Mecânica Quântica Carlos Eduardo Aguiar

Apresentação em tema: "Mecânica Quântica Carlos Eduardo Aguiar"— Transcrição da apresentação:

1 Mecânica Quântica Carlos Eduardo Aguiar
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física Instituto de Física - UFRJ 1º período letivo, 2014

2 Ensino e aprendizagem de mecânica quântica
Dificuldades conceituais Superposição quântica Probabilidade subjetiva x objetiva Complementaridade O problema da medida Realismo vs. localidade Dificuldades matemáticas Vetores Números complexos Espaços vetoriais complexos Operadores, autovalores, autovetores Dimensão infinita, operadores diferenciais, funções especiais C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

3 Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica
D. F. Styer, Common misconceptions regarding quantum mechanics, American Journal of Physics 64 , 31, 1996. I. D. Johnston, K. Crawford, P. R. Fletcher, Student difficulties in learning quantum mechanics, International Journal of Science Education 20 , 427, 1998. S. Vokos, P. S. Shaffer, B. S. Ambrose, L. C. McDermott, Student understanding of the wave nature of matter: Diffraction and interference of particles, American Journal of Physics 68, S42, 2000. G. Ireson, The quantum understanding of pre-university physics students, Physics Education 35, 15, 2000. M. A. Moreira, I. M. Greca, Uma revisão da literatura sobre estudos relativos ao ensino da mecânica quântica introdutória, Investigações em Ensino de Ciências 6, 29, 2001. I. M. Greca, M. A. Moreira, V.E. Herscovitz, Uma proposta para o ensino de mecânica quântica, Revista Brasileira de Ensino de Física 33, 444, 2001. C. Singh, Student understanding of quantum mechanics, American Journal of Physics 69, 885, 2001. E. Cataloglu, R. W. Robinett, Testing the development of student conceptual and visualization understanding in quantum mechanics through the undergraduate career, American Journal of Physics 70, 238, 2002. K. Mannila, I. T. Koponen, J. A. Niskanen, Building a picture of students’ conceptions of wave- and particle-like properties of quantum entities, European Journal of Physics 23, 45, 2002. R. Müller, H. Wiesner, Teaching quantum mechanics on an introductory level, American Journal of Physics 70, 200, 2002; ver também Am. J. Phys. 70, 887, 2002. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

4 Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica
I. M. Greca, O. Freire Jr, Does an emphasis on the concept of quantum states enhance students’ understanding of quantum mechanics?, Science & Education 12 , 541, 2003. F. Ostermann, T. F. Ricci, Construindo uma unidade didática conceitual sobre mecânica quântica: um estudo na formação de professores de física, Ciência & Educação 10, 235, 2004. D. T. Brookes, E. Etkina, Using conceptual metaphor and functional grammar to explore how language used in physics affects student learning, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 3, , 2007. S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Why we should teach the Bohr model and how to teach it effectively, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 4, 10103, 2008. C. Singh, Student understanding of quantum mechanics at the beginning of graduate instruction, American Journal of Physics 76, 277, 2008. C. Singh, Interactive learning tutorials on quantum mechanics, American Journal of Physics 76, 400, 2008. L. D. Carr, S. B. McKagan, Graduate quantum mechanics reform, American Journal of Physics 77, 308, 2009. M. Dubson, S. Goldhaber, S. Pollock, K. Perkins, Faculty Disagreement about the Teaching of Quantum Mechanics, 2009 Physics Education Research Conference, AIP Conference Proceedings 1179, 137, 2009. C. Baily, N. D. Finkelstein, Development of quantum perspectives in modern physics, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 5, 10106, 2009. C. Baily, N. D. Finkelstein, Teaching and understanding of quantum interpretations in modern physics courses, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, 10101, 2010. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

5 Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica
S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Design and validation of the Quantum Mechanics Conceptual Survey, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, , 2010. L. Deslauriers, C. E. Wieman, Learning and retention of quantum concepts with different teaching methods, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 7, , 2011. M. Ayene, J. Kriek, B. Damtie, Wave-particle duality and uncertainty principle: Phenomenographic categories of description of tertiary physics students’ depictions, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 7, , 2011. G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum mechanics via the Stern–Gerlach experiment, American Journal of Physics 79, 499, 2011. G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. I. Investigation of difficulties, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8, , 2012. G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. II. Development of research-based learning tools, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8, , 2012. O. Levrini, P. Fantini, Encountering Productive Forms of Complexity in Learning Modern Physics, Science & Education 22,1895, 2013. A. Kohnle et al., A new introductory quantum mechanics curriculum, European Journal of Physics 35, , 2014. J. Castrillon, O. Freire Jr, B. Rodriguez, Mecánica cuántica fundamental, una propuesta didáctica, Revista Brasileira de Ensino de Física 36, 1505, 2014. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

6 Leituras recomendadas
R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Lições de Física de Feynman, vol. III, Bookman, 2008. R. P. Feynman, QED - A estranha teoria da luz e da matéria, Gradiva, 1988. H. M. Nussenzveig, Curso de Física Básica: Ótica, Relatividade, Física Quântica, Blucher, 2002. O. Pessoa Jr, Conceitos de Física Quântica, Livraria da Física, 2003. A. Zeilinger, A Face Oculta da Natureza, Globo, 2005. M. Le Bellac, The Quantum World, World Scientific, 2013. T. Hey, P. Walters, The New Quantum Universe, Cambridge UP, 2003. V. Scarani, Quantum physics: a first encounter, Oxford UP, 2006. B. Rosenblum , F. Kuttner , Quantum Enigma: Physics Encounters Consciousness, Oxford UP, 2006. L. Susskind, A. Friedman, Quantum Mechanics: The Theoretical Minimum, Basic Books, 2014 A. Rae, Quantum Physics: Illusion or Reality?, Cambridge UP, 2012. J. Polkinghorne, Quantum Theory: A Very Short Introduction, Oxford UP,   D. F. Styer, The Strange World of Quantum Mechanics, Cambridge UP, 2000. D. McIntyre, C. A. Manogue, J. Tate, Quantum Mechanics: A Paradigms Approach, Addison-Wesley, 2012. M. Le Bellac, Quantum Physics, Cambridge UP, 2006. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

