O “mundo” da simetria Reflectindo sobre desafios do PMEB

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1 O “mundo” da simetria Reflectindo sobre desafios do PMEB
4/2/2017 O “mundo” da simetria Reflectindo sobre desafios do PMEB Ana Maria Roque Boavida

2 Observando o PMEB tendo a simetria por horizonte Objectivos(extractos)
4/2/2017 Observando o PMEB tendo a simetria por horizonte Tópicos Objectivos(extractos) 1º ciclo: Reflexão • Identificar no plano figuras simétricas em relação a um eixo; desenhar no plano figuras simétricas relativas a um eixo horizontal ou vertical (1º e 2º anos) • Identificar no plano eixos de simetria de figuras; construir frisos e identificar simetrias (3º e 4º anos). Notas: Exploração de reflexões; construção, no plano, de figuras simétricas através de dobragens e recortes; exemplos que evidenciem reflexões como simetrias axiais; exploração de frisos identificando simetrias de translação, reflexão, reflexão deslizante e rotação (meia-volta) 2º ciclo: Reflexão, rotação e translação Noção e propriedades; simetrias axial e rotacional Identificar, predizer e descrever a isometria em causa (...); construir o transformado de uma figura, a partir de uma isometria ou de uma composição de isometrias; compreender as noções de simetria axial e rotacional e identificar as simetrias numa figura; (...) explorar padrões geométricos que envolvam simetrias; identificar as simetrias de frisos e rosáceas; construir frisos e rosáceas. 3º ciclo: Isometrias Translação associada a um vector; propriedades das isometrias • Compreender as noções de vector e de translação e identificar e efectuar translações; identificar e utilizar as propriedades das translações; compor translações; reconhecer as propriedades comuns das isometrias

3 Que imagens têm ou não têm simetria?
4/2/2017 Que imagens têm ou não têm simetria?

4 Simetria: Que significado?
4/2/2017 Simetria: Que significado? Serão as mãos simétricas? Será a nossa cara simétrica? Serão os bonecos simétricos? Afinal, de que falamos quando falamos em simetria?

5 Simetria: Que significado?
4/2/2017 Simetria: Que significado? A noção de simetria, sendo essencial em Matemática, não é exclusiva deste campo Simetria é uma ideia que o homem tem usado ao longo dos tempos para tentar compreender e criar ordem, beleza e perfeição. (Serra, 1993, p. 304, cit. Weyl) A noção de simetria é deveras importante em Matemática, nas artes visuais e em diversas ciências como a Cristalografia e a Física. (Oliveira, 1997, p. 70) Em geometria, simetria define-se em termos de isometrias Quando a imagem de uma figura, através de uma isometria diferente da identidade, coincide com a figura original, então a figura tem simetria. (Serra, 1993)

6 Simetria: Estabilizando um significado
4/2/2017 Simetria: Estabilizando um significado Falar de simetria é falar de simetria de uma figura. Figura: um subconjunto de pontos do plano ou do espaço. Exs: Recta, rectângulo, esfera, desenho artístico,... (Bastos, 2006) Não tem sentido perguntar se as duas bonecas (duas figuras) são simétricas... ... embora possa perguntar-se se a boneca (uma figura) tem simetria.

7 Simetria de uma figura: Estabilizando um significado
4/2/2017 Simetria de uma figura: Estabilizando um significado Focando-nos nas figuras do plano Simetria de uma figura não é o mesmo que simetria axial de uma figura: a figura pode ter simetrias que não sejam axiais Simetria de uma figura F é uma particularidade dessa figura. Significa que existe uma isometria T do plano que deixa a figura invariante, isto é, tal que T (F ) = F. (adaptado de Bastos, 2006) Podem alguns ou todos os pontos da figura mudar de posição, mas a figura, como um todo, fica invariante. (Veloso, 1998, p. 182) Invariante significa globalmente invariante Manutenção da congruência e da posição O transformado da figura através da isometria coincide com a figura original: as figuras são geometricamente iguais e além disso ocupam a mesma posição no plano, mesmo que haja pontos que não coincidam com as suas imagens.

