlação e desejamos estudar uma variável em função da outra, fazemos uma análise de regressão. O objetivo principal da análise de regressão é realizar a relação entre as duas variáveis, a partir de um modelo matemático linear, partindo de n observações delas. A variável sobre a qual desejamos fazer a estimativa é denominada variável dependente e a outra recebe o nome de variável independente.

Noções sobre Regressão Linear Anteriormente foi estudado o comportamento conjunto de duas variáveis, agora será estudado como uma variável varia em função da outra. Quando se estuda a variação da variável Y em função de uma variável X, diz-se que Y é a variável dependente e que X é a variável explanatória.

Reta de regressão Dada uma nuvem de pontos de configuração aproximadamente retilínea, é sempre possível interpolar a esses pontos uma reta – Reta de Regressão - com o objetivo de produzir uma informação simplificada. Tempo (minutos) Produtos Fabricados 2 4 3 6 5 10 8 16 19 12 21 14 28 15 32

Reta de regressão Para que esta reta fique bem determinada é necessário que se calcule: O coeficiente angular – que dá a inclinação da reta – é representado por b. O coeficiente linear – que é o ponto que intercepta o eixo dos Y, representado por a. *Onde e são as médias de Y e X respectivamente.

Reta de regressão Assim a equação da reta de regressão ficará: são os valores calculados para Y Agora que já conhecemos as fórmulas, ajuste a reta de regressão do primeiro exemplo desta apresentação.

Produtos Fabricados (Y) Resolução do Exemplo Fórmulas: Coeficiente Angular Equação da reta Coeficiente Linear Tempo (X) (minutos) Produtos Fabricados (Y) X^2 X.Y 2 4 8 3 6 9 18 5 10 25 50 16 64 128 19 100 190 12 21 144 252 14 28 196 392 15 32 225 480 69 136 767 1518

Ajustando a reta – Transformação de Variáveis Para que uma regressão linear simples possa ser ajustada aos dados, muitas vezes se torna necessário transformar uma ou as duas variáveis, já que, em alguns casos as duas variávies não se distribuem em torno de uma reta e sim, de uma curva ou mesmo de número muito grande de retas, ocasionando desta maneira, uma margem grande de erros, caso não haja a TRANSFORMAÇÃO DE VARIÁVEIS. Essa transformação pode ser: O logaritmo de uma variável A extração de raiz quadrada A inversão da variável.

Exercícios Um administrador de entrevistadores aferiu as semanas de experiência e o número de entrevistas realizadas numa amostra com 10 entrevistadores revelando os seguintes dados: Ajuste uma reta de regressão aos dados apresentados. Semanas de experiência Nº de entrevistas realizadas 15 4 41 9 58 12 18 6 37 8 52 10 28 24 5 45 33 7

Resolução Fórmulas: Coeficiente Angular Coeficiente Linear Equação da reta Semanas de experiência (X) Nº de entrevistas realizadas (Y) 15 4 41 9 58 12 18 6 37 8 52 10 28 24 5 45 33 7 x^2 225 1681 3364 324 1369 2704 784 576 2025 1089 X.Y 60 369 696 108 296 520 168 120 450 231 351 77 14141 3018

Desafio ( Excel ) Em um trabalho analisando a produção de uma determinada peça, foi obtido tanto o tempo quanto a quantidade de peças produzidas. Os dados estão na tabela abaixo. Produção (Qt) Tempo (em horas) 25 2,7 45 60 3,5 68 3,7 80 5,8 100 5,1 120 4,8 140 11,7 143 11,1 148 14,2 Utilizando o Excel, Construa um diagrama de dispersão e Ajuste uma reta de regressão aos dados apresentados.

OBRIGADO E BONS ESTUDOS!