7 Simulações Interferômetro de Mach-Zehnder (Universidade Federal do Rio Grande do Sul) Experiência de Stern-Gerlach (Universidade Federal do Rio Grande do Sul) QuantumLab (Universität Erlangen-Nürnberg) PhET (University of Colorado) SPINS (Oregon State University) Quantum physics (École Polytechnique) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

8 Internet Quantum Physics (IoP) http://quantumphysics.iop.org/
Quantum Mechanics (Leonard Susskind) Quantum Entanglement (Leonard Susskind) Advanced Quantum Mechanics (Leonard Susskind) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

9 Sumário Fenômenos quânticos Princípios da mecânica quântica
Sistemas quânticos simples: aplicações Realismo, contextualidade e não-localidade Partículas idênticas Operadores, autovalores e autovetores Simetrias Posição e momentum Partícula em uma dimensão não estão nestas notas C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

10 Fenômenos Quânticos Charles Addams, New Yorker, 1940
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

11 Um experimento com a luz
feixe luminoso pouco intenso semiespelho (50-50%) espelho detetores de luz D1 D2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

12 Resultado do experimento
Os detectores nunca disparam ao mesmo tempo: apenas um, ou D1 ou D2, é ativado a cada vez. D1 D2 ou 50% 50% probabilidade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

13 Se a luz fosse uma onda D1 D2 ... os detectores deveriam disparar ao mesmo tempo. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

14 Se a luz é composta por partículas
ou D1 D2 ... ou D1 dispara, ou D2 dispara. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

15 Conclusão A luz é composta por partículas: os fótons.
O detector que dispara aponta “qual caminho” o fóton tomou. caminho 2 caminho 1 D2 D1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

16 O experimento de Grangier, Roger & Aspect
Experimento realizado pela primeira vez em 1986 por Philippe Grangier, Gérard Roger e Alain Aspect. A fonte luminosa de “pouco intensa” usada no experimento não é fácil de construir. ν1 ν2 átomo de cálcio τ = 4,7 ns C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

17 O experimento de Grangier, Roger & Aspect
w = 9 ns P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

18 Resultado do experimento de Grangier et al.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

19 Sobre o ensino do conceito de fóton
Os experimentos de anticoincidência fornecem evidência simples e direta da natureza corpuscular da luz. Mais fácil de discutir (principalmente no ensino médio) que o efeito fotoelétrico. Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton não é necessário para explicar os efeitos fotoelétrico e Compton. G. Beck, Zeitschrift für Physik 41, 443 (1927) E. Schroedinger, Annalen der Physik 82, 257 (1927) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

20 Outro experimento com a luz
D2 D1 segundo semiespelho feixe luminoso “fóton a fóton” interferômetro de Mach-Zehnder C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

21 Preliminares: um feixe bloqueado
1 2 50% 25% C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

22 O outro feixe bloqueado
1 2 50% 25% C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

23 Resultado fácil de entender com partículas
1 2 50% 25% = caminho do fóton C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

24 De volta ao interferômetro
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

25 Resultado do experimento:
0% 100% D1 D2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

26 Difícil de entender se os fótons seguem caminhos definidos
1 25% 2 25% Se o fóton segue o caminho 1 (2) não deve fazer diferença se o caminho 2 (1) está aberto ou fechado, e portanto vale o resultado do experimento preliminar. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

27 Proposição:* Cada fóton segue ou o caminho 1 ou o caminho 2
consequência: probabilidade do detetor Dn disparar apenas o caminho 2 aberto apenas o caminho 1 aberto * The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-5 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

28 Teste da Proposição Experimentalmente: a proposição é falsa!
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

29 “o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2”
Repetindo: A afirmativa “o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2” é falsa. “… um fenômeno que é impossível, absolutamente impossível, de explicar em qualquer forma clássica, e que traz em si o coração da mecânica quântica.” R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

30 Por onde vai o fóton? 2 1 e 2 1 nem 1 nem 2 ou 1 ou 2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

31 Por onde vai o fóton? Experimentalmente, a opção “ou 1 ou 2” é falsa.
Se os dois caminhos forem fechados, nenhum fóton chega aos detetores. Logo, “nem 1 nem 2” também não é aceitável. Parece restar apenas a opção “1 e 2”: o fóton segue os dois caminhos ao mesmo tempo. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

32 Uma resposta melhor Não faz sentido falar sobre o caminho do fóton no interferômetro, pois a montagem experimental não permite distinguir os caminhos 1 e 2. A pergunta “qual o caminho do fóton?” só faz sentido frente a um aparato capaz de produzir uma resposta. Quando alguém deseja ser claro sobre o que quer dizer com as palavras “posição de um objeto”, por exemplo do elétron (em um sistema de referência), ele deve especificar experimentos determinados com os quais pretende medir tal posição; do contrário essas palavras não terão significado. - W. Heisenberg, The physical content of quantum kinematics and mechanics (o artigo de1927 sobre o princípio da incerteza) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

33 Fácil de entender num modelo ondulatório
interferência construtiva destrutiva C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

34 Comprimentos variáveis
L1 L2 PD2 PD1 L1, L2 = comprimentos ajustáveis dos “braços” do interferômetro C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

35 Resultado experimental:
L1 – L2 1 PD1 PD2 (linha tracejada: “ou 1 ou 2” ↔ PD(1) + PD(2)) Padrão de interferência: é possível definir um comprimento de onda. Só há um fóton de cada vez no interferômetro: o fóton “interfere com ele mesmo”. Se cada fóton seguisse um único caminho (ou 1 ou 2), o comprimento do outro caminho não deveria influenciar o resultado. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

36 O experimento de Grangier, Roger & Aspect
P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

37 O experimento de Grangier, Roger & Aspect
L1 – L2 (λ/50) L1 – L2 (λ/50) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

38 Interferência de nêutrons
interferômetro de nêutrons S. A. Werner, Neutron interferometry, Physics Today 33, 24 (dezembro1980) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

39 Interferência de átomos
interferômetro de átomos A. D. Cronin, J. Schmiedmayer, D. E. Pritchard, Optics and interferometry with atoms and molecules, Reviews of Modern Physics 81, 1051 (2009) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

40 Interferência de elétrons
A. Tonomura et al., Demonstration of single-electron build-up of an interference pattern, Am. J. Phys. 57, 117 (1989) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

41 E se os caminhos forem distinguíveis?
interferência desaparece ! diferença de “caminhos” (ajustável) P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

42 interferômetro de Ramsey
E se os caminhos forem distinguíveis? o experimento real interferômetro de Ramsey P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

