Probabilidade.

Apresentação em tema: "Probabilidade."— Transcrição da apresentação:

1 Probabilidade

2 O que é probabilidade ? Experimento aleatório: é um experimento no qual podemos descrever o conjunto de todos os resultados possíveis, mas não podemos dizer, a priori, qual desses resultados vai acontecer. Espaço Amostral (Ω): é o conjunto de todos os possíveis resultados do aleatório. Evento (A, B, C, etc): é um subconjunto do espaço amostral.

3 O que é probabilidade ? Seja Ω um espaço amostral finito uniforme e seja A um evento qualquer desse espaço. A probabilidade de A, denotada por P(A), é dada por: onde #Ω é o número de resultados possíveis do experimento e #A é o número de resultados favoráveis à ocorrência do evento A. É claro que

4 Conceito de Frequência de Probabilidade
Suponha que o experimento foi repetido n vezes, sempre sob as mesmas condições, e que o evento A ocorreu m vezes entre essas n realizações do experimento. Então, a fração m/n é uma boa aproximação para a probabilidade de A, se o numero de n de repetições for bastante grande:

5 Propriedades básicas da probabilidade
P(Ω)=1 : Probabilidade de ocorrência de um evento certo. P(Ø) = 0 : Probabilidade de ocorrência de um evento impossível. Se o evento A e B são mutuamente excludente: P (A ou B) = P(A)+P(B) Se A e B podem ocorrer simultaneamente : P (A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) P(Ac )=1-P(A)

6 Variáveis Aleatórias

7 Conceitos Uma variável aleatória (v.a) é uma função que associa cada elemento de um espaço amostral a uma número real. Variáveis aleatórias discreta: Os valores que ela pode assumir pertencem a um conjunto enumerável E de números reais Variáveis aleatórias contínua: Para que a probabilidade de ela pertencer a um conjunto de números reais seja estritamente positiva, esse conjunto deve conter dentro de si um intervalo

8 Exemplos 1) Experimento : jogar 1 dado Variável Aleatória: X = “ o dobro do número obtido menos 1” X : {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 3, 5, 7, 9, 11} 2) Experimento : jogar 4 moedas (C: Cara e K: Coroa) Variável Aleatória: Y = “ números de caras obtidas” Y : {CCCC, CKCC, ..., KKKK} {0, 1, 2, 3, 4}

9 Função Densidade Probabilidade
Ex. 1 Dado Ex. 2 Moeda x P(x) 1 1/6 3 1/6 5 1/6 7 1/6 9 1/6 11 1/6 y P(y) 0 1/6 4/6 6/16 4/16 1/16

10 Caso Discreto A função de probabilidade p corresponde à variável aleatória discreta X associada a cada número real x a probabilidade de que a variável X assuma aquele valor x. x→p(x) = P[X=x] A função de distribuição acumulada F corresponde à variável aleatória discreta X é definida por F(x)=P[X≤x], para todo x real.

11 Medidas de Centralizada e de Dispersão
Média ou Esperança de uma variável aleatória discreta Se X é uma variável aleatória discreta que assume os valores x1, x2, x3, ...,xN, com probabilidade p(x1), p(x2), p(x3), ...,p(xN) respectivamente, então sua média ou esperança é: E(A)= x1 p(x1) + x2p(x2) + x3p(x3) xN p(xN)

12 Medidas de Centralizada e de Dispersão
Variância de uma variável aleatória discreta Se X é uma variável aleatória discreta que assume os valores x1, x2, x3, ...,xN, com probabilidade p(x1), p(x2), p(x3), ...,p(xN) respectivamente, então a variancia é calculada por: Var (X)= (x1 – E(X))2.p(x1) + (x2 – E(X))2.p(x2) (xN – E(X))2.p(xN) Desvio padrão de uma variável aleatória discreta

13 Medidas de Centralizada e de Dispersão
Coeficiente de variação de uma variável aleatória discreta e igual ao quociente entre o desvio-padrão e a média CV(X)=DP(X)/EX

14 Exemplos Em um determinado condomínio residencial: 30% das famílias não tem filhos, 40% tem um filho, 20% têm dois filhos e 10 têm mais de três filhos X 1 2 3 P(x)=P(X=x) 0,3 0,4 0,2 0,1 F(x)=P(X≤x) 0,7 0,9 1,0

