UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS ME36L – TRANSFERÊNCIA DE CALOR 1 PROF.

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1 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS ME36L – TRANSFERÊNCIA DE CALOR 1 PROF. Msc RUBENS GALLO

2 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 2 Condução transiente ou não estaconário: se a temperatura da superfície de um sitema for alterada, a temperatura em cada ponto no sistema também começará a ser mudada. As variações continuarão a ocorrer até que a distribuição de temperatura em regime estacionário seja atingido. Os objetivos desse capítulo são: desenvolver procedimentos para adeterminação da dependência da distribuição de temperatura no interior de um sólido durante um processo transiente, bem como determinar a transferência de calor entre o sólido e seu ambiente.

3 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 3 Se os gradientes de temperatura no interior do sólido puderem ser despezados, um procedimento relativamente simples, denominado método da capacidade concentrada, pode ser utilizado para determinar a variação da temperatura com o tempo. Sob condições para as quais os gradientes de temperatura não são desprezíveis, mas a transferência de calor no interior do sólido é unidimensional, soluções exatas para a equação do calor podem ser utilizadas para calcular a dependência da temperatura tanto na posição como no tempo. Tais soluções são consideradas para sólido finidos (paredes planas, cilindros longos e esferas). Para geometrias mais complexas, métodos das diferenças finitas devem ser utilizados para prever a dependência no tempo das temperaturas no interior do sólido.

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6 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 6 Como não existe gradientes de temperatura no interior do sólido, a equação do calor não pode ser utilizada. A resposta transiente da temperatura é determinada pela formulação de um balanço global de energia no sólido, deve relacionar a taxa de perda de calor na superfície com a taxa de variação da energia interna.

7 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 7 Introduzindo a diferença de temperatura Lembrando que: Separando variáveis e integrando a partir da condição inicial, para a qual t=0 e T(0)=T i, obtemos: onde

8 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 8 Efetuando as integrações, segue que ou Da equação acima podemos observar que a diferença entre as temperaturas do sólido e do fluido deve decair exponencialmente para zero conforme t se aproxima do infinito.

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11 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 11 A grandeza Q é, obviamente, relacionada à variação de energia interna do sólido. Para resfriamentos, q é positivo e o sólido esta sujeito a uma queda na energia. No aquecimento q é negativo e a energia interna do sólido aumenta.

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16 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 16 O erro associado à utilização do método da capacidade concentrada é pequeno. L c – comprimento característico, definido pela relação:

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18 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 18 Fo – número de Fourier – adimensional. Substituindo as Eq. 5.11 na 5.6, obtemos:

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21 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 21 A equação acima é uma equação diferencial ordinária não homogênea, de primeira ordem e não-linear, que pode ser integrada para obter uma solução exata. Para uma situação em que não há fluxo de calor ou geração e a convecção não existe ou pode ser desprezada em relação à radiação, a Eq. 5.15 se reduz a:

22 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 22 Separando as variáveis e integrando a partir da condição inicial até um tempo qualquer t, segue que:

23 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 23 Introduzindo a seguinte transformação: Lembrando que:

24 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 24 Substituindo a Eq. 5.21 em 5.20, temos:

25 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 25 Nem sempre o método da capacitânica concnetrada é apropiado e, aproximações alternativas podem ser utilizada. De uma maneira geral, problemas de condução de calor transiente podem ser descritos pelas equações de difusão de calor (em coordenadas retangulares, cilíndricas ou esféricas). A solução dessas equações diferenciais parciais fornece a variação da temperatura com o tempo e as coordenadas espaciais. Para uma parede plana, sem geração de energia interna e condutividade térmica, condução unidimensional, apenas uma cooredenada espacial é necessária para caracterizar a distribuição interna de temperatura.

26 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 26 Para resolver a equação acima, para a distirubuiçã de temperatura T(x,t), é necessário especificar uma condição inicial e duas condições de contorno. Codinção inicial: Condições de contorno:

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28 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 28 Substiruindo as Eqs. 5.31 a 5.33, nas Eqs. 5.26 a 5.29, a equação do calor torna-se: Bi – número de Biot:

29 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 29 5.5.1 – SOLUÇÃO EXATA Considere a parede plana de espessura 2L. Se a espessura for pequena em relação à largura e à altura da parede, é razoável considerar que a comdução ocorre exclusivamente na deireção x.

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31 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 31 As quatro primeiras raízes dessa equação são fornecidas no Apêndice B3. 5.5.2 – SOLUÇÃO APROXIMADA

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34 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 34 A equação da conservação da energia pode ser aplicada, pode ser aplicada ao intervalo de tempo delimitado pela condição inicial (t=0) e por qualquer outro instante de tempo t>0.

