Teorema de Pitágoras e suas aplicações

Apresentação em tema: "Teorema de Pitágoras e suas aplicações"— Transcrição da apresentação:

1 Teorema de Pitágoras e suas aplicações
MATEMÁTICA Ensino Fundamental, 9º ANO Teorema de Pitágoras e suas aplicações

2 Memórias póstumas de Pitágoras
Olá! Eu sou Pitágoras, vivi entre 569 e 475 a.C. e adoro mistérios da Natureza e também religião. Sou filho do grande mercador de Sirus, Mnesarchus, que vive a vida viajando e se encontrando com grandes sábios da Síria e da Caldeia.

3 Sou conhecido como prodígio, pois desde pequeno a Filosofia me encanta. Mas sou sempre muito bem assessorado por dois grandes mestres (Tales e Anaximandro) que me instigam a pensar e descobrir os encantos da Filosofia. Pobre Tales!!! Conquistou muita fama e respeito por suas descobertas e pensamentos, mas é uma pena que ele já esteja um pouco velhinho.

4 Meu grande mestre, Tales. O que temos para hoje?
Meu grande mestre, Tales. O que temos para hoje? Hoje vamos falar de triângulos! Tudo bem para você?

5 Pitágoras, deves ir ao Egito. Que Egito que nada!?
Não quero saber de Egito!!! Lá tu podes adquirir muitos conhecimentos! Pitágoras, deves ir ao Egito. Que Egito que nada!?

6 Os mistérios sagrados dos egípcios me fascinaram.
Tales passou no Egito quando jovem e agora fica me perturbando para que eu faça o mesmo. Mas como ele é meu mestre, tão sábio, deve saber o que diz. Os mistérios sagrados dos egípcios me fascinaram. Os sacerdotes diziam que eu era divino, só porque tinha um sinal, de nascença, na perna. Que estranho, não? Começaram a dizer que eu tinha sido favorecido pelo deus Osíris. Terminei indo ao Egito!!!

7 Por volta de 525 a.C., fui feito prisioneiro dos guerreiros Persas e levado para a Babilônia - a mais rica cidade do mundo, na época. Lá aprendi muito com um tal de Zaratustra (um dos maiores filósofos da Babilônia) e adquiri a maioria dos seus conhecimentos de matemática (modéstia à parte, mas adquiri mais conhecimentos de matemática do que o meu velho mestre Tales).

8 Voltei para Samos, depois da Babilônia, e causei grande modinha devido às minhas calças e posturas do Oriente. As pessoas da cidade passaram a olhar-me com grande espanto.

9 Depois, conquistei um bom número de seguidores (#Pitágoras) e resolvi criar uma escola chamada o “Semi-Círculo”. Ela ficou famosa pois eu tive a ideia de também admitir mulheres e onde nos sentíamos irmãos e trabalhávamos como tal. Escola Pitagórica

10 Éramos vegetarianos, não nos apegávamos aos bens pessoais e era eu quem ensinava aos meus “irmãos” desde que jurassem segredo. Os “alunos” desta escola eram fascinados pela ideia de que tudo se reduzia à Matemática e também à mistura do misticismo do Oriente com o pensamento grego.

11 Para terminar, tenho mais um fato que me torna muito orgulhoso
Para terminar, tenho mais um fato que me torna muito orgulhoso. Fui um dos primeiros a pensar e defender que a Terra era esférica. .

12 O Triângulo Retângulo Triângulo que apresenta um ângulo reto (90º)
O triângulo ABC da figura ao lado representa um triângulo retângulo em A, pois o ângulo  é reto (90º). O lado oposto ao ângulo reto é chamado de HIPOTENUSA, enquanto os outros dois são chamados CATETOS.

13 Teorema de Pitágoras O Teorema de Pitágoras é considerado uma das mais importantes descobertas da Matemática. Com ele pode-se descobrir a medida de um lado de um triângulo retângulo, a partir da medida de seus outros dois lados. A partir dele podemos determinar a altura de prédios, torres, montanhas, largura de rios, dentre outras inúmeras aplicações.

14 Teorema de Pitágoras a2 = b2 + c2
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa (a) é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos (b e c). b = 4 a = ? c = 3 a2 = b2 + c2 Exemplo: sabendo-se que os catetos b e c valem, respectivamente, 4 e 3, determine o valor da hipotenusa a. 5 a c b C B A 4 3 a2 c2 b2 +

15 Diagonal de um quadrado
Como determinar a medida da diagonal do quadrado ABCD, da figura abaixo, com aresta medindo a? O triângulo ADC é retângulo em D. A B C D d a Podemos aplicar então o teorema de Pitágoras: Aplicações

16 Altura de um triângulo equilátero
Como determinar a medida da altura de um triângulo equilátero de aresta medindo a? A B C h H a O triângulo ABH é retângulo em H. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: Aplicações

17 Diagonal de um paralelepípedo
Como determinar a diagonal principal (D) de um paralelepípedo cujas arestas medem a, b, c? Temos que o triângulo BEH é retângulo em E e sua hipotenusa mede D, mas para calculá-la precisamos encontrar o valor de d. A B C I E F H D d a b c Aplicando o teorema de Pitágoras: A B C D I F H G E d a O cubo é um caso particular do paralelepípedo em que a = b = c = a; assim:

18 Triângulo inscrito numa semicircunferência
Todo triângulo inscrito numa semicircunferência é TRIÂNGULO RETÂNGULO. A B O C A B O C Dizemos que um triângulo está inscrito numa semicircunferência quando um dos seus vértices pertence à semicircunferência e os outros dois vértices são extremidades de um diâmetro.

19 Os Ternos pitagóricos Os mais conhecidos são:
Ternos pitagóricos são ternos de números inteiros positivos a, b e c que obedecem à relação a2 = b2 + c2. Os mais conhecidos são: 5 4 3 13 12 5 Vamos lá! Agora é com você... Tente pensar em um terno pitagórico.

20 Classificação dos triângulos quanto aos ângulos conhecendo-se as medidas de seus três lados.
Considere um triângulo com lados medindo a, b e c, sendo o lado a o maior lado. Se a2 = b2 + c2, o triângulo é RETÂNGULO. Se a2 > b2 + c2, o triângulo é OBTUSÂNGULO. Se a2 < b2 + c2, o triângulo é ACUTÂNGULO.

21 Egito Antigo No Egito, os antigos egípcios utilizavam uma corda com 13 nós igualmente espaçados que era dividida em 12 partes iguais para marcação das áreas dos territórios na agricultura, mas com a cheia anual do Rio Nilo, estas marcações eram desfeitas e eles novamente remarcavam. Usando essa corda, os egípcios construíram um triângulo particular cujos lados mediam 3, 4 e 5 unidades, formando um ângulo reto entre os dois lados menores. A construção de pirâmides de base quadrada é uma das muitas aplicações do conhecimento geométrico dos antigos egípcios, que usavam um processo prático para obter “cantos” retos (ângulos de 90º).

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Vamos Exercitar?

23 Exercício 01 (UERJ) Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o fragmento abaixo: Às folhas tantas de um livro de Matemática, um Quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma Incógnita. Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do ápice à base: uma figura ímpar; olhos romboides, boca trapezoide, corpo retangular, seios esferoides. Fez da sua uma vida paralela à dela, até que se encontraram no Infinito. “Quem és tu?” – indagou ele em ânsia radical. “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa.” ……………………………………………………………………….. (Millôr Fernandes. Trinta Anos de Mim Mesmo.)

24 Exercício 01 (continuação)
A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte resposta: A) “Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa.” B) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa.” C) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa.” D) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa.”. D) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa.”. Como vimos, este primeiro exercício pede nada mais do que o enunciado do Teorema de Pitágoras: (hipotenusa)2 = (cateto1)2 + (cateto2)2

25 Exercício 02 Uma piscina retangular mede 24 m de comprimento por 18 m de largura. Nadando na diagonal dessa piscina, um atleta consegue nadar ida e volta em um total de A) 54 m. B) 56 m. C) 58 m. D) 60 m. E) 62 m. D) 60 m.

26 Exercício 03 (PMST1101/009 – 2012) Em um dos efeitos visuais, para promover o início de vendas dos apartamentos, um feixe retilíneo de luz parte do topo do prédio e atinge o solo em um determinado ponto, conforme indicado na figura. Desse modo, pode-se concluir, corretamente, que a altura do prédio, em metros, indicada por h na figura, é: A) 22. B) 24. C) 25. D) 28. E) 30. B) 24.

27 Exercício 04 Na figura, a medida aproximada, em metros, do comprimento AB da escada, é A) 11. B) 13. C) 15. D) 17. E) 19. B) 13.

28 Exercício 05 A) 5,5. B) 5,2. C) 4,8. D) 4,4. E) 4,0. D) 4,4.

29 Exercício 06 (PMES1301/ ) Dois carros partem, no mesmo instante, das cidades Campo Verde e Porto Grande, com destino a Vitória do Sul, pelo caminho mais curto. Considerando que eles mantêm a mesma velocidade, é correto afirmar que o carro que chegará primeiro e a distância que o outro carro estará nesse momento da cidade de destino são, respectivamente, A) carro 2 e 24 km B) carro 2 e 22 km. C) carro 1 e 20 km. D) carro 1 e 22 km. E) carro 2 e 20 km. E) carro 2 e 20 km.

30 Extras VÍDEOS Mão na Forma - O Barato do Pitágoras:
 O Legado de Pitágoras - Desafiando Pitágoras - Parte 1  O Legado de Pitágoras - Desafiando Pitágoras - Parte 2 ATIVIDADES PRÁTICAS  Quebra-cabeças Pitagóricos:  O Teorema de Pitágoras e as relações métricas no triângulo retângulo com material emborrachado: SITES ÚTEIS  Brasil Escola:  Só Matemática:

31 Extras LIVRO Pitágoras e o seu Teorema:
LIVRO  Pitágoras e o seu Teorema:  LEITURA RECOMENDADA  Teorema de Pitágoras:  SIMULAÇÕES Teorema de Pitágoras: Triângulo de Pitágoras: QUIZ LISTA DE EXERCÍCIOS

32 Bibliografia ALMOULOUD, Saddo Ag e BASTIAN, Irma Verri. O teorema de Pitágoras: uma abordagem enfatizando o caráter necessário/suficiente. In: Educação Matemática em revista. Ano 10. n. 14. São Paulo: SBEM, 2003. BASTIAN, Irma Verri. O teorema de Pitágoras. Dissertação (mestrado). São Paulo: PUC, p. Disponível em Acesso: agosto/2015. JAHN, Ana Paula e BONGIOVANNI, Vincenzo. O teorema de Pitágoras segundo a dialética ferramenta-objeto. IN: Revemat – Revista Eletrônica de Educação Matemática. V 3.7, p.78-83, USC, 2008. < Acesso em 04/08/2015. < Acesso em 04/08/2015. < Acesso em 04/08/2015. < Acesso em 04/08/2015. < Acesso em 04/08/2015. < Acesso em 04/08/2015. < Acesso em 04/08/2015.