43 E se os caminhos forem distinguíveis?
Massa = 0 caminho identificado não há padrão de interferência Massa  ∞ caminho não identificado padrão de interferência N  Massa P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

44 impossível determinar
E se a informação sobre o caminho for apagada? impossível determinar o caminho interferência P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

45 Quando há interferência?
Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, indistinguíveis experimentalmente interferência (“1 e 2”) Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, distinguíveis experimentalmente (“ou 1 ou 2”) não há interferência C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

46 Princípios da Mecânica Quântica
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

47 Princípios da Mecânica Quântica
Vetores de estado e o princípio da superposição A regra de Born Complementaridade e o princípio da incerteza Colapso do vetor de estado Evolução unitária Sistemas de N estados Sistemas compostos. Emaranhamento C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

48 Vetores de Estado e o Princípio da Superposição
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

49 Sistemas de dois estados
esquerda / direita horizontal / vertical para cima / para baixo sim / não 0 / 1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

50 Sistemas de dois estados
fóton refletido fóton transmitido cara coroa C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

51 Sistemas de dois estados
grandeza física observável: a2 a1 a2 a1 A = ? ou a2 a1 medidor de “A” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

52 Sistemas clássicos Sistema clássico de dois estados, A = a1 e A = a2.
Representação dos estados: pontos no “eixo A” sistema tem A = a2 sistema tem A = a1 A a1 a2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

53 Sistemas quânticos: vetores de estado
Sistema quântico de dois estados, A = a1 e A = a2. Representação dos estados: vetores ortogonais (e de comprimento unitário) em um espaço de duas dimensões sistema tem A = a2 sistema tem A = a1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

54 A notação de Dirac vetor ↔ exemplos: identificação
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

55 O que muda? ? O que muda é o seguinte:
Passar de dois pontos em uma reta para dois vetores perpendiculares não parece ser mais do mudar o sistema de “etiquetagem” dos estados. ? A a1 a2 O que muda é o seguinte: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

56 O Princípio da Superposição
Qualquer combinação linear dos vetores |a1ñ e |a2ñ representa um estado físico do sistema. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

57 Significado de |ñ A = a1 e A = a2 ? esquerda e direita?
horizontal e vertical? sim e não? 0 e 1? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

58 O espaço de estados é grande
Um sistema quântico de dois estados tem muito mais que dois estados, tem infinitos estados. Os estados |a1 e |a2 formam uma “base” do espaço de estados. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

59 Princípio da Superposição: formulação geral
Se |ñ e |ñ são vetores de estado, qualquer combinação linear deles representa um estado físico do sistema. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

60 Uma complicação As constantes c1 e c2 podem ser números complexos (o espaço de estados é um espaço vetorial complexo). Deve-se ter cuidado com figuras como esta: c2 c1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

61 Outras complicações Qual o significado de “ortogonalidade” num espaço vetorial complexo? Como se define “comprimento” de um vetor nesse espaço? ? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

62 Produto escalar O produto escalar | dos vetores | e | é um número complexo com as seguintes propriedades: | = |1 + |2  | = |1 + |2 | = c |  | = c | | = |* (* indica o conjugado complexo) |  (note que (3) implica em | real) | = 0  | = 0 (“0” é o vetor nulo) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

63 Produto escalar Forçando um pouco a notação de Dirac, podemos escrever as propriedades (1) e (2) como | 1+2 = |1 + |2 | c  = c | C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

64 Produto escalar  c | = c* |
É importante notar que num espaço vetorial complexo o produto escalar não é comutativo; pela propriedade (3), a ordem dos fatores altera o produto. Uma consequência disso é que o produto escalar é antilinear no primeiro argumento:  c | = c* | C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

65 Os vetores | e | são ortogonais se seu produto escalar é zero:
Ortogonalidade Os vetores | e | são ortogonais se seu produto escalar é zero: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

66 A norma |||| do vetor | é definida por
|||| é o “comprimento”, “tamanho”, “módulo” do vetor | | = c |  |||| = |c| |||| |||| = 0  | = 0 outra notação: || | ||  |||| C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

67 O produto escalar em termos das componentes
Usando as propriedades (1), (2) e (3): Como |a1 e |a2 são ortogonais, a1|a2 = a2|a1 = 0 e portanto Como |a1 e |a2 têm comprimento unitário, a1|a1 = a2|a2 = 1, temos finalmente que: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

68 As componentes em termos do produto escalar
Usando as propriedades (1) e (2) temos Como a1|a1 = 1 e a1|a2 = 0, Da mesma forma, Ou seja: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

69 A norma em termos das componentes
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

70 A Regra de Born C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

71 A Regra de Born c2 c1 A probabilidade de uma medida da grandeza física A resultar em A = an é (n = 1, 2) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

72 A Regra de Born | a1 a2 medidor de “A”
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

73 A regra de Born Como e a regra de Born pode ser escrita de forma independente das coordenadas: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

74 Probabilidade total Só há dois resultados possíveis, ou a1 ou a2.
A probabilidade da medida resultar ou em a1 ou em a2 é 1 (100%) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

75 Normalização do vetor de estado
|ñ e |ñ têm normas diferentes mas representam o mesmo estado físico! C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

76 Normalização do vetor de estado
Todos os vetores ao longo de uma dada “direção” representam o mesmo estado físico. Podemos trabalhar apenas com vetores “normalizados”: ou seja, Note que |a1 e |a2 já estão normalizados: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

77 Vetores normalizados: a Regra de Born
medidor de “A” | C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

78 Vetores normalizados: a Regra de Born
Em termos do produto escalar, se | está normalizado a probabilidade é dada por: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

79 Amplitude de probabilidade
cn = an|  amplitude de probabilidade probabilidade = |amplitude de probabilidade|2 função de onda: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

80 Amplitude de probabilidade
De forma mais geral: | = amplitude de probabilidade de uma medida resultar em |, para um sistema no estado | P(  ) = |||2 = probabilidade de uma medida resultar em |, para um sistema no estado | P(  ) = P(  ) embora |  | (| = |*) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

81 Frequência dos resultados de medidas
 N1  a1 N2  a2 N medidas de A (N ) podemos prever a frequência dos resultados: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

82 Valor médio dos resultados
 valor médio de A: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

83 Incerteza c2 c1 c1, c2  0 impossível prever o resultado de uma medida ou Se possível prever o resultado (probabilidade = 100%): valor de A “bem definido” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

84 A = incerteza de A no estado |
ou A = 0 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

85 Complementaridade e o Princípio da Incerteza
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

86 Complementaridade A B a1 a2 duas grandezas físicas: A e B b1 b2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

87 Grandezas compatíveis e incompatíveis
A e B compatíveis A e B incompatíveis A e B complementares: incompatibilidade “máxima” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

88 O Princípio da Incerteza
A bem definido, B incerto ( A = 0,  B  0) A e B incertos ( A  0,  B  0) B bem definido, A incerto ( B = 0,  A  0) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

89 O Princípio da Incerteza
A e B incompatíveis  nenhum estado | com  A = 0 e  B = 0 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

90 Exemplo: posição e momentum
duas posições: |x1, |x2 (“aqui”, “ali”) dois estados de movimento: |p1, |p2 (“repouso”, “movimento”) impossível ter um estado com posição e momentum bem definidos C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

91 Resumo da “cinemática” quântica
vetor no espaço de estados estado físico sistema de eixos (uma “base”) no espaço de estados grandeza física C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

92 Resumo da “cinemática” quântica
projeção do vetor de estado no eixo |an  probabilidade da medida resultar em A = an probabilidade de uma medida da grandeza A resultar em A = a1 ou A = a2 grandezas físicas incompatíveis (complementares) diferentes sistemas de eixos no espaço de estados C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

93 Como o vetor de estado muda com o tempo?
“Colapso” durante uma medida Evolução unitária (equação de Schroedinger) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

94 Colapso do Vetor de Estado

95 Colapso do vetor de estado
antes da medida a2 a1 depois da medida C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

96 Colapso do vetor de estado
resultado A = a2 A = a1 medida de A resulta em an  logo após a medida o vetor de estado do sistema é |an C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

97 Colapso do vetor de estado
O colapso garante que a medida é repetível: se obtemos A = an e imediatamente refazemos a medida, encontramos A = an novamente com 100% de probabilidade. O estado | an  é o único em que a nova medida resultará em A = an com 100% de probabilidade. |  |an: a medida causa uma alteração imprevisível e incontrolável do estado quântico; versão moderna do “salto quântico”. O colapso aplica-se a medidas “ideais” (medidas de von Neuman, ou projetivas). Na prática, muitas vezes não faz sentido falar em colapso. Por exemplo: Um fóton geralmente é absorvido durante sua detecção – não há mais fóton após a primeira medida. Medidas de grandezas contínuas como posição e momentum não têm resultados absolutamente precisos; os detectores necessariamente possuem uma resolução finita. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

98 Medidas simultâneas de duas grandezas
b2 b1 (A, B) ( A  0,  B  0) ( A = 0,  B = 0) Se A e B são incompatíveis (complementares), não existe estado | com  A = 0 e  B = 0. É impossível realizar um experimento no qual A e B são medidos simultaneamente (de forma reprodutível). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

99 Evolução Unitária

100 A equação de Schroedinger
Evolução temporal do vetor de estado: |(0)  |(t) Dinâmica quântica: determinada pela energia do sistema (o conceito de força é pouco relevante). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

101 A (solução da) equação de Schroedinger
Sistema de dois estados Dois níveis de energia: E1, E2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

102 A (solução da) equação de Schroedinger
ћ = constante de Planck ( 2)  110-34 Js Números complexos são inevitáveis. Mesmo que as componentes do vetor de estado sejam reais em t = 0, para t  0 elas serão complexas: A evolução |(0)  |(t) ditada pela equação de Schroedinger é contínua (sem ‘saltos quânticos’) e determinista (sem elementos probabilísticos). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

103 Propriedades da equação de Schroedinger
Linearidade: t  0 t = 0 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

104 Demonstração da linearidade
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

105 Propriedades da equação de Schroedinger
Conservação da norma do vetor de estado: tamanho não muda Conservação da ortogonalidade entre vetores: dois vetores perpendiculares continuam perpendiculares C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

106 Conservação do produto escalar
conservação da norma: conservação da ortogonalidade: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

107 Propriedades da equação de Schroedinger
Determinismo Continuidade Linearidade Conservação da norma Conservação da ortogonalidade “evolução unitária” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

108 Estados estacionários
Estado de energia bem definida En: mesma “direção” que |En |(0) e |(t) representam o mesmo estado físico. Estados de energia bem definida são “estacionários”. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

109 Conservação da energia
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

110 Eq. de Schroedinger x Processos de medida
Equação de Schroedinger: contínua determinista válida enquanto não se faz uma medida Colapso do vetor de estado: descontínuo probabilístico ocorre durante a medida C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

111 Eq. de Schroedinger x Processos de medida
Dois tipos de evolução temporal? Equação de Schroedinger: interação do sistema quântico com outros sistemas quânticos. A = a1 e A = a2 Colapso do vetor de estado: interação do sistema quântico com um aparato clássico, o aparelho de medida (o “observador”). A = a1 ou A = a2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

112 O “problema da medida” |  |    
Por que o aparelho de medida não é regido pela eq. de Schroedinger? a2 a1 Descrição quântica do aparelho de medida: |   |  aparelho de medida: equação de Schroedinger:   o ponteiro aponta em duas direções ao mesmo tempo ! C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

113 O “problema da medida” Porque as superposições quânticas não são encontradas no mundo macroscópico? Jamais se observou um ponteiro macroscópico apontando em duas direções ao mesmo tempo. Um gato não pode estar simultaneamente vivo e morto. Como conciliar o espaço quântico de infinitos estados com a observação de apenas alguns poucos estados macroscópicos? Uma descrição do processo de medida baseada na equação de Schroedinger deve dar respostas a essas questões. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

114 Física quântica x física clássica
Por medida, na mecânica quântica, nós entendemos qualquer processo de interação entre objetos clássicos e quânticos… L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics … os instrumentos de medida, para funcionarem como tal, não podem ser propriamente incluídos no domínio de aplicação da mecânica quântica. N. Bohr, carta a Schroedinger, 26 de outubro de 1935 …o ‘aparato’ não deveria ser separado do resto do mundo em uma caixa preta, como se não fosse feito de átomos e não fosse governado pela mecânica quântica. J. Bell, Against measurement C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

115 Física quântica x física clássica
…a mecânica quântica ocupa um lugar muito incomum entre as teorias físicas: ela contém a mecânica clássica como um caso limite, mas ao mesmo tempo requer esse caso limite para sua própria formulação... - L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

116 Sistemas de N Estados Você está em todo lugar
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

117 Três valores possíveis para a grandeza A:
Sistemas de 3 estados Três valores possíveis para a grandeza A: a3 a1 a2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

118 ... ... Sistemas de N estados N valores possíveis para a grandeza A:
(impossível desenhar N eixos perpendiculares) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

119 Sistemas de infinitos estados
N pode ser infinito: N pode ser infinito, e a ter valores contínuos: densidade de probabilidade: probabilidade: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

120 Sistemas de infinitos estados
Exemplo: a = x = posição de uma partícula função de onda: (x) densidade de probabilidade: probabilidade: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

121 Sistemas de infinitos estados
A grandeza a pode ter valores discretos e contínuos: Exemplo: a = E = energia de uma partícula C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

122 Produto escalar C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

123 Produto escalar C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

124 Sistemas Compostos C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

125 Sistemas compostos |anI |bsII sistema I sistema II
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

126 Sistemas compostos |an, bs  sistema composto subsistema I
subsistema II sistema composto C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

127 Produto tensorial A notação do produto tensorial torna evidentes algumas propriedades que os estados do sistema composto devem ter. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

128 Produto tensorial Por exemplo: sistema I no estado
sistema II no estado sistema composto no estado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

129 Produto tensorial Note que ou, de maneira geral,
Uma consequência disso é C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

130 Nem todo estado é separável, pois nem sempre .
Estados separáveis Estado geral do sistema composto: Estados separáveis (estados “produto” ou “fatorizáveis”):  sistema I no estado |, sistema II no estado | Nem todo estado é separável, pois nem sempre C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

131 Estados não-separáveis são chamados de estados emaranhados.
Exemplo: o estado não é separável, do contrário deveríamos ter o que é impossível. A primeira equação diz que todos os ’s e ’s são diferentes de 0 e a segunda diz que pelo menos dois deles são nulos. Estados não-separáveis são chamados de estados emaranhados. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

132 Se o estado | é emaranhado.
Estados emaranhados Outro exemplo: a função de onda de duas partículas O estado | é separável se pois nesse caso Se o estado | é emaranhado. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

133 Emaranhamento Não é possível associar vetores de estado aos subsistemas individuais. O emaranhamento pode ocorrer mesmo quando os subsistemas estão separados por distâncias macroscópicas, Um dos mais estranhos e surpreendentes aspectos da mecânica quântica. “O melhor conhecimento possível de um todo não inclui o melhor conhecimento possível de suas partes, nem mesmo quando essas estão completamente separadas umas das outras e no momento não influenciam umas às outras.” - E. Schrödinger, The Present Situation in Quantum Mechanics (o artigo de 1935 onde apareceu o gato de Schroedinger) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

134 Aplicações a sistemas simples
Instituto de Física Quântica Você está aqui e aqui C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

135 Informação quântica C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

136 Aplicações a sistemas simples
Interferômetro de Mach-Zehnder Medida sem interação O problema de Deutsch Molécula de H2+ Benzeno, amônia Polarização do fóton Oscilação de neutrinos Spin ½ Informação quântica ainda não estão nestas notas C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

137 Interferômetro de Mach-Zehnder
Interferência de uma partícula Descrição quântica do interferômetro Interferência e indistinguibilidade Defasagem C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

138 O interferômetro de Mach-Zehnder
interferência construtiva 0% 100% D1 D2 “ondas” interferência destrutiva C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

139 O interferômetro de Mach-Zehnder
1 2 50% 25% D1 e D2 nunca disparam em coincidência “partículas” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

140 Descrição quântica do interferômetro
(caminho 1) (caminho 2) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

141 Espaço de estados probabilidades:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

142 probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2
Semiespelho 1 2 evolução unitária probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

143 sinal negativo: evolução unitária conserva a ortogonalidade
Semiespelho sinal negativo: evolução unitária conserva a ortogonalidade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

144 Interferômetro D1 D2 1 2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

145 Primeiro semiespelho:
Interferômetro Estado inicial: Primeiro semiespelho: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

146 Interferômetro Segundo semiespelho: ou seja, o estado final é
interferência destrutiva interferência construtiva P1 = 100% P2 = 0% C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

147 O que interfere? (1-1-1) (1-2-1) (1-1-2) (1-2-2) 2 2 1 1
(1-1-1) (1-2-1) (1-1-2) (1-2-2) 1 2 1 2 soma das amplitudes de probabilidade associadas a caminhos alternativos indistinguíveis C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

148 Caminho bloqueado 1 2 D2 D1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

149 Primeiro semiespelho:
Caminho bloqueado Estado inicial: Primeiro semiespelho: Bloqueio: fóton bloqueado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

150 Caminho bloqueado Segundo semiespelho: ou seja, o estado final é
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

151 Por que não há interferência?
(1-1-1) (1-2-) (1-1-2) 1 1 2 1 2  não há caminhos alternativos para cada um dos estados finais  não há interferência C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

152 Caminhos alternativos distinguíveis
mola C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

153 Caminhos alternativos distinguíveis
1, 2: caminho do fóton R: espelho em repouso M: espelho em movimento Estado inicial: Primeiro semiespelho: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

154 Caminhos alternativos distinguíveis
Segundo semiespelho: ou seja, o estado final é P1 = P(1, R) + P(1, M) = 50% P2 = P(2, R) + P(2, M) = 50% soma de probabilidades, não de amplitudes C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

155 Apagando a informação sobre o caminho
mola C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

156 Apagando a informação sobre o caminho
Segundo semiespelho: ou seja, o estado final é a informação sobre o caminho foi apagada e a interferência restabelecida C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

157 densidade do material atravessado
Defasagem As probabilidades P1 e P2 dependem de diferenças entre os dois caminhos. L1 – L2 (λ/50) distância percorrida densidade do material atravessado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

158 características do caminho percorrido  “fase”
Defasagem características do caminho percorrido  “fase” 1 2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

159 Defasagem D1 D2 1 2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

160 Primeiro semiespelho:
Defasagem Estado inicial: Primeiro semiespelho: Defasadores: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

161 Defasagem Segundo semiespelho: ou seja,
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

162 Após o segundo semiespelho:
Defasagem Após o segundo semiespelho: Probabilidades: 1 – 2 1 P1  1 – 2 1 P2  C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

