Número de Ouro e razão áurea Eulina Carolina Fernanda Fernandes.

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1 Número de Ouro e razão áurea Eulina Carolina Fernanda Fernandes

2 A história deste enigmático número perde-se na Antiguidade. No Egipto, as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a Razão de Ouro : A razão entre a altura de um face e metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao Número de Ouro. O Papiro de Rhind refere-se a uma «razão sagrada», que se crê ser o Número de Ouro. Esta razão ou secção áurea surge em muitas estátuas da Antiguidade.

3 Os pitagóricos constataram também a razão de ouro na construção da estrela pentagonal. Não conseguiram exprimir como quociente de dois números inteiros, a razão existente entre o lado do pentágono regular estrelado (pentáculo) e o lado do pentágono regular inscritos numa circunferência. Quando chegaram a esta conclusão ficaram muito espantados, pois, tudo isto era contrário a toda a lógica que conheciam e defendiam, chamando irracional a esse número.

4 Construído entre 447 e 433 a.C., o Partenon, templo representativo do século de Péricles, exibe a Razão de Ouro no rectângulo que contêm a fachada (Largura / Altura), o que revela a preocupação de realizar uma obra bela e harmoniosa. O escultor e arquitecto encarregado da construção deste templo foi Fídias. A designação adoptada para o Número de Ouro é a inicial do nome deste arquitecto - a letra grega F (Fi maiúsculo).

5 No século XIII os povos europeus ainda usavam a numeração romana nos seus cálculos e contagens. Fibonacci foi quem mais contribuiu para a transição para o sistema numérico indo-árabe, que ainda hoje utilizamos. Na obra "Liber Abaci" Fibonacci explica como usar a numeração árabe e como efectuar cálculos com ela, surgem alguns problemas, um dos quais é o célebre “Problema dos coelhos".

6 Quantos pares de coelhos podem ser gerados por um par de coelhos num ano, supondo que se começa com um par de coelhos num ambiente fechado. Desejamos saber quantos pares de coelhos podem ser gerados por este par num ano, se de um modo natural a cada mês ocorre a produção de um par e esse par começa a produzir coelhos quando completa dois meses de vida.

7 Uma contribuição que não pode ser deixada de referir foi a de Leonardo Da Vinci (1452-1519). A excelência dos seus desenhos revela os seus conhecimentos matemáticos, bem como a utilização da razão áurea como garante de uma perfeição, beleza e harmonia únicas. Lembrado como matemático apesar da sua mente irrequieta não se concentrar na Aritmética, Álgebra ou Geometria o tempo suficiente para fazer uma contribuição significativa.

8 Leonardo representa bem o Homem da Renascença, que fazia de tudo um pouco sem se fixar em nada. Era um génio de pensamento original que usou exaustivamente os seus conhecimentos de matemática, nomeadamente o Número de Ouro, nas suas obras de arte. Um exemplo é a tradicional representação do homem em forma de estrela de cinco pontas de Leonardo, que foi baseada nos pentágonos, estrelado e regular, inscritos na circunferência.

9 A Mona Lisa, que apresenta o retângulo de Ouro em múltiplos locais: (a) desenhando um retângulo à volta da face o retângulo resultante é um retângulo de Ouro; (b) dividindo este retângulo por uma linha que passe nos olhos, o novo retângulo obtido também é de Ouro e (c) as dimensões do quadro também representam a razão de Ouro.

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11 De uma forma mais simplificada podemos chegar ao numero de ouro e para isso vamos utilizar o seguinte processo: Considere o segmento de reta, cujas duas extremidades se denominarão de A e C, e colocando um ponto B entre A e C (neste caso o ponto B estará mais perto de C), de maneira que a razão do segmento de reta (AC) para (AB) seja igual à razão do maior segmento (AB) para o segmento (BC): A razão entre os comprimentos destes segmentos designa-se habitualmente por seção áurea. Então, tem-se que: (AC) / (AB ) = (AB) / (BC) Pode-se então definir o número de ouro se fizer: AB = x BC = y AC = x + y A B C

12 O número de ouro vai ser a razão entre x e y: (x+y) / x = x / y Se ainda substituir y por 1 tem-se: (x+1)/ x = x / 1 Multiplicando pela proporção obtém-se: x² - x - 1 = 0 Resolvendo esta equação quadrática, obtém-se as seguintes soluções: x1 = ( 1 + 5 ) / 2 x2 = ( 1 - 5 ) / 2 Não se irá considerar o segundo valor (x2), tendo em conta que o comprimento de um polígono, nunca poderá ser negativo. Chega-se então, ao que se pretende, isto é,encontrou-se o tão esperado número de ouro Ô (Phi): Ô = ( 1 + 5 ) / 2

13 O número de ouro, tem também, através dos tempos, influenciado a arte através do retângulo áureo que é considerado perfeito pois é o retângulo mais agradável à visão. Nesse retângulo, a razão entre o lado maior e o lado menor é o número de ouro. Esta razão recebeu o nome Número de Ouro dos Gregos, mais especificamente do escultor grego Phidias.

14 Entre 1942 e 1948, Le Corbusier desenvolveu um sistema de medição que ficou conhecido por “Modulor”. O Modulor está baseado na razão de ouro e nos números de Fibonacci e usa também as dimensões médias humanas (dentro das quais 183 cm é a altura standard). O Modulor é uma seqüência de medidas que Le Corbusier usou para encontrar harmonia nas suas composições arquiteturais. O Modulor foi publicado em 1950 e depois do grande sucesso, Le Corbusier veio a publicar, em 1955, o “Modulor 2” que pode ser observado na Figura.

15 A proporção harmônica pode ser considerada uma subversão da proporção aritmética, trabalhando o som de uma oitava em uma quarta e uma quinta. Na música,existem artigos que relacionam as composições de Mozart, Bethoveen (Quinta Sinfonia), Schubert e outros com a razão áurea. Pode-se verificar na figura que até mesmo a construção de instrumentos, como exemplo o violino, está relacionado com a proporção áurea.

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18 Existem espirais relacionadas com o número de ouro, como, por exemplo, os moluscos náuticos ou a simples couve-flor.