8 Revisitando isometrias a propósito de simetria
4/2/2017 Revisitando isometrias a propósito de simetria Analisar a simetria de uma figura remete para investigar se há isometrias (diferentes da identidade) que a deixam invariante Isometria: Transformação geométrica que preserva as distâncias; as figuras do plano são transformadas noutras geometricamente iguais. Quatro tipos fundamentais de isometrias: Rotação Translação Reflexão Reflexão deslizante

9 Revisitando isometrias a propósito de simetria
4/2/2017 Revisitando isometrias a propósito de simetria O . Rotação 75º O peixe da esquerda “rodou” no sentido contrário aos ponteiros do relógio (sentido positivo), descrevendo um ângulo de vértice O e amplitude 75 graus. Rotação de centro O e amplitude 750

10 Revisitando isometrias a propósito de simetria
4/2/2017 Revisitando isometrias a propósito de simetria O 75º . Centro de rotação: pode ser um ponto que não pertence à figura Rotação Centro de rotação: pode ser um ponto da figura .O 2700 750 .O .O .O 1800 (meia volta) 3600

11 Revisitando isometrias a propósito de simetria
4/2/2017 Revisitando isometrias a propósito de simetria Rotação Rotação de centro O e amplitude α é uma transformação geométrica tal que: qualquer que seja o ponto P do plano, a distância de O a P é igual à distância de O à imagem de P (P’ ); a amplitude do ângulo orientado definido por P, O e P’ é igual a α. Rotação de centro O e amplitude 900 F F

12 Revisitando isometrias a propósito de simetria
4/2/2017 Revisitando isometrias a propósito de simetria Translação Translação associada ao vector Translação associada ao vector Numa translação todos os pontos de uma figura se “deslocam” na mesma direcção, no mesmo sentido e a mesma distância.

13 Revisitando isometrias a propósito de simetria
4/2/2017 Revisitando isometrias a propósito de simetria Translação Translação associada ao vector é uma transformação geométrica em que cada ponto O do plano é transformado num outro ponto O’ (imagem de O) em que O’ = O + Translação da figura F associada ao vector F

14 Revisitando isometrias a propósito de simetria
4/2/2017 Revisitando isometrias a propósito de simetria Reflexão Os eixos de reflexão podem, ou não ter pontos em comum com a(s) figura(s) eixo de reflexão Cada ponto de uma figura e a sua imagem estão sobre uma recta perpendicular ao eixo de reflexão e a igual distância desse eixo. É como se o peixe e a estrela se estivessem “a ver ao espelho”...

15 Revisitando isometrias a propósito de simetria
4/2/2017 Revisitando isometrias a propósito de simetria Reflexão Reflexão de eixo s é a transformação geométrica que faz corresponder a cada ponto O do plano o ponto O’ (imagem de O) de tal modo que: a recta s é perpendicular a [O O’] e passa pelo ponto médio de [O O’] (ou s é a mediatriz de [O O’]; se O pertence a s, a sua imagem coincide com O. s F Reflexão da figura F de de eixo s

16 Revisitando isometrias a propósito de simetria
4/2/2017 Revisitando isometrias a propósito de simetria Transformação geométrica que resulta da composição de uma reflexão de eixo s com uma translação cujo vector tem direcção paralela a s. Reflexão deslizante O’’ imagem de O através da reflexão deslizante associada a s e ao vector s F

17 Retomando a ideia de simetria de uma figura
4/2/2017 Retomando a ideia de simetria de uma figura De entre as aplicações mais interessantes das transformações e grupos de transformações estão as relacionadas com questões de simetria. Existindo muitas espécies de simetrias no plano e no espaço (...). (Oliveira, 1996, p. 187) Simetria de reflexão (ou simetria axial) Simetria de rotação (ou simetria rotacional) Simetria de translação Simetria de reflexão deslizante Há uma simetria para cada um dos quatro tipos de isometrias referidos. (Serra, 1993, p. 305)

18 Simetria de reflexão de uma figura
4/2/2017 Simetria de reflexão de uma figura Existe, pelo menos, uma reflexão que deixa a figura globalmente invariante Como a reconhecemos? Várias hipóteses... Se conseguirmos dobrar a figura de tal modo que as duas partes obtidas se sobreponham exactamente; Se conseguirmos colocar um espelho ou mira sobre a figura de modo a que a junção da parte reflectida com a não reflectida seja exactamente igual à figura toda; Se recortarmos a figura e conseguirmos preencher exactamente o buraco que fica na folha com a parte recortada mas virada ao contrário (com a parte de baixo do papel virada para cima); ...

