Computação Científica e Equações Diferenciais Geovan Tavares e Hélio Lopes PUC-Rio – Departamento de Matemática Laboratório Matmidia

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1 Computação Científica e Equações Diferenciais Geovan Tavares e Hélio Lopes PUC-Rio – Departamento de Matemática Laboratório Matmidia http://www.matmidia.mat.puc-rio.br 1

2 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Integrais Impróprias Transformadas de Laplace Transformada de Laplace e Equações Diferenciais Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Sistemas de Equações Diferenciais de Ordem Superior Métodos Numéricos 2 Geovan Tavares

3 3 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Integrais Impróprias Integrais impróprias são definidas como limites de integrais definidas onde: o ou os limites pelo menos um dos limites de integração vai para o finfinito; o ou quando a função integrando é infinita em pelo menos um dos extremos da integração. Elas podem ser dos tipos:

4 4 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Integrais Impróprias Calcular Vamos dar exemplos. Primeiro para Usando o teorema fundamental do cálculo e a definição de integral temos

5 5 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Integrais Impróprias Agora um exemplo para a integral imprópria do tipo Calcular a integral Essa integral é calculada como o limite Usando integrais duplas podemos calculá-la e temos

6 6 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Integrais Impróprias Daí chegamos a porque Gráfico de

7 7 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Integrais Impróprias Calcular a integral A seguir um exemplo para a integral imprópria do tipo Usando mudança de variáveis na integral acima temos que Portanto

8 8 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Integrais Impróprias Calcular a integral E finalmente um exemplo para a integral imprópria do tipo Temos

9 9 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Integrais Impróprias Exercicios 1.Em cada um dos problemas abaixo faça gráficos em Maple dos integrandos quando p varia e calcule a integral. a)Analisar o comportamento da integral b)Idem para a integral 1.Plotar a função

10 10 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Transformada de Laplace Definição Exemplos Em geral

11 11 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Transformada de Laplace Exercícios 1. 2. 3. 4. 5.

12 12 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Transformada de Laplace Usando a propriedade de linearidade vamos provar que Temos

13 13 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Transformada de Laplace Decomposição em Frações Parciais Por definição é a decomposição única de uma função racional, quociente de dois polinômios, em uma soma de funções racionais onde numeradores e denominadores tem o menor grau possivel. Dada a função racional Usamos o teorema fundamental da álgebra para escrever Daí

14 14 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Transformada de Laplace Exemplos 1. 2.

15 15 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Transformada de Laplace Exercícios 1. 2. x =3 é uma raiz do denominador.

16 16 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Transformada de Laplace

17 17 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Transformada de Laplace

18 18 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Transformada de Laplace

19 19 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Transformada de Laplace e Equações Diferenciais Solução de Problemas de Valores Iniciais Transformada de Laplace e Equações Diferenciais Solução de Problemas de Valores Iniciais Principais Propriedades da Transformada de Laplace

20 20 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Exemplo Calculamos as duas primeiras derivadas Daí temos que E portanto Exercício. Calcular a transformada de Laplace de Transformada de Laplace e Equações Diferenciais Solução de Problemas de Valores Iniciais Transformada de Laplace e Equações Diferenciais Solução de Problemas de Valores Iniciais

21 21 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Transformada de Laplace e Equações Diferenciais Solução de Problemas de Valores Iniciais Transformada de Laplace e Equações Diferenciais Solução de Problemas de Valores Iniciais Teorema de Existência e Unicidade para Equações Diferenciais de Ordem n. Se é uma função diferenciável a equação diferencial com condições iniciais tem solução única em um domínio

22 22 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Transformada de Laplace e Equações Diferenciais Solução de Problemas de Valores Iniciais Transformada de Laplace e Equações Diferenciais Solução de Problemas de Valores Iniciais Resolver Aplicando a transformada de Laplace E portanto

23 23 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Transformada de Laplace e Equações Diferenciais Solução de Problemas de Valores Iniciais Transformada de Laplace e Equações Diferenciais Solução de Problemas de Valores Iniciais Que decompomos em frações como

24 24 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Transformada de Laplace e Equações Diferenciais Solução de Problemas de Valores Iniciais Transformada de Laplace e Equações Diferenciais Solução de Problemas de Valores Iniciais Resolvendo os denominadores: Chegamos ao seguinte sistema de equações lineares: Cuja solução é

25 25 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Transformada de Laplace e Equações Diferenciais Solução de Problemas de Valores Iniciais Transformada de Laplace e Equações Diferenciais Solução de Problemas de Valores Iniciais

26 26 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Transformada de Laplace e Equações Diferenciais Solução de Problemas de Valores Iniciais Transformada de Laplace e Equações Diferenciais Solução de Problemas de Valores Iniciais Referências para Transformada de Laplace podem ser encontradas nos textos enviados em anexo.

