PROPORCIONALIDADE 6ª série

Apresentação em tema: "PROPORCIONALIDADE 6ª série"— Transcrição da apresentação:

1 PROPORCIONALIDADE 6ª série
Mafalda/ Quino,1992

2 Mafalda/ Quino,1992 Repare no último quadrinho.Você seria capaz de representar o pensamento da Mafalda em linguagem matemática?

3 Mafalda está comparando a quantidade de nomes Silva que consta na lista telefônica com o total de nomes da lista. E está comparando o número de chineses com o total da população mundial.

4 E finalmente ela compara estas duas razões entre si, concluindo que as duas razões são equivalentes. É isto que entendemos quando dizemos que estão na mesma proporção. =

5 A população da China é de 1,307 bilhões de pessoas e a população mundial de 6,6 bilhões de pessoas.
O que você pode dizer da população da China em relação à população mundial?

6 Razão e proporção Para entender as proporções, começaremos com razões.
Uma razão é uma divisão de duas grandezas, que nos mostra quantas vezes uma é maior ou menor que a outra. São intimamente ligadas aos números Racionais, do conjunto

7 São exemplos de razão:

8 Proporção Uma proporção é uma igualdade que compara razões.
Ela significa que as quantidades descritas podem não ser iguais, mas estão igualmente divididas.

9 Como se tivéssemos um jarra com 2 litros
(2000ml) de água com 20 gramas de açúcar. Clip-art

10 Ao retirarmos um copo, teremos 250ml de água e 2,5 gramas de açúcar.
A quantidade é diferente, mas a proporção se mantém, equacionamos:

11 Estas razões indicam que sempre há 100 vezes mais água que açúcar em razão do volume por massa (ml/g). A proporção da mistura é de 100 mililitros de água por grama de açúcar. Clip-art

12 Proporcionalidade Inversa
Como o nome indica, é a proporcionalidade entre um número e o inverso de outro. A principal propriedade deste tipo de proporção é que se mantida, ao contrário do que acontece no exemplo anterior, de quanto mais água mais açúcar, quanto MAIS de um elemento da proporção MENOS de outro.

13 Obs: distância aproximada
Vejamos um exemplo: Um motorista profissional que viajava constantemente de BH para Uberlândia, fez a seguinte tabela,após calcular a velocidade média. (V=Distância/tempo) Obs: distância aproximada

14 Observe a tabela. Quando a velocidade aumenta, o que acontece com tempo gasto na viagem? Quando a velocidade dobra o que acontece com o tempo gasto na viagem?

15 Compondo Proporções Trabalhamos com proporções fixas, que simplesmente ditavam que uma fração deveria permanecer constante. Mas o que acontece se uma grandeza é proporcional a várias grandezas ao mesmo tempo?

16 Começaremos com o clássico problema: Sr. José precisava consertar
Podemos trabalhar cada proporcionalidade individualmente, mas há um método para resolvê-las com uma única equação. Começaremos com o clássico problema: Sr. José precisava consertar uma cerca quebrada em sua fazenda. Pesquisa google(23/06/2008) 501 x k - jpgbloglog.globo.com

17 Como a boiada voltaria das pastagens novas em uma semana, precisava decidir quantos trabalhadores contratar para terminar a cerca a tempo. Na construção original da cerca, ele empregou 24 homens que ergueram os 100 metros de cerca em duas semanas. Sabendo que o buraco se extende por apenas 25 metros, quantos homens serão nescessários?

18 O número de homens é inversamente proporcional ao tempo
O tamanho da cerca é diretamente proporcional ao tempo O tamanho da cerca é diretamente proporcional ao número de homens Para facilitar o trabalho, escrevemos uma tabela: Homens Tempo Tamanho 24 2 semanas 100m X 1 semana 25m

19 Cada uma das proporções diz algo a respeito do valor total:
O que acontece com a quantidade de homens depende das razões de tempo e tamanho, que deverão multiplicar o número final de homens de acordo com o tipo de proporcionalidade.

20 Acontece então que o número final de homens deve dobrar, pois o de tempo diminuiu a metade. Deve também diminuir 4 vezes pois o mesmo aconteceu com o tamanho.

21 Regra de Três Tabela de Valores
A regra de três é simplesmente um método para resolver as proporções sem precisar de armá-las. A regra de três ganha seu nome do seu uso, pois é usada para determinar um quarto valor de um proporção quando são conhecidos três deles. Tabela de Valores A regra de três se vale muito de tabelas para a fácil visualização do problema.

22 de1Km de extensão. Faz-se assim:
Manoel decide fazer um túnel de1Km de extensão. Como o túnel em questão é estreito, somente um máximo de 20 trabalhadores pode trabalhar na escavação ao mesmo tempo. Pesquisa google;julho 2008

23 Como dispunha de 30 trabalhadores, Manoel resolveu dividi-los em 2 grupos de 15 trabalhadores, cada grupo escavando de um lado da montanha a fim de aumentar produtividade. Originalmente, a escavação gastaria 3 meses. Em quanto tempo terminará a escavação com o novo arranjo?

24 Primeiro colocamos o problema em uma tabela:
Agora, marcamos o sentido de crescimento, das grandezas, com setas. Neste caso o tempo diminuiu por que o número de trabalhadores aumentou. Se as setas marcam o mesmo sentido, as grandezas são diretamente proporcionais. Se marcam sentidos opostos, são inversamente proporcionais. Importante lembrar que devemos sempre usar a mesma unidade para grandezas do mesmo tipo nas tabelas.

25 No caso de proporção inversa, multiplicamos os valores da tabela em linha reta e igualando, obtendo:
Que é a própria proporção inversa em forma de produto, previamente mostrada.

26 O túnel em questão media 1km, se 30 trabalhadores terminaram essa distância em 2 meses, qual distância cada grupo de 15 trabalhadores percorreu no mesmo intervalo de tempo? Proporção direta, multiplica-se cruzado e igual a: Observamos que a relação obtida é uma forma da proporção:

27 Regra de Três composta Podemos interpretar de outra maneira o problema anterior: Ao dividir os grupos, de 20 trabalhadores cavando 1km em 3 meses, chegamos ao problema de quanto tempo levou para que os 30 trabalhadores cavassem apenas a metade, 500m? Devemos agora, assumir um sentido arbitrário para o tempo. No caso, consideramos o tempo diminuindo. Em relação aos trabalhadores, quanto menos tempo mais trabalhadores são necessários. Em relação a distância, menos tempo faz com que a distância diminua.

28 Separamos a incógnita de um lado da tabela e começamos um processo de multiplicações sucessivas. A primeira segue as mesmas regras da regra de três simples, e neste caso será cruzada. Depois, quando as duas grandezas vizinhas forem diretamente proporcionais (setas na mesma direção), multiplica-se cruzado, quando inversamente proporcionais (setas em posição invertida), multiplica-se cruzado. Igualamos os caminhos. Obtemos então a solução: 2 meses

29 QUINO, Mafalda – São Paulo: Martins Fontes,1992