19 Simetria de reflexão de uma figura
4/2/2017 Simetria de reflexão de uma figura Por vezes a simetria de reflexão é designada por simetria axial; o eixo de reflexão também se pode designar por eixo de simetria ou linha de simetria. (Serra, 1993, p. 305) Eixo de simetria? 1 eixo de simetria ? eixos de simetria ? eixos de simetria ? eixos de simetria ? eixos de simetria

20 Simetria de reflexão de uma figura
4/2/2017 Simetria de reflexão de uma figura Eixo de simetria? 1 eixo de simetria 2 eixos de simetria 6 eixos de simetria 0 eixos de simetria 4 eixos de simetria Eixo de simetria de uma figura: Recta (sobre a qual se faz a dobra ou se coloca o espelho/mira…) que divide a figura ao meio de modo que uma metade da figura seja a reflexão da outra metade. Caso contrário, a recta não é eixo de simetria.

21 Simetria rotacional de uma figura
4/2/2017 Simetria rotacional de uma figura Existe, pelo menos, uma rotação com uma amplitude superior a 00 e inferior a 3600 que deixa a figura globalmente invariante. Só neste caso se admite também uma simetria rotacional associada a um ângulo de 3600. Como a reconhecemos? Se conseguirmos girar a figura em torno de um ponto fixo, de modo a que a imagem resultante, através da rotação, coincida com a figura original. Figura com simetria rotacional Figura sem simetria rotacional (ou qualquer outro tipo de simetria)

22 Simetria rotacional de uma figura
4/2/2017 Simetria rotacional de uma figura C Que simetrias rotacionais tem a figura? C: Centro da simetria rotacional (ponto em torno do qual a figura “roda”) Ângulo da simetria rotacional: ângulo orientado que descreve o “movimento” da figura. Um quarto de volta (90º) Meia volta (180º) Três quartos de volta (270º) Uma volta inteira (360º)

23 Simetria de translação de uma figura
4/2/2017 Simetria de translação de uma figura Existe, pelo menos, uma translação que deixa a figura globalmente invariante Como a reconhecemos? Se podemos movimentar a figura segundo uma dada distância e uma dada direcção (identificadas pelo vector da translação) de tal modo que o seu transformado coincide com a figura original Se a figura for infinita, existe essa possibilidade…

24 Simetria de reflexão deslizante de uma figura
4/2/2017 Simetria de reflexão deslizante de uma figura Existe, pelo menos, uma reflexão deslizante que deixa a figura globalmente invariante Como a reconhecemos? Se, por exemplo, depois de desenharmos a figura em papel transparente, de virarmos o papel ao contrário “em torno” de uma determinada recta e de o deslocarmos segundo a direcção dessa recta, conseguirmos que o transformado da figura coincida com a figura original. Se a figura for infinita, existe essa possibilidade…

25 Em busca de simetrias de figuras
4/2/2017 Em busca de simetrias de figuras Potencialidades O estudo das simetrias das figuras constitui uma aplicação muito interessante das isometrias que permite desenvolver o conhecimento matemático destas transformações geométricas e fornecer, consequentemente, ferramentas que podem ser muito úteis na resolução de problemas geométricos. (...) Conhecimento matemático Resolução de problemas Conhecimento matemático Comunicação e raciocínio O conceito de simetria pode ser também a base para actividades de descrição e classificação de figuras geométricas, de argumentação/demonstração (…) A análise de objectos artísticos ou de cristais através das suas simetrias são actividades que estabelecem ligações entre a matemática e outros domínios do saber (...) Conexões matemáticas (Bastos, 2006, p. 11)

26 Simetrias de polígonos
4/2/2017 Simetrias de polígonos Que simetrias existem num quadrado? D C B A

27 Simetrias de polígonos
4/2/2017 Simetrias de polígonos Que simetrias existem num quadrado? Simetrias de reflexão 4 Eixos de simetria: 2 rectas que contêm as diagonais do quadrado e 2 rectas que passam pelos pontos médios de lados opostos Simetrias rotacionais 90º 4 Com centro no ponto de encontro das diagonais do quadrado e amplitudes 900, 1800, 2700 e 3600. B C D

28 Simetrias de polígonos
4/2/2017 Simetrias de polígonos Exemplo de material de apoio à exploração de simetrias em polígonos

29 Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas
4/2/2017 Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Exemplos de rosáceas Rosáceas Figuras compostas por diversos módulos geometricamente iguais que se repetem por rotação. O centro de rotação é sempre o mesmo ponto, a amplitude da rotação é sempre a mesma e a divisão entre e a medida desta amplitude é exacta. Existe sempre um ponto do plano que é fixo para o grupo de simetria da figura (conjunto das transformações de simetria da figura). Têm sempre simetrias rotacionais, podendo ter também simetrias de reflexão.

30 Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas
4/2/2017 Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Que simetrias existem nestas rosáceas? Identificar • • assinala o centro de simetria (ou centro de rotação) da figura

31 Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas
4/2/2017 Que simetrias existem nestas rosáceas? Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Simetria de reflexão 2 eixos de simetria – lado/lado Simetria rotacional R rotação de 1800 R2 rotação de 3600 (identidade) R rotação de 600 R2 rotação de 1200 R3 rotação de 1800 R4 rotação de 2400 R5 rotação de 3000 R6 rotação de 3600 (identidade) Só simetria rotacional • Simetria de reflexão e simetria rotacional Identificar • assinala o centro de simetria (ou centro de rotação) da figura

32 Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas
4/2/2017 Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Exemplo de um recurso tecnológico de apoio à construção de rosáceas: o scratch Motivo simples

33 Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas
4/2/2017 Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Exemplo de um recurso tecnológico de apoio à construção de rosáceas: o scratch Motivo simples

34 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
4/2/2017 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Exemplos de frisos Friso Figura infinita caracterizada por apresentar sempre simetrias de translação com a mesma e uma só direcção. No friso, o grupo de simetria fixa uma recta. Pode haver outras simetrias para além das de translação As barras cinzentas ou os motivos incompletos, indicam que a figura se prolonga indefinidamente para a esquerda e para a direita

35 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
4/2/2017 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Que simetrias existem neste friso? Identificar recta horizontal Nomenclatura adoptada recta vertical

36 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
4/2/2017 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Que simetrias existem neste friso? Identificar recta horizontal Nomenclatura adoptada recta vertical De translação. Por exemplo, translações associadas aos vectores e . De reflexão de eixo horizontal

37 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
4/2/2017 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Que simetrias existem neste friso? Identificar

38 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
4/2/2017 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Que simetrias existem neste friso? Identificar De reflexão de eixo horizontal De reflexão de eixos verticais De translação da figura associadas a vectores com a direcção de e comprimento múltiplo do deste vector.

39 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
4/2/2017 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos A partir de um motivo simples podem-se construir frisos muito diversos usando isometrias Construir [A´, B’, C’, D’] imagem do motivo simples através de uma reflexão de eixo r. A’ B’ C’ D’ [A’´, B’’, C’’, D’’] imagem de [A´, B’, C’, D’] através de uma translação de vector paralelo ao eixo de reflexão (recta r). A’ B’ C’ D’ A’’ B’’ C’’ D’’ r Motivo simples Nota: O motivo simples é, por vezes, designado por módulo

40 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
4/2/2017 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Construir (continuação) Através de translações sucessivas da figura Obtém-se o friso Simetrias do friso: de translação e de reflexão deslizante

