Regressão Linear (aula 14 – Parte 2).

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1 Regressão Linear (aula 14 – Parte 2)

2 Regressão Linear Interessados na relação entre duas variáveis, e também predizer o valor de uma a partir de outra. Exemplo, se sabemos a altura de um certo estudante, mas não o seu peso, qual seria um bom chute para o peso deste estudante? O coeficiente de correlação apenas indica o grau de associação como um único número.

3 O que é regressão Regressão Função
Função interessante a linha reta, cuja expressão matemática é: y = a + b x y = variável dependente x = variável independente a = constante = intercepto (ponto em que a reta corta o eixo y) b = constante = coeficiente de regressão

4 Sendo que o intercepto a pode ser calculado a partir de
a = y – b x O ponto determinado pela média das variáveis está contido na reta Quando se observa o coeficiente de regressão b e o sentido da reta: X aumenta e y aumenta = mesmo sentido de variação = correlação positiva X aumenta e y diminui = sentidos opostos de variação = correlação negativa

5 Reta // ao eixo dos x (b = 0) não há correlação.
Para que exista correlação b  0, ou seja, em alguma hora a reta deverá cortar o eixo dos x.

6 Exemplo Vamos considerar uma parte do problema que gerou o primeiro estudo de regressão,realizado por Galton (1885). Tabela: Altura de indivíduos (Y) e alturas médias de seus pais (X), medidas em centímetros. X Y 164 166 168 171 173 169 176 178

7 Gráfico ref. a tabela altura media dos pais e filhos

8 Gráfico ref. a tabela altura media dos pais e filhos

9 Estimativa dos parâmetros a e b
A idéia básica é encontrar a reta que passe mais próxima possível dos pontos observados. Reta de regressão ou equação de regressão.

10 Gráfico ref. a tabela altura media dos pais e filhos ç/ eq. reta

11 n= número de pares (x,y) observados (tamanho da amostra)
Sendo: ou n= número de pares (x,y) observados (tamanho da amostra) (xy) = somatório dos produtos x.y (primeiramente fazem-se os produtos x.y, relativos a todos os pares observados e, depois , efetua-se a soma dos resultados destes produtos x = soma dos valores observados da variável x; y = soma dos valores observados da variável y; X = soma dos quadrados dos valores de x (primeiro elevam-se os valores de x ao quadrado e, depois, efetua-se a soma). 2

12 Exemplo 2: Parte dos dados da tabela referente a altura media dos pais (x) e altura dos filhos (y)

13 Para traçar a reta no plano x,y, basta atribuir dois valores para x e calcular o valor de .
Lembrando: por dois pontos passa uma única reta.

14 Exemplo: Para cada valor de x observado temos o correspondente valor de y e o valor predito pelo modelo Por exemplo, para o par observado (x =176;y =173) y = 173 e o predito pela equação = 175,47 Ver o gráfico!!

15 Sendo y a média aritmética dos valores de y e sendo os valores preditos pela equação da regressão, vamos considerar os seguintes desvios: y – y = (desvio em relação à média dos valores de y e portanto, não leva em consideração a relação entre x e y). y = (desvio em relação aos valores preditos pela equação de regressão – são chamados resíduos). - y = é a diferença entre os dois desvios anteriores e corresponde a parcela do desvio total.

16 Sinterização os cálculos das somas de quadrado
Chamaremos de coeficiente de determinacao à seguinte razao:

17 Exemplo anterior R = 125/1770,70 OU 70%
Interpretação: Dentre os nove indivíduos estudados, as variações de suas alturas são explicadas, em parte, pela variação das alturas de seus pais (70% de explicação) e outra parte (1- R = 30%) devido a outros fatores. Para reg. Linear simples o R coincide com o quadrado do coeficiente de correlação de Pearson r. 2 2