163 após uma distância “extra” x:
Defasagem L1 – L2 (λ/50)  após uma distância “extra” x: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

164 Medida sem interação C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

165 O palito de fósforo quântico
fósforo “bom” fóton fósforo “ruim” fóton C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

166 O palito de fósforo quântico
palitos bons e ruins misturados Problema: como encher uma caixa de fósforos apenas com palitos bons? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

167 Teste clássico palito bom queimado palito ruim
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

168 Teste quântico D1 D2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

169 palito ruim  D2 nunca dispara
transparente palito ruim  D2 nunca dispara C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

170 Palito bom palito bom  D2 dispara em 25% das vezes,
50% palito bom  D2 dispara em 25% das vezes, e o fósforo permanece intacto C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

171 Teste quântico D2  fósforo bom intacto
D1  fósforo bom intacto ou fósforo ruim Fósforo acende  fósforo bom queimado Dos fósforos bons: 25% estão identificados e intactos 50% foram queimados 25% em dúvida Retestando os casos duvidosos é possível identificar 1/3 dos fósforos bons. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

172 Como saber se uma moeda é honesta ou viciada?
O problema de Deutsch Como saber se uma moeda é honesta ou viciada? 1ª lado 2ª lado moeda honesta 1ª lado 2ª lado moeda viciada C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

173 Resposta “clássica”: olhando os dois lados
O problema de Deutsch Resposta “clássica”: olhando os dois lados 1ª lado 2ª lado honesta 4 possibilidades viciada C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

174 Podemos espiar os dois lados da moeda
O problema de Deutsch Podemos espiar os dois lados da moeda com um único fóton? Aparentemente, não! C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

175 Vendo os dois lados da moeda com um único fóton
cara:  = 0 coroa:  =  2 1 D2 2 1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

176 Vendo os dois lados da moeda com um único fóton
cara:  = 0 coroa:  =  D1 1 2 D2 2 1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

177 Vendo os dois lados da moeda com um único fóton
moeda viciada: 1  2 1  2  0 fóton em D1 D1 D2 2 1 1 2 moeda honesta: 1  2 1  2   fóton em D2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

178 O início da computação quântica
x = 0 x = 1 f1 f2 1 f3 f4 f constante f “balanceada” É possível descobrir se a função é constante com um único cálculo de f ? D. Deutsch, Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer, Proceedings of the Royal Society A 400, p (1985). D. Deutsch, R. Jozsa. Rapid solutions of problems by quantum computation, Proceedings of the Royal Society of London A 439, p (1992). R. Cleve, A. Ekert, C. Macchiavello, M. Mosca, Quantum algorithms revisited, Proceedings of the Royal Society of London A 454, p (1998). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

179 Mais aplicações a sistemas simples
Molécula de H2+, benzeno, corante (Feynman). Maser de amônia. (Feynman, Basdevant, Le Bellac) Oscilação de neutrinos (Basdevant 2) Exemplos - Le Bellac. Polarização do fóton. (Le Bellac, Martin, Moyses) Spin ½. Relógio de Césio (Basdevant) Canais acoplados: transmissão por barreiras. Descoerência, efeito Zeno (M. Berry) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

180 Mais aplicações (sistemas de N estados)
N posições (Feynman). Molécula da benzeno (ver Le Bellac). Cristais; bandas (depois de férmions?) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

181 Realismo, Contextualidade e Localidade
“Eu só gostaria de saber que diabos está acontecendo, é só! Eu gostaria de saber que diabos está acontecendo! Você sabe que diabos está acontecendo?” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

182 grandeza medida no experimento
Variáveis ocultas Medidas: revelam um valor preexistente? criam o resultado encontrado? variável “oculta” que determina o valor de A grandeza medida no experimento C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

183 Experimentos com um sistema composto
II AI = 1 AII = 1 BII = 1 BI = 1 incompatíveis compatíveis C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

184 Quatro experimentos com um sistema composto
Quatro experimentos possíveis: Medida de AI e AII AI = +1 e AII = +1  encontrado algumas vezes Medida de AI e BII AI = +1 e BII = +1  nunca encontrado Medida de BI e AII BI = +1 e AII = +1  nunca encontrado Medida de BI e BII BI = -1 e BII = -1  nunca encontrado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

185 Quatro experimentos com um sistema composto
grau de emaranhamento P(AI, AII) (em %) P(AI, BII) = 0 P(BI, AII) = 0 P(BI, BII) = 0 A. G. White, D. F. V. James, P. H. Eberhard, P. G. Kwiat, Nonmaximally Entangled States: Production, Characterization, and Utilization, Physical Review Letters 83, 3013 (1999) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

186 Experimentos com um sistema composto
Se os valores de AI, AII, BI e BII já existiam antes das medidas: AI = +1 AII = +1 sempre BI = -1 BII = -1 !! Mas BI = BII = -1 nunca é encontrado (exp. 4)! C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

187 P(BI, BII) = 0  experimento 4
Estados de Hardy estado emaranhado P(BI, BII) = 0  experimento 4 L. Hardy, Quantum Mechanics, Local Realistic Theories, and Lorentz-Invariant Realistic Theories, Physical Review Letters 68, 2981 (1992). L. Hardy, Nonlocality for two particles without inequalities for almost all entangled states, Physical Review Letters 71, 1665 (1993) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

188 Estados de Hardy Experimentos 1, 2 e 3:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

189 Estados de Hardy Experimentos 1, 2 e 3: 3) 2) 1)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

190 Contextualidade b1 b2 a1 a2 (A, B) o que está sendo
medido em 2 (A2 ou B2) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

191 medido em II (AII ou BII)
Contextualidade o que está sendo medido em II (AII ou BII) o que está sendo medido em I (AI ou BI) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

192 Não-localidade I II AI AII BII BI
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

193 O teorema de Bell Qualquer teoria de variáveis ocultas compatível com a mecânica quântica é necessariamente não-local. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

194 A fazer: Partículas idênticas Simetrias Posição e momentum
Partícula em 1 dimensão: aplicações Partícula livre. Potenciais constantes por partes: estados ligados, tunelamento, etc. Oscilador harmônico (começar com a, a+ e terminar com x,p) Soma sobre caminhos (?) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