15 Distribuições Comuns de Variáveis Aleatórias Discretas
Constante Uniforme Bernoulli Binomial Geometrica Poisson

16 Variável Aleatória Constante
fdp FDC 1.0 c 1.0 c

17 Distribuição Discreta Uniforme
A v.a. discreta X que assume n valores discretos com probabilidade pX(i) = 1/n, 1  i  n fdp FDC:

18 Variável de Bernoulli V.A gerada por um experimento único de Bernoulli tem um resultado binário {1, 0} ou {sucesso, falha} A v.a. binária X é chamada variável de Bernoulli tal que: Função de massa de probabilidade:

19 Distribuição de Bernoulli
FDC  p+q=1 q x 0.0 1.0

20 Binomial A v.a. X representa o número de sucessos em uma sequência de experimentos de Bernoulli. Todos experimentos são independentes. Cada resultado é um “sucesso” ou “falha”. A probabilidade de sucesso de um experimento é dado por p. A probabilidade de uma falha é 1- p. Uso do modelo: número de processadores “down” num cluster; número de pacotes que chegam ao destino sem erro.

21 Distribuição Binomial
A distribuição binomial com parâmetros n ≥ 0 e 0 < p < 1, é A média e variância da binomial são:

22 V.A. Binomial: fdp pk 1 2,86102E-05 2 0, 3 0, 4 0,016222 5 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9 0, 10 0, DISTRBINOM (núm_s;tentativas;probabilidade_s; cumulativo)

23 V.A. Binomial: FDC 1 2,86102E-05 2 0, 0, 3 0, 0, 4 0,016222 0, 5 0, 0, 6 0, 0, 7 0, 0, 8 0, 0, 9 0, 0, 10 0, 0,

24 Exemplo Um sistema de segurança consiste em 4 alarmes (idênticos) de pressão alta, com probabilidade de sucesso p = 0,8 (cada um). Qual a probabilidade de se ter exatamente 3 alarmes soando quando a pressão atingir o valor limite ?

25 S1 S2 S3 F4 0,8 x 0,8 x 0,8 x 0,2 = 0,1024 S1 S2 F3 S4 0,8 x 0,8 x 0,2 x 0,8 = 0,1024 S1 F2 S3 S4 0,8 x 0,2 x 0,8 x 0,8 = 0,1024 F1 S2 S3 S4 0,2 x 0,8 x 0,8 x 0,8 = 0,1024 P(3) = 4 x (0,8)3 x (1 - 0,8) 1 = 0,4096

26 Distribuição de Poisson
Número de eventos independentes que ocorrem em um intervalo de tempo Número de chegadas em um servidor em 1 hora Número de erros de impressão em uma página de um livro  = # médio de eventos que ocorrem no período Aproximação para VA Binomial com n grande e p pequeno Se X = Binomial(n,p), X  Poisson( = np)

27 Poisson: propriedades
Considere que um servidor espera receber 100 transações em um minuto:  = 100 (constante) Espera-se que: O início de cada transação seja independente dos outros; Para cada pequeno intervalo de tempo t, a probabilidade de uma nova transação chegar seja t A probabilidade de chegar duas transações ao mesmo tempo seja zero! O processo de Poisson tem as propriedades acima A VA X~Poisson representa o número de transações que chegam durante um período t.

28 VA Poisson: Aplicacao A V.A. de Poisson é boa para modelar vários fenômenos, como o número de transações que chegam a um servidor em uma hora, ou o número de queries que chegam a uma máquina de busca em 1 minuto ou número de pacotes que chegam num roteador em 1 segundo. Muito comumente usado para modelar chegada de sessões de usuários servidores Web, multimídia, banco de dados, ftp, Sessões são iniciadas por usuários Chegada de duas sessões tendem a ser independentes: Poisson é uma boa aproximação Contra-exemplo: Chegada de requisições em um servidor Web Premissa de independência não é válida: existe dependência entre requisições para o arquivo HTML e as imagens embutidas nele

