Cálculo Numérico / Métodos Numéricos

Apresentação em tema: "Cálculo Numérico / Métodos Numéricos"— Transcrição da apresentação:

1 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton 8 May :02

2 Interpolação polinomial
15 May :41 Interpolação polinomial Interpolação de n+1 pontos através de um polinômio de grau n: (x0,y0), (x1,y1), (xn,yn) polinômio

3 Lagrange Através da definição de funções:
15 May :41 Lagrange Através da definição de funções: é possível obter o polinômio interpolatório sem resolver um sistema linear (fórmula de Lagrange).

4 Problema da fórmula de Lagrange
15 May :41 Problema da fórmula de Lagrange Imagine que se queira o polinômio para os pontos: Como vimos, obtemos o polinômio: P(x) = x2-6x+8 que interpola estes pontos. Porém, se adicionamos mais uma medida: Temos que calcular todo o novo polinômio desde o princípio, sem poder fazer uso da informação que já temos (para os três primeiros pontos).

5 15 May :41 Fórmula de Newton A fórmula interpolatória de Newton resolve este problema: Para calcular o novo polinômio (para n+1 pontos), usamos o polinômio que já temos (que interpola os n primeiros pontos) e adicionamos novos termos. Antes de aprender a fórmula interpolatória de Newton, vejamos uns conceitos mais básicos...

6 15 May :41 Diferenças divididas Definimos as diferenças divididas de uma função através de uma fórmula recursiva: Diferenças divididas de ordem 0: Diferenças divididas de ordem superior: diferença dividida de todos menos o primeiro diferença dividida de todos menos o último último menos o primeiro

7 Diferenças divididas Exemplo:
15 May :41 Diferenças divididas Exemplo: Tome a função f(x)=1/x e x0=1, x1=2, x2=4 e x3=5 e calcule f[x0,x1,x2,x3] f[x0] = f(x0)=1 f[x1] = f(x1)=1/2 f[x2] = f(x2)=1/4 f[x3] = f(x3)=1/5 f[x0,x1] = (f[x1]-f[x0])/(x1-x0) = -1/2 f[x1,x2] = (f[x2]-f[x1])/(x2-x1) = -1/8 f[x2,x3] = (f[x3]-f[x2])/(x3-x2) = -1/20

8 Diferenças divididas Exemplo:
15 May :41 Diferenças divididas Exemplo: Tome a função f(x)=1/x e x0=1, x1=2, x2=4 e x3=5 e calcule f[x0,x1,x2,x3] f[x0] = f(x0)=1 f[x1] = f(x1)=1/2 f[x2] = f(x2)=1/4 f[x3] = f(x3)=1/5 f[x0,x1] = -1/2 f[x1,x2] = -1/8 f[x2,x3] = -1/20 f[x0,x1,x2] = (f[x1,x2] - f[x0,x1])/(x2-x0) = 1/8 f[x1,x2,x3] = (f[x2,x3] - f[x1,x2])/(x3-x1) = 12/160

9 Diferenças divididas Exemplo:
15 May :41 Diferenças divididas Exemplo: Tome a função f(x)=1/x e x0=1, x1=2, x2=4 e x3=5 e calcule f[x0,x1,x2,x3] f[x0] = f(x0)=1 f[x1] = f(x1)=1/2 f[x2] = f(x2)=1/4 f[x3] = f(x3)=1/5 f[x0,x1] = -1/2 f[x1,x2] = -1/8 f[x2,x3] = -1/20 f[x0,x1,x2] = 1/8 f[x1,x2,x3] = 4/160 f[x0,x1,x2,x3,x4] = (f[x1,x2,x3]-f[x0,x1,x2])/(x3-x0) = -1/40

10 15 May :41 Esquema prático

11 Esquema prático (exemplo)
15 May :41 Esquema prático (exemplo) f(x)=1/x e x0=1, x1=2, x2=4 e x3=5. Calcule f[x0,x1,x2,x3] Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 x 1 1 -1/2 1/8 2 1/2 -1/8 -1/40 4 1/4 4/160 -1/20 5 1/5

12 Outra maneira de calcular
15 May :41 Outra maneira de calcular Teorema: Seja f(x) uma função contínua, (n+1) vezes diferenciável em [a,b]. Sejam x0, x1,... xn, (n+1) pontos distintos de [a,b].

13 15 May :41 Corolário I Note que pela nova fórmula, vemos que a ordem dos pontos não importa, logo: f[xo,x1, ..., xn] = f[xn, xn-1,... x1] = f[x2, x6, ...] = ... uma permutação qualquer Ou seja, diferenças divididas são funções simétricas.

14 15 May :41 Corolário II As diferenças divididas de ordem k de uma função satisfazem: Ou seja, podemos fazer o cálculo "eliminando" quaisquer dois pontos, e não apenas o primeiro e o último.

15 15 May :41 Fórmula de Newton Usando as idéias de diferenças divididas, definimos as funções abaixo: (x  x0) (x  x0,x1) ... (x  x0...xn) (calculadas usando o corolário 8.3)

16 Fórmula de Newton Das equações definidas, temos: um ponto (n=0)
15 May :41 Fórmula de Newton Das equações definidas, temos: um ponto (n=0) dois pontos (n=1)

17 15 May :41 Para n+1 pontos: Pn(x) = polinômio de interpolação sobre os pontos x0, x1... xn Isto é: Pn(xk) = f(xk)

18 Antes de provar, vejamos quem é Pn(x):
15 May :41 Antes de provar, vejamos quem é Pn(x): P1(x) = f[x0] + (x-x0)f[x0,x1] P2(x) = f[x0] + (x-x0)f[x0,x1] + (x-x0)(x-x1) f[x0,x1,x2] Pn(x) = Pn-1(x) + (x-x0)...(x-xn-1) f[x0,x1,x2...xn] P1(x)

19 Prova Provaremos por indução a) Para n=1 (dois pontos), temos:
15 May :41 Prova Provaremos por indução a) Provaremos que é válido para n=1 (dois pontos) b) Provaremos que se é válido pra n=k-1, será válido para n=k. a) Para n=1 (dois pontos), temos: P1(x0) = f(x0) + (x0-x0) (f(x1)-f(x0))/(x1-x0) = f(x0) P1(x1) = f(x0) + (x1-x0) (f(x1)-f(x0))/(x1-x0) = f(x1)

20 Prova b) Suponha que seja válido para n=k-1, isto é:
15 May :41 Prova b) Suponha que seja válido para n=k-1, isto é: Pk-1(xi) = f(xi), i=1,...,k-1. Sabemos que: Pk(x) = Pk-1(x) + (x-x0)...(x-xk-1) f[x0,x1,...,xk] Vamos provar em duas etapas. b1) i < k, então: Pk(xi) = Pk-1(xi) + (xi-x0)...(xi-xk-1) f[x0,x1,...,xk] Pk(xi) = Pk-1(xi) = f(xi) o termo (xi-xi) anula esta parte. hipótese da indução

21 Prova b2) i = k Retomemos a expressão de f Pk(xk) =0, para x= xk
15 May :41 Prova b2) i = k Retomemos a expressão de f Pk(xk) =0, para x= xk logo, f(xk) = P(xk)

22 15 May :41 Exemplo Dados os pontos abaixo, calcular o polinômio interpolatório, usando a fórmula de Newton. Sabemos que: Precisamos calcular: f[xo], f[x0,x1], f[x0,x1,x2]

23 Exemplo (solução) Usando o esquema prático 15 -7 -1 1 8 -3 -1 3 logo:
15 May :41 Exemplo (solução) Usando o esquema prático 15 -7 -1 1 8 -3 -1 3 logo:

24 15 May :41 Erro de truncamento Mais uma vez, retomando a expressão da função f(x) em termos das diferenças divididas: Pk(xk) logo: f(x)-Pn(x) = erro de truncamento =

25 15 May :41 Esquema prático Se não nos interessa calcular a forma geral do polinômio, mas queremos calculá-lo apenas em um ponto, podemos usar a estratégia de pôr em evidência os termos comuns para facilitar os cálculos: Exemplificando no caso P3:

26 15 May :41 Esquema prático

27 15 May :41 Esquema prático

28 Exemplo Calcular o valor aproximado de f(1), dados os pontos,
15 May :41 Exemplo Calcular o valor aproximado de f(1), dados os pontos, f[x0] = 15 f[x0,x1]= -7 f[x0,x1,x2]= 1 1 15 -7 1 -6 3 1 2