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8 May 2008. 20:02 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Interpolação Polinomial Fórmula de Newton.

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1 8 May :02 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Interpolação Polinomial Fórmula de Newton

2 15 May :41 Interpolação polinomial Interpolação de n+1 pontos através de um polinômio de grau n: (x 0,y 0 ), (x 1,y 1 ),... (x n,y n ) polinômio

3 15 May :41 Lagrange Através da definição de funções: é possível obter o polinômio interpolatório sem resolver um sistema linear (fórmula de Lagrange).

4 15 May :41 Problema da fórmula de Lagrange Imagine que se queira o polinômio para os pontos: Como vimos, obtemos o polinômio: P(x) = x 2 -6x+8 que interpola estes pontos. Porém, se adicionamos mais uma medida: Temos que calcular todo o novo polinômio desde o princípio, sem poder fazer uso da informação que já temos (para os três primeiros pontos).

5 15 May :41 Fórmula de Newton A fórmula interpolatória de Newton resolve este problema: Para calcular o novo polinômio (para n+1 pontos), usamos o polinômio que já temos (que interpola os n primeiros pontos) e adicionamos novos termos. Antes de aprender a fórmula interpolatória de Newton, vejamos uns conceitos mais básicos...

6 15 May :41 Diferenças divididas Definimos as diferenças divididas de uma função através de uma fórmula recursiva: Diferenças divididas de ordem 0: Diferenças divididas de ordem superior: diferença dividida de todos menos o primeiro diferença dividida de todos menos o último último menos o primeiro

7 15 May :41 Diferenças divididas Exemplo: Tome a função f(x)=1/x e x 0 =1, x 1 =2, x 2 =4 e x 3 =5 e calcule f[x 0,x 1,x 2,x 3 ] f[x 0 ] = f(x 0 )=1 f[x 1 ] = f(x 1 )=1/2 f[x 2 ] = f(x 2 )=1/4 f[x 3 ] = f(x 3 )=1/5 f[x 0,x 1 ] = (f[x 1 ]-f[x 0 ])/(x 1 -x 0 ) = -1/2 f[x 1,x 2 ] = (f[x 2 ]-f[x 1 ])/(x 2 -x 1 ) = -1/8 f[x 2,x 3 ] = (f[x 3 ]-f[x 2 ])/(x 3 -x 2 ) = -1/20

8 15 May :41 Diferenças divididas Exemplo: Tome a função f(x)=1/x e x 0 =1, x 1 =2, x 2 =4 e x 3 =5 e calcule f[x 0,x 1,x 2,x 3 ] f[x 0 ] = f(x 0 )=1 f[x 1 ] = f(x 1 )=1/2 f[x 2 ] = f(x 2 )=1/4 f[x 3 ] = f(x 3 )=1/5 f[x 0,x 1 ] = -1/2 f[x 1,x 2 ] = -1/8 f[x 2,x 3 ] = -1/20 f[x 0,x 1,x 2 ] = (f[x 1,x 2 ] - f[x 0,x 1 ])/(x 2 -x 0 ) = 1/8 f[x 1,x 2,x 3 ] = (f[x 2,x 3 ] - f[x 1,x 2 ])/(x 3 -x 1 ) = 12/160

9 15 May :41 Diferenças divididas Exemplo: Tome a função f(x)=1/x e x 0 =1, x 1 =2, x 2 =4 e x 3 =5 e calcule f[x 0,x 1,x 2,x 3 ] f[x 0 ] = f(x 0 )=1 f[x 1 ] = f(x 1 )=1/2 f[x 2 ] = f(x 2 )=1/4 f[x 3 ] = f(x 3 )=1/5 f[x 0,x 1 ] = -1/2 f[x 1,x 2 ] = -1/8 f[x 2,x 3 ] = -1/20 f[x 0,x 1,x 2 ] = 1/8 f[x 1,x 2,x 3 ] = 4/160 f[x 0,x 1,x 2,x 3,x 4 ] = (f[x 1,x 2,x 3 ]-f[x 0,x 1,x 2 ])/(x 3 -x 0 ) = -1/40

10 15 May :41 Esquema prático

11 15 May :41 Esquema prático (exemplo) x Ordem 0Ordem 1Ordem 2Ordem /2 1/4 1/5 -1/2 -1/8 -1/20 1/8 4/160 -1/40 f(x)=1/x e x 0 =1, x 1 =2, x 2 =4 e x 3 =5. Calcule f[x 0,x 1,x 2,x 3 ]

12 15 May :41 Outra maneira de calcular Teorema: Seja f(x) uma função contínua, (n+1) vezes diferenciável em [a,b]. Sejam x 0, x 1,... x n, (n+1) pontos distintos de [a,b].

13 15 May :41 Note que pela nova fórmula, vemos que a ordem dos pontos não importa, logo: f[x o,x 1,..., x n ] = f[x n, x n-1,... x 1 ] = f[x 2, x 6,...] =... Corolário I uma permutação qualquer Ou seja, diferenças divididas são funções simétricas.

14 15 May :41 As diferenças divididas de ordem k de uma função satisfazemAs diferenças divididas de ordem k de uma função satisfazem: Corolário II Ou seja, podemos fazer o cálculo "eliminando" quaisquer dois pontos, e não apenas o primeiro e o último.

15 15 May :41 Fórmula de Newton Usando as idéias de diferenças divididas, definimos as funções abaixo:... (x x 0 ) (x x 0,x 1 ) (x x 0...x n ) (calculadas usando o corolário 8.3)

16 15 May :41 Fórmula de Newton Das equações definidas, temos: um ponto (n=0) dois pontos (n=1)

17 15 May :41 Para n+1 pontos: = polinômio de interpolação sobre os pontos x 0, x 1... x n Isto é: P n (x k ) = f(x k ) P n (x)

18 15 May :41 Antes de provar, vejamos quem é P n (x): P 1 (x) = f[x 0 ] + (x-x 0 )f[x 0,x 1 ] P 2 (x) = f[x 0 ] + (x-x 0 )f[x 0,x 1 ] + (x-x 0 )(x-x 1 ) f[x 0,x 1,x 2 ] P n (x) = P n-1 (x) + (x-x 0 )...(x-x n-1 ) f[x 0,x 1,x 2...x n ] P 1 (x)

19 15 May :41 Prova Provaremos por indução a) Provaremos que é válido para n=1 (dois pontos) b) Provaremos que se é válido pra n=k-1, será válido para n=k. a) Para n=1 (dois pontos), temos: P 1 (x 0 ) = f(x 0 ) + (x 0 -x 0 ) (f(x 1 )-f(x 0 ))/(x 1 -x 0 ) = f(x 0 ) P 1 (x 1 ) = f(x 0 ) + (x 1 -x 0 ) (f(x 1 )-f(x 0 ))/(x 1 -x 0 ) = f(x 1 )

20 15 May :41 Prova b) Suponha que seja válido para n=k-1, isto é: P k-1 (x i ) = f(x i ), i=1,...,k-1. Sabemos que: P k (x) = P k-1 (x) + (x-x 0 )...(x-x k-1 ) f[x 0,x 1,...,x k ] Vamos provar em duas etapas. b1) i < k, então: P k (x i ) = P k-1 (x i ) + (x i -x 0 )...(x i -x k-1 ) f[x 0,x 1,...,x k ] P k (x i ) = P k-1 (x i ) = f(x i ) o termo (x i -x i ) anula esta parte. hipótese da indução

21 15 May :41 Prova b2) i = k Retomemos a expressão de f P k (x k ) =0, para x= x k logo, f(x k ) = P(x k )

22 15 May :41 Exemplo Dados os pontos abaixo, calcular o polinômio interpolatório, usando a fórmula de Newton. Sabemos que: Precisamos calcular: f[x o ], f[x 0,x 1 ], f[x 0,x 1,x 2 ]

23 15 May :41 Exemplo (solução) Usando o esquema prático logo:

24 15 May :41 Erro de truncamento Mais uma vez, retomando a expressão da função f(x) em termos das diferenças divididas: P k (x k ) logo: f(x)-P n (x) = erro de truncamento =

25 15 May :41 Esquema prático Se não nos interessa calcular a forma geral do polinômio, mas queremos calculá-lo apenas em um ponto, podemos usar a estratégia de pôr em evidência os termos comuns para facilitar os cálculos: Exemplificando no caso P 3 :

26 15 May :41 Esquema prático

27 15 May :41 Esquema prático

28 15 May :41 Exemplo Calcular o valor aproximado de f(1), dados os pontos, f[x 0 ] = 15 f[x 0,x 1 ]= -7 f[x 0,x 1,x 2 ]=


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