Análise de modelos matemáticos por meio de simulações computacionais

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1 Análise de modelos matemáticos por meio de simulações computacionais
Mini Curso: Modellus Modellus Análise de modelos matemáticos por meio de simulações computacionais

2 Histórico e objetivos:
Mini Curso: Modellus Histórico e objetivos: Modellus é uma aplicação disponível gratuitamente que permite que os alunos e professores (ensino secundário e superior) utilizem a matemática para criar ou explorar modelos de forma interativa. O Modellus é usado para introduzir a modelagem computacional, que nos permiti elaborar de maneira fácil e intuitiva modelos matemáticos usando a notação matemática padrão. Possibilita, também, criar animações com objetos interativos relacionados às expressões matemáticas descritas no modelo. Desta forma, propicia explorar as múltiplas representações e analisar dados experimentais em forma de imagens, animações, gráficos e tabelas. O principal foco do Modellus é a modelagem e o significado dos modelos.

3 Como baixar o Modellus? 1) Acessar a página
Mini Curso: Modellus Como baixar o Modellus? 1) Acessar a página 2) Seguir a instruções fornecidas

4 Ferramentas oferecias pelo software
Mini Curso: Modellus Ferramentas oferecias pelo software Em um único ambiente (tela) o software oferece as opções: 1) Janela do Modelo

5 Podem ser utilizadas quantas funções quanto forem necessárias.
Mini Curso: Modellus Nesta janela digitão-se as funções matemáticas que representam o modelo. Podem ser utilizadas quantas funções quanto forem necessárias. EXERCÍCIO: Na Janela Modelo digitar x = t^2 Que representa a função f(t) = t2.

6 Mini Curso: Modellus 2) Janela do Gráfico

7 Clique na “setinha” verde localizada no canto inferior à esquerda.
Mini Curso: Modellus Nesta janela o software plota o gráfico da função descrita na janela Modelo EXERCÍCIO: Clique na “setinha” verde localizada no canto inferior à esquerda.

8 Mini Curso: Modellus 2) Janela do Tabela

9 Observe a tabela criada pelo software
Mini Curso: Modellus Nesta janela o software exibe para cada valor atribuido à variável independente t, o correspondente valor de x(t) EXERCÍCIO: Observe a tabela criada pelo software

10 Obtendo uma tela como a seguir
Mini Curso: Modellus Obtendo uma tela como a seguir

11 Observe que o software plotou os pontos
Mini Curso: Modellus Observe que o software plotou os pontos (-2, 4), (-1, 1), (0,0), (1, 1)e (2, 4), e em seguida uniu tais pontos por meio de um segmento de reta. É assim que o software plota o gráfico. Ou seja, para cada valor de t, ele calcule o x(t) correspondente, marca cada ponto (t, x(t)) e uni cada ponto por meio de um segmento de reta.

12 Como melhorar o gráfico? Basta alterar o Δt
Mini Curso: Modellus Como melhorar o gráfico? Basta alterar o Δt EXERCÍCIO: Na barra no topo superior, clique em Variável Independente, altere o Δt para 0.1 e clique na “setinha” verde (canto inferior à esquerda) e observe o novo gráfico e a nova tabela.

13 Assim obtemos uma tela como a seguir
Mini Curso: Modellus Assim obtemos uma tela como a seguir

14 Mini Curso: Modellus Observe que o gráfico se assemelha à curva esperada e a tabela exibi os valores assumidos por t e os respectivos valores de x(t)

15 Análise do itens que constam na barra superior
Mini Curso: Modellus Análise do itens que constam na barra superior Início Ao clicar em Início obtemos as opções

16 Mini Curso: Modellus

17 Neste item cabe destacar a opção Casas Decimais.
Mini Curso: Modellus Neste item cabe destacar a opção Casas Decimais. Como o software utiliza cálculos para marcar os pontos do gráfico, ele realiza aproximações determinadas pelo número de casas decimais que for escolhida nesta opção.

18 Observe o que ocorre no gráfico e na tabela.
Mini Curso: Modellus EXERCÍCIO: Na opção Casas Decimais, altera para 3, por exemplo. Em seguida, retorne ao modelo desenvolvido até o momento e clique na “setinha” verde. Observe o que ocorre no gráfico e na tabela.

19 Obtemos uma tela como a seguir
Mini Curso: Modellus Obtemos uma tela como a seguir

20 Mini Curso: Modellus Observe que a tabela exibi valores de t e de x(t) com três casas decimais

21 Variável independente
Mini Curso: Modellus Variável independente Nesta opção cabe destacar que é possível alterar o “nome” da variável independente, o passo desta variável e o intervalo de variação.

22 Altere o nome da variável.
Mini Curso: Modellus EXERCÍCIO: Altere o nome da variável. Altere o passo para (três casas decimais, que é possível, pois na opção Início foi determinado que seriam 3 casas decimais). Altere o intervalo de variação. Clique na “setinha” verde e observe.

23 Obtemos uma tela como a seguir
Mini Curso: Modellus Obtemos uma tela como a seguir

24 Por exemplo, função potência x^n, função extrair raiz quadrada, etc.
Mini Curso: Modellus Modelo Nesta opção pode-se escolher o tipo de função que pretende-se trabalhar. Por exemplo, função potência x^n, função extrair raiz quadrada, etc.

25 Destaques desta opção Taxa de Variação dx/dt
Mini Curso: Modellus Destaques desta opção Taxa de Variação dx/dt Neste caso o software interpreta dx/dt como a derivada da função descrita no modelo e plota o gráfico desta função.

26 Clique no sinal de igual no teclado do computador. Coloque dx/dt =2.
Mini Curso: Modellus EXERCÍCIO: Clique em dx/dt. Clique no sinal de igual no teclado do computador. Coloque dx/dt =2. Clique em Interpretar.

27 O software apresentou a opção de determinar Condições Iniciais.
Mini Curso: Modellus O que ocorreu? O software apresentou a opção de determinar Condições Iniciais. Neste caso, o software entende que para t=t_0 (0 valor inicial que foi estipulado no intervalo de variação de t), deve-se colocar x(t_o) = condição inicial desejada.

28 Por exemplo: Caso 1: x = 0 Caso 2: x = 1 Caso 3: x = -1 Caso 4: x = 10
Mini Curso: Modellus Por exemplo: Caso 1: x = 0 Caso 2: x = 1 Caso 3: x = -1 Caso 4: x = 10

29 Obtemos uma tela como a seguir.
Mini Curso: Modellus Obtemos uma tela como a seguir.

30 2° coluna: x -> caso 1, cor =amarelo
Mini Curso: Modellus Na tabela: 2° coluna: x -> caso 1, cor =amarelo 3° coluna: x -> caso 2, cor = verde 4° coluna: x -> caso 3, cor = ciano 5° coluna: x -> caso 4, cor = azul

31 Obtemos uma tela como a seguir
Mini Curso: Modellus Obtemos uma tela como a seguir

32 1° coluna: x -> caso 1, cor = amarelo
Mini Curso: Modellus Na Gráfico: 1° coluna: x -> caso 1, cor = amarelo 2° coluna: x -> caso 2, cor = verde 3° coluna: x -> caso 3, cor = ciano 4° coluna: x -> caso 4, cor = azul

33 Obtemos uma tela como a seguir
Mini Curso: Modellus Obtemos uma tela como a seguir

34 Mini Curso: Modellus E o resultado final é

35 Nesta opção podemos escrever funções que são definidas por partes.
Mini Curso: Modellus Condição Nesta opção podemos escrever funções que são definidas por partes.

36 Na janela do Modelo digitar: 1. x =
Mini Curso: Modellus EXERCÍCIO: Na janela do Modelo digitar: 1. x = 2. Clicar em Condição, opção que aparece na barra superior 3. Escolher –t , se t<= 1 4. t^2 + 2

37 Obtemos uma tela como a seguir
Mini Curso: Modellus Obtemos uma tela como a seguir

38 1 < t <= 3, foi plotado o gráfico da função x(t) = t^2 + 2.
Mini Curso: Modellus Observe que: Para 0<= t <= 1, o software plotou o gráfico da função x(t) = -t e para 1 < t <= 3, foi plotado o gráfico da função x(t) = t^2 + 2. No ponto t = 1 ocorreu algo diferente. Observando a tabela, percebe-se o que houve.

39 Para entender melhor isso vamos fazer um exercício.
Mini Curso: Modellus Importante Este tipo de opção nos permite utilizar os recursos tecnológicos para desenvolver melhor a idéia de Composição de funções. Para entender melhor isso vamos fazer um exercício.

40 Na janela do Modelo digite 1. x = sin(t) 2. y = abs(x)
Mini Curso: Modellus EXERCÍCIO: Na janela do Modelo digite 1. x = sin(t) 2. y = abs(x) Observe que a composição resulta na função |sen(t)|

41 Assim obtemos como resultado
Mini Curso: Modellus Assim obtemos como resultado

42 Para entender melhor isso vamos fazer um exercício.
Mini Curso: Modellus Parâmetros Esta opção nos auxilia a plotar gráfico de funções que dependem de um determinado parâmetro. Para entender melhor isso vamos fazer um exercício.

43 Mini Curso: Modellus EXERCÍCIO: Na janela modelo digite a expressão x(t) = sin(A x t) e clique em no botão Interpretar, que se localiza na barra superior.

44 Observe que automaticamente o software abre a opção Parâmetros.
Mini Curso: Modellus Observe que automaticamente o software abre a opção Parâmetros. Faça: Caso 1: A = 2 Caso 2: A = 0.5 Caso 3: A = -0.25

45 Marque os respectivos casos e cores nas opções Tabela e Gráfico.
Mini Curso: Modellus Marque os respectivos casos e cores nas opções Tabela e Gráfico.

46 E assim obtemos a figura
Mini Curso: Modellus E assim obtemos a figura

47 Objetos Esta opção nos permite introduzir na tela elementos, tais como
Mini Curso: Modellus Esta opção nos permite introduzir na tela elementos, tais como Objetos

48 Vamos entender melhor isto por meio de um exercício.
Mini Curso: Modellus Vamos entender melhor isto por meio de um exercício.

49 Mini Curso: Modellus EXERCÍCIO: Vamos representar por meio de simulação computacional todas as variáveis que envolvem a equação do movimento S = s_0 + v_0 t a t^2

50 Na janela do Modelo digite as expressões: s_0 = 4 x t
Mini Curso: Modellus Na janela do Modelo digite as expressões: s_0 = 4 x t v_0 = s_0 + t^(0.5) – 2 x t + 4 a = sin(t) s = s_0 + v_0 x t + a x t^2

51 Na janela do Tabela e Gráfico escolha: s_0 -> cor azul
Mini Curso: Modellus Na janela do Tabela e Gráfico escolha: s_0 -> cor azul v_0 -> cor verde a -> cor vermelha s -> cor amarelo

52 Mini Curso: Modellus Assim obtemos a figura

53 Mini Curso: Modellus Podemos inserir novos elementos neste ambiente, onde cada elemento representa uma das expressões.

54 Inserir uma partícula que represente a variação do espaço
Mini Curso: Modellus Inserir uma partícula que represente a variação do espaço Clique em Objetos; Clique em Partícula; Clique no local da tela onde se deseja colocar esta partícula;

55 Relacionando a partícula com a equação do espaço
Mini Curso: Modellus Relacionando a partícula com a equação do espaço Clique na partícula; Escolha sua representação (cão); Em Coordenadas, para Horizontal escolha t e para Vertical escolha s. Escolher cor = amarelo.

56 Mini Curso: Modellus Assim obtemos a figura

57 Inserir um Vetor que represente o espaço inicial
Mini Curso: Modellus Inserir um Vetor que represente o espaço inicial Clique em Vetor na barra superior; Clique no local da tela onde deseja-se localizar este vetor; Relacione o vetor com a expressão que representa o espaço inicial, como no caso anterior (Coordenadas -> Horizontal = t , Vertical = s_0, cor = azul)

58 Assim obtemos uma figura como a seguir.
Mini Curso: Modellus Assim obtemos uma figura como a seguir.

59 Clique em Caneta na barra superior;
Mini Curso: Modellus Inserir uma Caneta Clique em Caneta na barra superior; Clique no local da tela onde deseja-se colocar a caneta; Relacionar a caneta à expressão que representa a aceleração a como antes (Coordenadas -> Horizontal = t, Vertical = a); Escolher cor = vermelha.

60 Assim obtemos uma figura como a seguir
Mini Curso: Modellus Assim obtemos uma figura como a seguir

61 Inserir um objeto Analógico
Mini Curso: Modellus Inserir um objeto Analógico Clique em Analógico na barra superior; Clique no local da tela onde deseja-se localizar o objeto; Escolha Fundo = branco, Ponteiro = verde, Tipo = relógio; Para relacionar o relógio com a expressão da velocidade inicial, na barra superior, em Variável escolha v_0.

62 Assim, obtemos uma figura como a seguir
Mini Curso: Modellus Assim, obtemos uma figura como a seguir

63 A figura final é como a seguir
Mini Curso: Modellus A figura final é como a seguir

64 Para entender isso melhor, vamos analisar um exercício.
Mini Curso: Modellus LIMITE DE FUNÇÕES Na definição de limite de uma função f(x), quando x tende à um número real a, temos que estabelecer uma relação entre Epsilon e Delta, que representam distâncias. Uma forma de verificar este tipo de relação é observando a Tabela gerada pelo software, e atentar para as casas decimais. Para entender isso melhor, vamos analisar um exercício.

65 Exercício: Considere a função O objetivo é calcular Pela definição:
Mini Curso: Modellus Exercício: Considere a função O objetivo é calcular Pela definição: Vamos utilizar o software para gerar uma tabela que relaciona as distâncias Epsilon e Delta.

66 Início: Escolher 3 casa decimais; Variável Independende:
Mini Curso: Modellus Início: Escolher 3 casa decimais; Variável Independende: Mudar o nome da vriável para x Δx = 0.001 Variação de x: de 1.9 à 2 Modelo: Digitar

67 A =2 L = 4 d = abs(x - a) E = abs(f - L) Tabela: Marcar
Mini Curso: Modellus A =2 L = 4 d = abs(x - a) E = abs(f - L) Tabela: Marcar 1° coluna -> x 2° coluna -> f 3° coluna -> E 4° coluna -> d

68 Gráfico: 1° coluna -> f
Mini Curso: Modellus Gráfico: 1° coluna -> f Clicar na “setinha” verde e observar o gráfico e a tabela gerados pelo software. O gráfico nos auxilia a analisar o valor do limite e a tabela nos ajuda a verificar a relação entre os Epsilons e os Deltas.

69 Mini Curso: Modellus Assim obtemos

70 OBSERVAÇÃO INTERESSANTE
Mini Curso: Modellus OBSERVAÇÃO INTERESSANTE Observando a tabela verifica-se que Isso se deve ao fato de

71 Faça o seguinte exercício: Troque a função original por
Mini Curso: Modellus Faça o seguinte exercício: Troque a função original por Neste caso, L = 8 (observe os valores de f(x) na tabela). Observando a tabela gerada pelo software percebe-se que

72 Neste caso, isso ocorre pois
Mini Curso: Modellus Neste caso, isso ocorre pois

73 Mini Curso: Modellus O software gerou

74 Colocar na janela Modelo md = (E + 4)^(0.5) – 2
Mini Curso: Modellus Exercício: f(x) = x^2 – 1 a = 2 L = 3 Então Com isso obtemos Colocar na janela Modelo md = (E + 4)^(0.5) – 2 Colocar md na tabela e comparar com o gerado pelo software.

75 Mini Curso: Modellus Assim obtemos