Derivada, a linguagem do movimento. A derivada expressa o ritmo da mudança instantânea em qualquer fenómeno que envolva funções. Quando se trata de corpos.

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1 Derivada, a linguagem do movimento

2 A derivada expressa o ritmo da mudança instantânea em qualquer fenómeno que envolva funções. Quando se trata de corpos em movimento, esta interpretação é especialmente precisa e interessante. De facto, historicamente, foi o que deu origem ao estudo das derivadas. derivadas Galileu, ao descrever pela primeira vez uma função que relacionava o espaço com o tempo na queda dos corpos, deixou em aberto a necessidade do Cálculo Diferencial, o cálculo com derivadas. Derivada, a linguagem do movimento

3 LEI DA QUEDA DOS CORPOS A tentativa de Galileu de demonstrar que todos os corpos caem com a mesma aceleração esbarrou na falta de um instrumento matemático - as derivadas. Quem foi capaz de completar a tarefa de Galileu?... Isaac Newton e W.G. Leibniz, ambos separadamente e quase ao mesmo tempo, o que originou uma forte disputa entre eles. Newton (Woolsthorpe, 4 de Janeiro de 1643 — Londres, 31 de Março de 1727) Leibniz (Leipzig, 1 de julho de 1646 — Hanôver, 14 de Novembro de 1716) Derivada, a linguagem do movimento

4 Newton e Leibniz iniciaram o Cálculo Diferencial e, ao medir o ritmo de mudança dos fenómenos físicos, naturais e inclusivamente sociais, abriram as portas ao espectacular desenvolvimento científico e tecnológico que transformou o mundo em 3 séculos tanto ou mais que em toda a história anterior. Parecia que por fim se tinha cumprido o sonho pitagórico: explicar o mundo com a Matemática.

5 O 24 300 520 839 326 350 135 h horas Temperatura (em 0 C) Admite que um forno de cozer cerâmica esteve ligado, através de sensores, a um computador a partir o qual foi feita uma representação gráfica de uma função f, representada na figura, que apresenta a evolução da temperatura durante cinco horas. Além de a função f permitir conhecer as temperaturas em determinados instantes, pode ser importante analisar a variação da temperatura em certos intervalos de tempo.

6 O 24 300 520 839 326 350 135 h horas Temperatura (em 0 C) Por observação do gráfico é possível tirar algumas conclusões, como, por exemplo:  a variação da temperatura no intervalo [2, 4] é dada por: f(4) – f(2) = 520 – 300 = 220 A variação da temperatura no intervalo [2, 4] foi de 220 0 C;  a taxa média de variação da temperatura no intervalo [2, 4] é dada por :

7 O 24 300 520 839 326 350 135 h horas Temperatura (em 0 C) C OMPARAÇÃO DAS TAXAS MÉDIAS DE VARIAÇÃO NOS INTERVALOS [3, 4] E [4, 5]. → a taxa média de variação da temperatura no intervalo [3, 4] é Em média, no intervalo de tempo [3,4], a temperatura aumenta 170 0 C por hora. → a taxa média de variação da temperatura no intervalo [4, 5] é Em média, no intervalo de tempo [4,5], a temperatura aumenta 319 0 C por hora. Comparando os resultados, verifica-se que nos dois intervalos a variação da temperatura é positiva, isto é, a temperatura aumenta. No entanto, no intervalo [4, 5] a temperatura aumenta com maior rapidez.

8 A taxa média de variação de uma função f no intervalo [a, b] é dada por No caso geral, tem-se: Da definição de taxa média de variação de uma função f num intervalo [a, b] decorrem os seguintes resultados :  se f é estritamente crescente em [a, b], então t.m.v. [a, b] > 0;  se f é estritamente decrescente em [a, b], então t.m.v. [a, b] < 0;  se f é constante em [a, b], então t.m.v. [a, b] = 0

9 As afirmações recíprocas são falsas. Para justificar esta afirmação basta recorrer a alguns exemplos a partir da função f:  t.m.v. [1, 3] > 0 e f não é estritamente crescente em [1, 3]. Justifica.  t.m.v. [0,1 ; 2] < 0 e f não é estritamente decrescente em [0,1 ; 2]. Justifica.  t.m.v. [0, 2] = 0 e f não é constante em [0, 2]. Justifica. O 24 300 520 839 326 350 135 h horas Temperatura (em 0 C)

10 f(b) f(b) f(a) f(a) a b O x y B A r f f(b) - f(a) b - a   Na figura ao lado,  representa a inclinação da recta r que contém os pontos A(a, f(a)) e B(b, f(b)) do gráfico de uma função f. Seja m o declive da recta AB. Como sabemos, Ora a expressão para obter o declive é a mesma que é utilizada para obter a taxa média de variação de f no intervalo [a, b].

11 f(b) - f(a) O f(b) f(b) f(a) f(a) a b x y B A r f b - a   Desta forma, conclui-se que a taxa média de variação de uma função f num intervalo [a, b] representa geometricamente o declive da recta definida pelos pontos do gráfico da coordenadas (a (a, f(a)) e (b (b, f(b)). Nota: Em cinemática (ramo da Física que estuda os movimentos), a taxa de variação média está associada à rapidez média (em linguagem comum, velocidade média), num certo intervalo de tempo.

12 Livro – pág. 75 Actividade 14 UMA RELAÇÃO ESPAÇO –TEMPO Lançou-se uma bola de baixo para cima. A altura (em metros) a que a bola se encontra do solo é função do tempo t (em segundos) decorrido desde o seu lançamento e é dada pela seguinte lei: Vamos estimar a velocidade da bola no instante t = 1. Para o fazer, considera-se o cálculo da velocidade média (taxa média de variação) em intervalos de tempo do tipo [1, 1+h], em que h vai tomando valores cada vez mais próximos de zero, isto é, h tende para zero.

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14 Derivada de uma função num ponto x y O 25 16 1 t 21,5 12 m/s ? 2,5

15 À medida que a amplitude do intervalo [1, 1+h] diminui, as velocidades médias aproximam-se de 12 m/s. A este valor chama-se velocidade (instantânea) no instante t = 4. No caso geral, dada uma função, f real de variável real, chama-se taxa de variação (instantânea) de f quando x = x 0 ao número real, caso exista, para que tende a taxa média de variação de f no intervalo de extremos x 0 e x 0 + h, quando h tende para zero.

16 Taxa de variação de uma função f, real de variável real, em x = x0x0 é o número real, caso exista, para que tende o quociente, Quando h tende para zero, e representa-se por ou. também é designado por derivada da função f no ponto de abcissa x0.x0.

17 Em termos geométricos, a t.m.v. [x0, x0+h] representa o declive da recta que passa pelos pontos A e P de coordenadas (x 0, f(x 0 )) e (x 0 +h, f(x 0 +h)). Se h tende para zero, então x 0 + h tende para x 0, o ponto P aproxima-se de A e a recta AP da recta t. O declive da recta AP tende para o declive da recta t, recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa x 0. A taxa de variação de f em x 0, ou seja, f ’(x 0 ), geometricamente, representa o declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa x 0.

18 Bibliografia:  “Matemáticas en tu mundo” - http://catedu.es/matematicas_mundo/http://catedu.es/matematicas_mundo/  Infinito 11  Espaço 11 Maria José Vaz da Costa