195 Citações C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

196 Dirac: colapso e salto quântico
… a sudden jump from being partly in each of these two states to being entirely in one or other of them. Which of the two states it will jump into cannot be predicted, but is governed only by probability laws. (p.7) When we measure a real dynamical variable , the disturbance involved in the act of measurement causes a jump in the state of the dynamical system. From physical continuity, if we make a second measurement of the same dynamical variable  immediately after the first, the result of the second measurement must be the same as that of the first. Thus after the first measurement has been made, there is no indeterminacy in the result of the second. Hence, after the first measurement has been made, the system is in an eigenstate of the dynamical variable , the eigenvalue it belongs to being equal to the result of the first measurement. This conclusion must still hold if the second measurement is not actually made. In this way we see that a measurement always causes the system to jump into an eigenstate of the dynamical variable that is being measured, the eigenvalue this eigenstate belongs to being equal to the result of the measurement. (p.16) -- P. A. M. Dirac,The Principles of Quantum Mechanics, 4a ed. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

197 Dirac e o princípio da superposição
...a new set of accurate laws of nature is required. One of the most fundamental and most drastic of these is the Principle of Superposition of States. (p.4) When a state is formed by the superposition of two other states, it will have properties that are in some vague way intermediate between those of the two original states and that approach more or less closely to those of either of them according to the greater or less 'weight' attached to this state in the superposition process. (p.13) people have tried to establish analogies with systems in classical mechanics, such as vibrating strings or membranes, which are governed by linear equations and for which, therefore, a superposition principle holds. Such analogies have led to the name 'Wave Mechanics' being sometimes given to quantum mechanics. It is important to remember, however, that the superposition that occurs in quantum mechanics is of an essentially different nature from any occurring in the classical theory, as is shown by the fact that the quantum superposition principle demands indeterminacy in the results of observations in order to be capable of a sensible physical interpretation. The analogies are thus liable to be misleading. (p.14) -- P. A. M. Dirac,The Principles of Quantum Mechanics, 4a ed. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

198 Dirac e o vetor de estado
It is desirable to have a special name for describing the vectors which are connected with the states of a system in quantum mechanics, whether they are in a space of a finite or an infinite number of dimensions. We shall call them ket vectors, or simply kets, and denote a general one of them by a special symbol |>. If we want to specify a particular one of them by a label, A say, we insert it in the middle, thus |A>. The suitability of this notation will become clear as the scheme is developed. (p.15) … a further assumption, namely the assumption that by superposing a state with itself we cannot form any new state, but only the original state over again. […] Thus a state is specified by the direction of a ket vector and any length one may assign to the ket vector is irrelevant. (p.17) -- P. A. M. Dirac,The Principles of Quantum Mechanics, 4a ed. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

199 Heisenberg When one wants to be clear about what is to be understood by the words "position of the object," for example of the electron (relative to a given frame of reference), then one must specify definite experiments with whose help one plans to measure the "position of the electron"; otherwise this word has no meaning. - W. Heisenberg (1927), The Physical Content of Quantum Kinematics and Mechanics, reimpresso em J.A. Wheeler e W.H. Zurek, Quantum Theory and Measurement, p.62 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

200 Heisenberg e o colapso do vetor de estado
[…] the act of registration of the result in the mind of the observer. The discontinuous change in the probability function […] takes place with the act of registration, because it is the discontinuous change in our knowledge in the instant of registration that has its image in the discontinuous change of the probability function. (p. 55) When the old adage “Natura non facit saltus” (Nature makes no jumps) is used as a basis of a criticism of quantum theory, we can reply that certainly our knowledge can change suddenly, and that this fact justifies the use of the term ‘quantum jump’. (p. 54) -- W. Heisenberg, Physics and Philosophy (Harper, 1958) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

201 Heisenberg sobre Bohr e a complementaridade
Bohr was trying to allow for the simultaneous existence of both particle and wave concepts, holding that, though the two were mutually exclusive, both together were needed for a complete description of atomic processes. I disliked this approach. I wanted to start from the fact that quantum mechanics as we then knew it already imposed a unique physical interpretation so that it looked very much as if we no longer had any freedom with respect to that interpretation. Instead, we would have to try to derive the correct general interpretation by strict logic from the ready-to-hand, more special interpretation. - W. Heisenberg, Physics and beyond, Harper and Row, 1971, p. 76 (ver A. Pais, Niels Bohr’s times, p. 303) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

202 Heisenberg sobre Bohr e a complementaridade
The main point was that Bohr wanted to take this dualism between waves and corpuscles as the central point of the problem, and to say, 'That is the center of the whole story, and we have to start from that side of the story in order to understand it.' I, in some way would say, 'Well, we have a consistent mathematical scheme and this consistent mathematical scheme tells us everything which can be observed. Nothing is in nature which cannot be described by this mathematical scheme.' It was a different way of looking at the problem because Bohr would not like to say that nature imitates a mathematical scheme, that nature does only things which fit into a mathematical scheme. (cont.) - W. Heisenberg, interview by T.S.Kuhn, 1963 (ver A. Pais, Niels Bohr’s times, p ) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

203 Heisenberg sobre Bohr e a complementaridade
(cont.) While I would say, ' Well, waves and corpuscles are, certainly, a way in which we talk and we do come to these concepts from classical physics. Classical physics has taught us to talk about particles and waves, but since classical physics is not true there, why should we stick so much to these concepts? Why should we not simply say that we cannot use these concepts with a very high precision, therefore the uncertainty relations, and therefore we have to abandon these concepts to a certain extent. When we get beyond this range of the classical theory, we must realize that our words don't fit. They don't really get a hold in the physical reality and therefore a new mathematical scheme is just as good as anything because the new mathematical scheme then tells what may be there and what may not be there. Nature just in some way follows the scheme. - W. Heisenberg, interview by T.S.Kuhn, 1963 (ver A. Pais, Niels Bohr’s times, p ) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

204 Pauli The first question is why not the p's as well as the q's can be prescribed with arbitrary precision One can look at the world with the p-eye and one can look at it with the q-eye but when one would like to open both eyes, then one gets dizzy. W. Pauli, letter to W. Heisenberg, 19 October 1926, p. 340 (ver A. Pais, Niels Bohr’s times, p. 304) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