29 Distribuição de Poisson
Função de densidade de probabilidade (fdp): FDC:

30 Poisson Uma v.a. de Poisson X tem sua fdp:
Onde  > 0 é uma constante E(X)= Var(X) = 

31 Exercícios Considere que o número de mails que chegam a um servidor de mails no intervalo t segundos é distribuído como Poisson com parâmetro 0.3t. Calcule a seguintes probabilidades: Exatamente três mensagens chegarão num intervalo de 10 seg. No máximo 20 msgs chegarão num período de 20 seg. O número de msgs num intervalo de 5 seg está entre 3 e 7 mails. A probabilidade de um query falhar (não ser bem sucedido) é 10(-4). Qual a probabilidade de falharem mais de 3 queries numa sequência de 1000 queries?

32 Solução 1) P(X10 = 3) = 0.224 P(X20  20) = 0.973

33 Solução 2)

34 Distribuições de Variáveis Aleatórias Contínuas
Normal Exponencial Weibull Lognormal Pareto ....

35 Distribuições de Variáveis Aleatórias Contínuas
Assumem um intervalo infinito de diferentes valores W=% percentual de crescimento do PIB em 2005 V=tempo para retornar a resposta de um “query” Valores específicos-particulares de uma v.a. contínua tem probabilidade 0 Intervalos de valores tem probabilidade  0

36 Distribuição Normal (Gaussiana)
Distribuição mais comum na análise de dados fdp é: -x + Média é  , desvio padrão 

37 Distribuição Normal “Em forma de Sino” Unimodal Simétrica
50% “Em forma de Sino” Unimodal Simétrica Média, mediana e moda são iguais Assintótica em relação ao Eixo X Amplitude Interquartil é 1,33 s f(X) X Q1  Q3 Média, Mediana Moda

38 Notação para Distribuições Gaussianas
Geralmente denotada N(,) Normal unitária é N(0,1) Se x tem N(,), tem N(0,1) O -quantil de uma normal unitária z ~ N(0,1) é denotado por z tal que

39 Normal Função de densidade para =0, =1

40 Normal Função de densidade para =1 =2 =5

41 Normal Funções de densidade para =1 =2 =1

42 Distribuição Exponencial
Quantidade de tempo até que determinado evento ocorra  = taxa de chegadas 1/  = tempo médio entre chegadas

43 Exemplo: v.a. exponencial
fdp: FDC: V.A. muito frequentemente usada em computação Modelos: Tempo entre duas submissões de queries a uma maquina de busca Tempo de execução de processos Tempo entre chegadas de pacotes em um roteador Tempo entre chegadas de sessões em um servidor fdp x f(x)

44 Distribuição de Probabilidades Exponencial
T: valores da variável aleatória contínua = intervalo entre chegadas, com e = 2,71828 P(intervalo entre chegadas < t)= 1- e-t : taxa média de chegadas 1/ : intervalo médio entre chegadas

45 Distribuição de Probabilidades Exponencial
Exemplos: Carros chegando num pedágio; Clientes chegando num caixa eletrônico Tempo entre duas submissões de queries a uma maquina de busca Tempo de execução de processos Tempo entre chegadas de pacotes em um roteador Tempo entre chegadas de sessões em um servidor

46 Distribuição de Probabilidades Exponencial
Usada para estudos de Sistemas de Filas Função densidade de probabilidade Parâmetros

47 Distribuição de Probabilidades Exponencial
Lambda = 3,0 (Média = 0,333) f(x) Lambda = 2,0 (Média = 0,5) Lambda = 1,0 (Média = 1,0) Lambda = 0,50 (Média = 2,0) Valores of X

48 Exemplo Ex.: Operários chegam no almoxarifado a uma taxa de 30/h. Qual é a probabilidade do intervalo entre chegadas consecutivas de Operários ser maior que 5’ ? = 30 e intervalo = 5/60 = 0,0833 horas P(intervalo entre chegadas > t) = 1 – P(intervalo entre chegadas  t) = 1 – (1 – e-30.0,0833) = 0,0821

49 Distribuição log normal
Muito utilizada para modelar duração de sessão de usuários em serviços web

50 Média e Variância A média e variância de uma va X que tem uma distribuição lognormal são: