Bruno Lund1 Obtenção das Curvas de juros de títulos e de derivativos financeiros Parte 2.

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1 Bruno Lund1 Obtenção das Curvas de juros de títulos e de derivativos financeiros Parte 2

2 Bruno Lund 2 Tipos de taxas de juros: curvas spot (zero), par e forward A partir da curva de juros spot [t(n)  R(0,t(n))] é possível obter mais duas curvas: (1) curva par: utilizada para emissão e títulos  encontrar a taxa de cupom que faz com que o preço de um título que paga cupons descontado pela curva spot seja igual ao valor de face (2) curva forward  construção sintética de títulos zero cupom para uma sequência crescente de maturidades com vida inicial em algum momento no futuro (igual para os títulos de todas as maturidades) – forward

3 Bruno Lund 3 Curva par A taxa ao par c(n) a.a. de maturidade t(n) é encontrada, por não-arbitragem, a partir da equação abaixo: A curva ao par é por definição uma sequência de taxas ao par {c(n)}. Função de t(n)  c(n)

4 Bruno Lund 4 Curva forward A taxa forward F(0,t(1),t(n)) a.a. no instante 0 (hoje), que irá vigorar entre os períodos futuros t(1) e t(n), com t(1)<t(n), para n=2,3,..., é obtida por não-arbitragem: Curva forward iniciando em t(1) é uma função t(n)  F(0,t(1),t(n))  Por definição F(0,t(1),t(1))=R(0,t(1))

5 Bruno Lund 5 Curvas de juros Exercício: Construa as curvas ao par e forward, a partir dos seguintes vértices interpolados de DI futuro para o dia 23-11- 2007.

6 Bruno Lund 6 Bootstrap Duas formas de apreçar equivalentes: B(0,t(i)) é o preço de um título que não paga cupons com valor de face unitário e maturidade t(i) Estas duas maneiras têm que gerar preços iguais Caso contrário, ARBITRAGEM

7 Bruno Lund 7 Equivalência de apreçamento Exercício: Suponha que numa economia existam 3 títulos:  (1) um título zero de 1 ano cotado a 95;  (2) um título de 2 anos e cupom de 8% a.a. (pa) cotado a 99 e;  (3) um título zero de 2 anos com taxa de 9%. Existe oportunidade de arbitragem? Como aproveitá-la?

8 Bruno Lund 8 Bootstrap Se numa economia só houvesse títulos que não pagam cupons, os vértices da curva de juros já estariam previamente determinados por R(0,t(i)).  Curva observável Se houver títulos que pagam cupons? Como proceder para encontrar os vértices?  Curva não-observável  construir títulos zero cupom sintéticos a partir do conjunto de títulos que pagam cupons.

9 Bruno Lund 9 Bootstrap Suponha que existam títulos com a mesma data de aniversário de acordo com a tabela abaixo: Resolver sistema:

10 Bruno Lund 10 Exemplo: curva-pré (bootstrap) Títulos pré-fixados: 19-8-2008 TítulosMaturidadeTaxaPreço LTN1/4/200914,29%920,64 LTN1/7/200914,54%889,67 LTN1/10/200914,68%857,88 LTN1/1/201014,71%828,71 LTN1/7/201014,61%776,27 NTNF1/1/201014,73%958,65 NTNF1/7/201014,63%944,14 NTNF1/1/201114,45%930,59 NTNF1/1/201214,17%909,77 NTNF1/1/201314,06%890,28 NTNF1/1/201413,97%873,29 NTNF1/1/201713,83%834,72

11 Bruno Lund 11 Interpolação Curva é por definição contínua Bootstrap só encontra pares (t(i),R(0,t(i)) Interpolação liga pontos de maneira a construir a função t(n)  R(0,t(n)) Linear Flat-forward Cúbica por partes Cubic Splines

12 Bruno Lund 12 Interpolação linear Suponha que conhecemos apenas as taxas para as maturidades t(1) e t(2) Podemos obter qualquer taxa intermediária passando uma reta netes pontos  Exercício: Encontre as taxas R(0;3,5) e R(0;3,2) por interpolação linear sabendo que R(0;3)=5,5% e R(0;4)=6%.

13 Bruno Lund 13 Interpolação Flat-Forward Suponha que conhecemos apenas as taxas para as maturidades t(1) e t(2) hipótese de que a taxa forward F(0,t(1),t) é cte e igual a F(0,t(1),t(2))  Exercício: igual ao anterior

14 Bruno Lund 14 Interpolação cúbica por partes Suponha que conhecemos 4 taxas entre as maturidades t(1) e t(4) [1º segmento] Suponha que R(0,t) é definida pela seguinte função cúbica para maturidades neste segmento: Problema: encontrar parâmetros (a,b,c,d) tq:

15 Bruno Lund 15 Obtendo a Estrutura a Termo Polinomial por Partes – Exemplo Já calculamos as seguintes taxas  R(0,1) = 3%  R(0,2) = 5%  R(0,3) = 5.5%  R(0,4) = 6% Calcula a taxa de 2.5 anos R(0,2.5) = a x 2.5 3 + b x 2.5 2 + c x 2.5 1 + d = 5.34375% com

16 Bruno Lund 16 Obtendo a Estrutura a Termo Polinomial por Partes versus Linear por Partes

17 Bruno Lund 17 Interpolação exercício Exercicio: utilizando a tabela encontre algumas taxas interpoladas para maturidades da sua escolha. Faça o exercício para os três tipos de interpolação apresentados.

18 Bruno Lund 18 Curva DI: Linear vs FF Dia 23-08-2008

19 Bruno Lund 19 Estimação polinomial cúbica Toda estimação apresenta erros  Vértices observáveis não são acertados com precisão  Vantagem: trabalhar com número qualquer de taxas >4 Suponha que curva de juros seja modelada por: Problema: encontrar (a,b,c,d) que errem o mínimo as taxas observáveis

20 Bruno Lund 20 Estimação polinomial cúbica O que significa Regressão linear: taxas (variáveis dependentes) nos loadings (variáveis independentes) Loadings Defina Solução:

21 Bruno Lund 21 Cubic-Splines (segementos): nós fixos Adição de M Splines fixos em maturidades determinadas (T(1),...,T(M)) Além disso, quero suavidade da curva nas junções (sem bicos) Problema: Encontrar (a(1),b(1),c(1),d(1);..., a(M),b(M),c(M),d(M)) respeitando as restrições de suavidade de maneira a minimizar os erros de estimação

22 Bruno Lund 22 Cubic-Splines (segementos): nós fixos Isto significa Exemplo: (Cubic-2Splines). Suponha um modelo para ETTJ polinomial cúbico com 2 splines (segmentos): um nó na maturidade T(1) e maturidade máxima igual a T(2). Para estimar a curva de juros e necessário resolver o problema de otimização acima sujeito 3 restrições de maneira a encontrar:

23 Bruno Lund 23 Cubic-Splines (segementos): nós fixos Restrições 3 na junção, mais uma no fim: É possível reescrever o sistema acima em notação matricial Solução:

24 Bruno Lund 24 Exercício: curva de juros DI futuro Exercício: Utilize as informações contidas na tabela para construir uma ETTJ pelo método de estimação: (1) Polinomial Cúbico.

25 Bruno Lund 25 C0-Spline vs N-S (Curva DI futuro)

26 Bruno Lund 26 Função desconto Modelar função desconto, ao invés da taxa. Restrição: B(0,0)=1 Interessante se Curva não-observável: ntn-b, ntn-c e ntn-d B(0,t(n)):Polinômio cúbico Método: Regressão linear com restrições (a=1)  Exercício: curva ntn-b

27 Bruno Lund 27 Idéia é trabalhar com um modelo para a Estrutura a Termo, com alguns parâmetros livres.  Procedimento de estimação Os métodos indiretos involvem os seguintes passos  Passo 1: selecione um conjunto de K bonds com preços P j com fluxos de caixa F j (t i ) nas datas t i >t  Passo 2: selecione uma forma funcional para os fatores de desconto B(t,t i ;ß), ou para as taxas de desconto R(t,t i ;ß), onde ß é um vetor de parâmetros, valendo então Obtendo a Estrutura a Termo Função Desconto  Passo 3: estime ß por mínimos quadrados

28 Bruno Lund 28 Nelson e Siegel introduziram o seguinte modelo para as taxas de desconto Modelo Paramétrico de Nelson Siegel R(0,  ) : taxa de desconto com maturidade   0 : level parameter - the long-term rate ( )  1 : slope parameter – the spread short/long-term  2 : curvature parameter ( )  1 : scale parameter

29 Bruno Lund 29 Obtendo a Estrutura a Termo Inspeção do Funcional de Nelson Siegel

30 Bruno Lund 30 Loadings NS

31 Bruno Lund 31 Parâmetro de Inclinação e de Curvatura Para investigarmos a influência dos parâmetros de inclinação e curvatura no modelo de Nelson e Siegel, fazemos o seguinte experimento  Comece com o caso base  0 = 7%  1 = -2%  2 = 1%  = 3.33  Varie os parâmetros  1 = entre –6% e 6%  2 = entre –6% e 6%

32 Bruno Lund 32 Curva Inicial

33 Bruno Lund 33 Obtendo a Estrutura a Termo Impacto do Parâmetro de Inclinação

34 Bruno Lund 34 Obtendo a Estrutura a Termo Impacto do Parâmetro de Curvatura

35 Bruno Lund 35 Obtendo a Estrutura a Termo Possíveis Formatos da Curva de Juros

36 Bruno Lund 36 Evolução dos parâmetros do modelo NS no mercado Francês - 1999-2000 Beta(0) oscillates between 5% and 7% and may be regarded as the very long term rate Beta(1) is the short to long term spread. It varies between -2% and -4% in 1999, and then decreases in absolute value to almost 0% at the end of 2000 Beta(2), the curvature parameter, is the more volatile parameter which varies from -5% to 0.7%.

37 Bruno Lund 37 Nelson Siegel Estimação é feita de maneira igual a dos outros modelos  Minimização em taxas (linear)  Minimização em preços (não-linear) Interpretações claras dos parâmetros (fatores) Componentes principais Existem diversos outros modelos paramétricos  Vasicek  Svensson  Polinômios de Legendre

38 Bruno Lund 38 4.70% 4.80% 4.90% 5.00% 5.10% 5.20% 5.30% 02468101214 Confidence interval Yield curve on 09/01/00 Intervalo de Confiança