Como elas saltam....

Apresentação em tema: "Como elas saltam...."— Transcrição da apresentação:

1 Como elas saltam...

2 Objectivo Estudo da função à qual pertencem os pontos correspondentes às alturas máximas atingidas por uma bola durante um movimento de queda utilizando novas tecnologias como o sensor CBR® Os pontos mais escuros no gráfico correspondem à altura máxima atingida pela bola após cada colisão contra o solo

3 Razões para a progressiva diminuição da altura máxima atingida pela bola
O atrito da superfície de contacto A elasticidade da bola O peso da bola A resistência do ar Estes factores levam a uma dissipação de energia e consequente diminuição da velocidade

4 Traçado da função dos pontos máximos dos saltos da bola
A função não é uma recta. A função apresenta características de uma função quadrática ou de uma exponencial.

5 Experiências Realizadas
No âmbito deste projecto foram realizadas várias experiências com corpos e em superfícies de contacto diferentes. Ao longo desta apresentação os valores utilizados serão sempre os obtidos em apenas uma das experiências na qual o corpo se encontrava a 1,39m do solo.

6 Hipóteses Quadrática Exponencial y = ax2 + bx + c y = a.bx

7 Função Quadrática ax2 + bx + C
Através da utilização das funções da calculadora TI-83 que permitem o cálculo de regressões é possível obter a expressão da função quadrática que melhor se adapta aos pontos pretendidos Após de alguma investigação foi possível concluir que : ax2 + bx + C Constante Altura inicial Massa da bola (kg)

8 Falsidade da função quadrática
Tomando b ( massa da bola ) valores menores, segundo o gráfico da função quadrática, a bola nunca cairia Corpo de Massa 0,47 kg (valor de B) Corpo de Massa 0,047 kg (valor de B)

9 Função Exponencial A função exponencial é dada por y = a.bx y
y é a altura máxima da bola em determinado salto y (Altura do salto) a é a altura inicial da bola pois quando x = 0, y = a a (Altura inicial)

10 Função Exponencial Inicialmente b pensava-se ser o coeficiente de atrito devido à colisão corpo-solo o que provocava a redução da altura máxima de cada salto Contudo, se b = 1 Sendo o gráfico uma linha recta, a bola continuaria sempre o movimento regressando sempre à posição inicial o que implicaria não haver dissipação de energia e consequentemente inexistência de atrito. Situação que não é viável no sistema físico em que nos encontramos

11 Função Exponencial Se b > 1 (ex. b = 1,1)
Sendo a função crescente a bola aumentaria a altura máxima atingida a cada salto o que não é igualmente uma situação viável uma vez que a altura atingida tende a diminuir até a bola atingir um estado de repouso permanente. Então se 0 < b < 1 é possível concluir que b seria uma percentagem.

12 Função Exponencial Mas que percentagem ? Após alguma investigação e pesquisa foi possível inferir que, Sempre que a bola salta, ela irá atingir uma altura máxima que corresponde a uma determinada percentagem do salto anterior. Esta percentagem é aproximadamente constante durante todo o movimento sendo denominada de coeficiente de restituição e correspondendo ao valor b.

13 Exemplo: Uma bola que seja largada a uma altura de 1m e atinja no primeiro salto 0,7m terá como expressão das alturas máximas y = 1 x 0,7x (0,7 corresponde a 70% de 1m). Desta forma, no 2º salto atingirá 0,49m (70% de 0,7). 70% d(m) 1 0.7 0.49 2 3 salto

14 (valores obtidos numa das várias experiências realizadas)
Função Exponencial Cálculos analíticos (valores obtidos numa das várias experiências realizadas) Percentagem Cálculos Alturas Máximas 0,74 = 74% 0,28 0,76 = 76% 0,38 0,5 0,68 0,71 = 71% 0,92 ----- 1,39

15 Função Exponencial x é o numero do salto e só pode ter valores inteiros. Assim, o cálculo da altura máxima em cada um dos saltos seria calculada da seguinte forma: 1º salto – y = a.b1 2º salto – y = a.b2 3º salto – y = a.b3

16 A Teoria e a Prática Como é observado na imagem abaixo a função obtida por meio analítico para obtenção das alturas máximas atingidas durante o movimento não contém os pontos de altura máxima. y = a.bx y = 1,39 x 0,74x

17 A Teoria e a Prática Prática
A função obtida através da TI-83 como sendo a função que mais se aproxima dos pontos de altura máxima é descrita pela altura máxima do corpo em função do tempo y = 1,39x0,65x

18 A Teoria e a Prática Teoria
A função obtida de modo analítico descreve as alturas máximas em função do número do salto e como tal nunca se adaptaria ao gráfico de descrição do movimento uma vez que neste as posições encontram-se em função do tempo A função é descontínua porque x só pode ter valores inteiros. y = 1,39 x 0,74x

19 A Teoria e a Prática Teoria
Contudo, se para os pontos de altura máxima colocarmos o número do salto como componente de x no lugar dos valores temporais verificamos que, tal como esperado, a função obtida analiticamente (y = 1,39 x 0,74x) se aproxima dos pontos.

20 y = a.bx Para finalizar: Onde: y – altura atingida no salto
a – altura inicial b – coeficiente de restituição x – número do salto

21 Escola Secundária de Valongo
Realização do Projecto Rui Pereira Carla Lopes Luís Oliveira Com a colaboração de: João Silva Em representação da turma 11º B1 Escola Secundária de Valongo