41 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
4/2/2017 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Que tipos de frisos há? Investigar Investigar que tipos de frisos existem (...) [é] perceber que “estruturas” de frisos existem e, para isso, devemos investigar que grupos de simetria podem ter os frisos (...) [trata-se] de procurar uma classificação dos frisos baseada nos respectivos grupos de simetria. (Veloso, 1998, p. 202)

42 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
4/2/2017 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Motivo simples Investigar Tipo 1: gerado por translação Motivo composto Tipo 2: gerado por reflexão de eixo horizontal e translação

43 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
4/2/2017 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Motivo simples Investigar Motivo composto Tipo 3: gerado por reflexão de eixo vertical e translação Tipo 4: gerado por reflexão de eixo horizontal, reflexão de eixo vertical e translação Motivo composto

44 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
4/2/2017 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Investigar Motivo simples Tipo 5: gerado por rotação de 1800 e translação

45 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
4/2/2017 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Investigar Motivo simples Tipo 6: gerado por reflexão deslizante e translação

46 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
4/2/2017 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Investigar Motivo simples Motivo composto Tipo 7: gerado por reflexão de eixo vertical, reflexão deslizante e translação Há apenas sete tipos de frisos...

47 Simetria: A busca de equilíbrio, harmonia, beleza...
4/2/2017 Simetria: A busca de equilíbrio, harmonia, beleza... (Alcazar, Sevilha)

48 Bibliografia e outros materiais consultados
4/2/2017 Bibliografia e outros materiais consultados Bastos, R. (2006). Notas sobre o Ensino da Geometria do Grupo de Trabalho de Geometria da APM – Simetria. Educação Matemática, 88, 9-11. Bastos, R. (2007). Notas sobre o ensino da Geometria: Transformações geométricas. Educação e Matemática, 94, Deledicq, A. & Raba, R. (1997). Le monde des pavages. Paris: ACL- Éditions. Devlin, K. (2002). Matemática: A ciência dos padrões. Porto: Porto Editora. Hargittai, I. & Hargittai, M. (1994). Symmetry: A unifying concept. Bolinas, California: Shelter Publications. Haylock, D. (2001). Mathematics explained for primary teachers. London: Sage. Musser, G., Burger, W. (1997). Mathematics for elementary teachers: A contemporary approach (4ª ed.). Upper Saddle River: Prentice-Hall. Oliveira, A. (1997). Transformações geométricas. Lisboa: Universidade Aberta. Serra, M. (1993). Discovering geometry: An inductive approach. Berkeley: Key Curriculum Press. Veloso, E., Bastos, R. & Figueirinhas, S. (2009). Notas para o ensino da Geometria: isometrias e simetria com materiais manipuláveis. Educação e Matemática, 101, Veloso, E. (1998). Geometria. Temas actuais. Lisboa: Instituto de Inovação Educacional

49 Bibliografia e outros materiais consultados
4/2/2017 Bibliografia e outros materiais consultados Documentos não publicados Conjunto de slides elaborados por Ana Maria Boavida para a conferência Revisitando simetrias e isometrias no plano... a propósito do PMEB realizada no âmbito do PFCM da Universidade de Évora (Julho de 2010). Conjunto de slides sobre Simetrias de uma figura e isometrias no plano elaborados por Ana Maria Boavida, Fernanda Matias, Margarida Rodrigues e Sílvia Machado para a Formação de Professores Acompanhantes do PMEB: Geometria promovida pela DGIDC (Setembro 2009) . Conjunto de slides sobre isometrias e simetria de uma figura no plano elaborado por Lina Brunheira, professora acompanhante do Plano da Matemática II (Fevereiro de 2011). Conjunto de slides sobre Simetria e frisos elaborados pela equipa do Programa de Formação Contínua em Matemática para professores dos 1º e 2º ciclos da Universidade de Évora (2008/2009). Sites

50 O “mundo” da simetria Reflectindo sobre desafios do PMEB
4/2/2017 15º EREPM, 30/4/2011- Bragança O “mundo” da simetria Reflectindo sobre desafios do PMEB Ana Maria Roque Boavida