27 27 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Transformada de Laplace e Equações Diferenciais Solução de Problemas de Valores Iniciais Transformada de Laplace e Equações Diferenciais Solução de Problemas de Valores Iniciais Exercícios

28 28 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Equações Diferenciais Lineares: O caso bidimensional

29 29 Equações Diferenciais Lineares: O caso bidimensional Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II O que, fazendo uma análise detalhada, dá o gráfico ao lado.

30 30 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Equações Diferenciais Lineares: O caso bidimensional Vamos ver como é o comportamento do sistema Quer dizer O que dá

31 31 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Equações Diferenciais Lineares: O caso bidimensional Trajetória da equação diferencial linear

32 32 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Equações Diferenciais Lineares: O caso bidimensional Trajetória da equação diferencial linear

33 33 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Equações Diferenciais Lineares: O caso bidimensional Trajetória da equação diferencial linear

34 34 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Equações Diferenciais Lineares: O caso bidimensional Trajetória da equação diferencial linear

35 35 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Equações Diferenciais Lineares: O caso bidimensional Gráfico da curva paramétrica que é uma solução da equação diferencial linear do problema do slide anterior.

36 36 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Equações Diferenciais Lineares: O caso bidimensional Trajetória da equação diferencial linear

37 37 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Equações Diferenciais Lineares: O caso bidimensional Gráfico da curva paramétrica que é uma solução da equação diferencial linear do problema do slide anterior.

38 38 Equações Diferenciais Lineares: O caso bidimensional Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Procurando soluções para o sistema de equações lineares geral Vamos procurar soluções do tipo Derivando temos Ou seja Portanto é um problema de encontrar autovalores e autovetores. onde A é uma matriz nxn. onde v é um vetor.

39 39 Equações Diferenciais Lineares: O caso bidimensional Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Vamos resolver os sistemas

40 40 Equações Diferenciais Lineares: O caso bidimensional Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Exercícios 1. 2.

41 41 Equações Diferenciais Lineares: O caso bidimensional Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Exercícios 1. 2.

42 42 Equações Diferenciais Lineares: O caso bidimensional Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Exercícios 1. 2.

43 43 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Equações Diferenciais Lineares A Aplicação Exponencial Em uma variável a função exponencial pode ser definida por Esta série converge porque

44 44 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Equações Diferenciais Lineares A Aplicação Exponencial Propriedades: 1. 2. 3.

45 45 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Equações Diferenciais Lineares A Aplicação Exponencial Para matrizes definimos Temos que 1. 2. 3. A igualdade no item 2 só se dá quando

46 46 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Equações Diferenciais Lineares A Aplicação Exponencial A solução da equação que passa passa no ponto x=x0 é

47 47 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Equações Diferenciais Lineares A Aplicação Exponencial Exemplo Paradigma Vamos supor que podemos escrever A = D + N onde e

48 48 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Equações Diferenciais Lineares A Aplicação Exponencial Exemplo Paradigma Temos então, usando a definição de matriz exponencial, que Comochegamos a

49 49 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Equações Diferenciais Lineares A Aplicação Exponencial Exemplo Paradigma Uma observação importante é que o que permite escrever Portanto podemos escrever uma expressão simples para

50 50 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Equações Diferenciais Lineares A Aplicação Exponencial Exemplo 2x2 (continuação) Vamos resolver o sistema de equações diferenciais usando matriz exponencial Decompomos A = D + N com

51 51 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Equações Diferenciais Lineares A Aplicação Exponencial Exemplo 2x2 (continuação) Como e tD e tN comutam temos que. De e Chegamos a

52 52 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Equações Diferenciais Lineares A Aplicação Exponencial Uma referência para exponencial de matriz com aplicações às equações diferenciais é http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential

53 53 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Equações Diferenciais Não Lineares Para equações não lineares não existe métodos gerais para resolve-las. Em geral recorremos a métodos numéricos.

54 54 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Equações Diferenciais Não Lineares x, y são dois elementos que competem parametrizados por Uma equção que começa em competição de espécies e hoje tem inúmeras aplicações em biologia moderna, economia, entre outros.

55 55 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Equações Diferenciais Não Lineares

56 56 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Equações Diferenciais Não Lineares Equação de Van der Pohl que após a transformação pode ser escrita como

57 57 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Equações Diferenciais Não Lineares Espaço de Fase

58 58 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Equações Diferenciais Não Lineares O atrator de Lorenz Suas equações são simples. Possuem, entretanto, um comportamento dinâmico bastante complexo.

59 59 Computação Científica e Equações Diferenciais - Parte II Equações Diferenciais Não Lineares Uma visualização clássica do atrator de Lorenz.