205 Bohr It is decisive to recognize that, however far the phenomena transcend the scope of classical physical explanation, the account of all evidence must be expressed in classical terms. The argument is simply that by the word “experiment” we refer to a situation where we can tell others what we have done and what we have learned and that, therefore, the account of the experimental arrangement and of the results of the observations must be expressed in unambiguous language with suitable application of the terminology of classical physics. This crucial point […] implies the impossibility of any sharp separation between the behaviour of atomic objects and the interaction with the measuring instruments which serve to define the conditions under which the phenomena appear. - N. Bohr (1949), Discussions with Einstein on epistemological problems in atomic physics, reimpresso em J.A. Wheeler e W.H. Zurek, Quantum Theory and Measurement, p.17-18 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

206 Bohr … I warned especially against phrases, often found in the physical literature, such as "disturbing of phenomena by observation" or "creating physical attributes to atomic objects by measurements." Such phrases, which may serve to remind of the apparent paradoxes in quantum theory, are at the same time apt to cause confusion, since words like "phenomena" and "observations," just as "attributes" and "measurements," are used in a way hardly compatible with common language and practical definition. As a more appropriate way of expression I advocated the application of the word phenomenon exclusively to refer to the observations obtained under specified circumstances, including an account of the whole experimental arrangement. - N. Bohr (1949), Discussions with Einstein on epistemological problems in atomic physics, reimpresso em J.A. Wheeler e W.H. Zurek, Quantum Theory and Measurement, p.45-46 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

207 Bohr ... a limitação fundamental, encontrada na física atômica, da existência objetiva de fenômenos independentemente dos meios para sua observação. N. Bohr, Física Atômica e Conhecimento Humano, p.10 The argument is above all that the measuring instruments, if they are to serve as such, cannot properly be included in the domain of application of quantum mechanics. N. Bohr, letter to Schrödinger, October 26, 1935 (ver Muynck, p.XX) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

208 Bell I mean too, by ‘serious’, that ‘apparatus’ should not be separated off from the rest of the world into black boxes, as if it were not made of atoms and not ruled by quantum mechanics. Information? Whose information? Information about what? There can be no question – without changing the axioms — of getting rid of the shifty split. Sometimes some authors of ‘quantum measurement’ theories seem to be trying to do just that. It is like a snake trying to swallow itself by the tail. It can be done - up to a point. But it becomes embarrassing for the spectators even before it becomes uncomfortable for the snake. [descoerência?!] The idea that elimination of coherence, in one way or another, implies the replacement of ‘and’ by ‘or’, is a very common one among solvers of the ‘measurement problem’. It has always puzzled me. To restrict quantum mechanics to be exclusively about piddling laboratory operations is to betray the great enterprise. (Against measurement, Physics World, August 1990) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

209 Landau e Lifshitz . . . the ‘classical object’ is usually called apparatus and its interaction with the electron is spoken of as measurement. However, it must be emphasised that we are here not discussing a process ... in which the physicist-observer takes part. By measurement, in quantum mechanics, we understand any process of interaction between classical and quantum objects, occurring apart from and independently of any observer. The importance of the concept of measurement in quantum mechanics was elucidated by N Bohr. (p.2) . . . Thus quantum mechanics occupies a very unusual place among physical theories: it contains classical mechanics as a limiting case, yet at the same time it requires this limiting case for its own formulation " (p.3) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

210 Gottfried e Yan It is natural to take it for granted that a particular value a displayed by a particular measurement of an observable A simply reveals a pre-existing value possessed by that individual specimen S, just as your head has a definite circumference before the tape measure is unfurled in a statistical study of the egos of physicists. This entirely sensible supposition is not valid, however: Values cannot be ascribed to observables prior to measurement; such values are only the outcomes of measurement. The common-sense inference that measurements reveal pre-existing values leads to implications that are contradicted by experiment, and are also incompatible with the Hilbert space structure of quantum mechanics. This conclusion is not obvious, and was not established firmly until some three decades after the discovery of quantum mechanics. The reasoning and experiments that lead to it will be given in chapter 12, but the conclusion is stated here to abort seductive misconceptions. p C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

211 Schlosshauer Whereas such superpositions of states have been experimentally extensively verified for microscopic systems (for instance, through the observation of interference effects), the application of the formalism to macroscopic systems appears to lead immediately to severe clashes with our experience of the everyday world. A book has never been observed to be in a state of being both “here” and “there” (i.e., to be in a superposition of macroscopically distinguishable positions), nor does a Schrödinger cat that is a superposition of being alive and dead bear much resemblance to reality as we perceive it. The problem is, then, how to reconcile the vastness of the Hilbert space of possible states with the observation of a comparatively few “classical” macroscopic states, defined by having a small number of determinate and robust properties such as position and momentum. Why does the world appear classical to us, in spite of its supposed underlying quantum nature, which would, in principle, allow for arbitrary superpositions? (M. Schlosshauer, RMP v. 76, p. 1268, 2004) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

212 t’Hooft Quantum mechanics is not a theory about reality, it is a prescription for making the best possible predictions about the future if we have certain information about the past. G. t’Hooft. Journ. Stat. Phys. 53, 323 (1988) (ver Muynck p. xxi) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

213 Weinberg As Bohr acknowledged, in the Copenhagen interpretation a measurement changes the state of a system in a way that cannot itself be described by quantum mechanics. This can be seen from the interpretive rules of the theory. If we measure an observable represented by an Hermitian operator A, and the system is initially in a normalized superposition […] of orthonormal eigenvectors […] of A with eigenvalues an, then the state will collapse during the measurement to a state in which the observable has a definite one of the values an, and the probability of finding the value an is given by what is known as the Born rule […]. This interpretation of quantum mechanics entails a departure from the dynamical assumptions of quantum mechanics during measurement. In quantum mechanics the evolution of the state vector described by the time-dependent Schrödinger equation is deterministic. If the time-dependent Schrödinger equation described the measurement process, then whatever the details of the process, the end result would be some definite state, not a number of possibilities with different probabilities. This is clearly unsatisfactory. If quantum mechanics applies to everything, then it must apply to a physicist’s measurement apparatus, and to physicists themselves. On the other hand, if quantum mechanics does not apply to everything, then we need to know where to draw the boundary of its area of validity. Does it apply only to systems that are not too large? Does it apply if a measurement is made by some automatic apparatus, and no human reads the result? -- S. Weinberg, Lectures on Quantum Mechanics (2013) p. 82 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

214 Cartoons C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

215 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

216 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

217 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

218 a2 a1 a2 a1 a2 a1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

219 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

220 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

221 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

222 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014