35 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 35 A Eq. 5.43b pode ser adimensionalizada. Integrando

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37 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 37 5.6.1 – SOLUÇÕES EXATAS Cilindro infinito. Na forma adimensional, a temperatura é: Onde

38 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 38 As funções J 1 e J 0 são funções de Bessel de primeira e segunda espécie e seus valores estão tabelados no Apêndice B.4. Esfera

39 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 39 5.6.2 – Soluções Aproximadas Para o cilindro infinito e a esfera, as soluções anteriores em séries infinitas podem, mais uma vez, ser aproximadas por um único termo, quando F0>0,2. Assim, como no caso da parede plana, a dependência da temperatura em relação ao tempo em qualquer ponto no interior do sistema radial é a mesma que ocorre na linha de centro, no caso do cilindro infinito, ou no ponto central, no caso da esfera. Cilindro Infinito A aproximação pelo primeiro termo da Eq. 5.47 é:

40 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 40 Representa a temperatura na linha de centro.

41 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 41 5.6.3 – TRANSFERÊNCIA TOTAL DE ENERGIA Cilindro Infinito Esfera

42 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 42 Um sólido semi-infinito é um corpo que se estende até o infinoto em todas as direções exceto uma, ele é carcterizado por uma única supefície identificável. Se uma súbita mudança for imposta nas condições dessa superfície, condução unidimensional em regime transiente ocorrerá no interior do sólido. O sólido semi-infinito fornece uma idealização útil para muitos problemas práticos. Ele pode ser usado na deteminação da transferência de calor tnsiente em uma região próxima à suerfície do solo, ou então para aproximar a resposta transiente de um sólido finito, como uma placa espessa. Nesse segundo caso. A aproximação é razoável na porção inicial do processo transiente, quando as temperaturas no interior da placa (em pontos distantes da superfície) ainda não tenham sido influenciadas pela mudança nas condições superficiais.

43 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 43 Equação do calor para a condução de calor em um sólido semi-infinito. Condição inicial: Condição de contorno no interior do sólido:

44 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 44 A figura abaixo mostra as três condições superficiais usadas na solução da equação do calor para um sólido-semi-infinto.

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46 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 46 Operadores diferenciais transformados: Substituindo essas transformações na Eq. 5.26, a equação do calor assume adquire a seguinte forma:

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48 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 48 Integrando, tem-se que: Integrando novamente, obtemos:

49 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 49 Da segunda condição de contorno, Eq. 5.56, obtemos: Avaliando a integral definida:

50 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 50 A distribuição de temperaturas pode ser representada por:

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55 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 55 Resolvendo a expressão anterior pelo método das separação de variáveis.

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57 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 57 Soluções analíticas para problemas transientes estão restritas a geometrias e condições de contorno simples. Na maioria dos casos, a geometria e/ou condições de contorno descartam tais soluções, tornando necessária a utilização de técnicas numéricas na solução desses tipos de probelmas.

58 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 58 5.9.1 – DISCRETIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DO CALOR – O MÉTDO EXPLÍCITO Considere o sistema bidimensional mostrado na figura abaixo.

59 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 59 Equação da difusão de calor, para condições transiente, propriedades constantes e sem geração de energaia interna. Além da discretização da equação nas direções x e y (em relação ao espaço), torna- se necessário agora, também, uma discretização em relação ao tempo. Para isso o inteiro p é introduzido. Discretização em relação ao tempo.

60 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 60 Substituindo as equações discretizadas na equação da difusão do calor, obtém-se a forma explícita da equação em diferenças finitas para um nodo inteior (m,n). Na solução pelo método explícito, essas temperaturas são avaliadas no instante de tempo anterior (p).

61 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 61 Se o sistema for unidimensional em x. Resolvendo par a temperatura nodal no novo instante de tempo (p+1) e considerando que os incrementos em x e y são iguais, tem-se:

62 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 62

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64 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 64 Critério de estabilidade para um nodo unidimensional: Para um nodo bidimensional:

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66 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 66 Considerando a transferência de calor por convecção de um fluido adjacente e graração nula, tem-se pela Eq. 5.76 que: Lembrando que:

67 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 67 Número de Biot em diferenças finitas: Critério de estabilidade:

68 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 68 5.9.2 – DISCRETIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DO CALOR – O MÉTODO IMPLÍCITO

69 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 69 Discretizando a equação do calor para as condições propriedades constantes e sem geração de energia interna, tem-se: Analisando a equação acima podemos perceber que a temperatura no nó (m,n) no instante p, depende das novas temperaturas no seus nodos adjacentes, que são em geral desconhecidas.

70 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 70 A discretização da equação do calor irá fornecer um conjunto de equações algébricas que deverão serem resolvidas simultaneamente, isso pode ser feito enpregando-se o método iterativo de Gauss-Siedel, inversão de matrizes ou outro método qualquer. A vantagem desse método em relação ao explícito é que ele é incondicionalmente estável, ou seja, a solução permanece estável para todos os intervalos de espaço e de tempo. Para um nodo na superfície do corpo, tem-se: Para um nodo no interior: