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Escola Politécnica de Pernambuco Departamento de Ensino Básico Capítulo 09 Ajuste de Curvas, Regressão e Correlação Prof. Sérgio Mário Lins Galdino

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1 Escola Politécnica de Pernambuco Departamento de Ensino Básico Capítulo 09 Ajuste de Curvas, Regressão e Correlação Prof. Sérgio Mário Lins Galdino

2 Agenda Ajuste de curvas; Regressão; O método dos mínimos quadrados; A linha mínimos quadrados; A linha mínimos quadrados em termos da variância amostral e covariância ;

3 Agenda Desvio Padrão da Estimativa; O Coeficiente de Correlação Linear; Coeficiente de Correlação Generalizado; Correlação e Dependência;

4 Ajuste de curvas A determinação de equações de curvas que se ajustem a determinados conjuntos de dados observados é chamado de Ajustamento de Curvas.

5 Ajuste de curvas Pode-se fazer uma análise da seguinte forma: coleta-se os dados de duas variáveis. Por exemplo, x e y, a altura e peso de um grupo de pessoas,, respectivamente. traça-se um gráfico dos pontos (X 1,Y 1 ), (X 2,Y 2 )....(X n,Y n ) em um sistema de coordenadas retangulares. O conjunto resultante é conhecido como diagrama de dispersão. Com esse diagrama pode-se visualizar uma curva aproximativa de dados ( curva de ajuste).

6 Ajuste de curvas Relação linear entre variáveis Relação linear não linear

7 Ajuste de curvas Não existe relação

8 Regressão Um dos objetivos do ajustamento é estimar uma das variáveis (V. D.) em função da outra (V. I.). Esse processo é conhecido como regressão (y(x) versus x). A equação e a curva de regressão de x sobre y ocorre quando a variável x é estimado em função de y (x(y) versus y).

9 Método dos mínimos quadrados De todas curvas que se aproximam de determinados conjuntos de pontos, a curva que atende a propriedade : d 2 + d d n 2 = mínimo Obs: o d n corresponde a diferen ç a entre o valor e o valor ajustado pela curva

10 Método dos mínimos quadrados d n = desvio, erro ou resíduo C = melhor curva ajustadora

11 A linha de mínimos quadrados A reta de mínimos quadrados aproxima o conjunto de pontos (x i, y i ), tem a equação onde a e b são determinadas pela solução das equações normais para linha de mínimos quadrados

12 A linha de mínimos quadrados Os valores de a e b são

13 A linha de mínimos quadrados O valores b pode ser reescrito como: onde

14 A linha passando pelo centróide A reta de mínimos quadrados passa pelo ponto, chamado centróide (centro de gravidade dos dados). Ou a linha de regressão de x sobre y

15 Exemplo Altura do Pai (x) (polegadas) Altura do Filho (y) (polegadas)

16 Exemplo xyx2x2 xyy2y x = 800 y = 811 x 2 = xy = y 2 = a= e b= y = x

17 A linha mínimos quadrados em termos da variância amostral e covariância As variâncias e covariâncias amostrais de x e y são dadas por É definido o coeficiente de correlação amostral como: Então a equação da reta de regressão de mínimos quadrados de y sobre x:

18 Desvio Padrão da Estimativa A medida da dispersão em torno de uma curva de regressão é dado por: Como verificamos que a curva de mínimos quadrados é a que apresenta o menor desvio padrão de estimativa dentre as curvas de regressão.

19 Coeficiente de correlação linear O coeficiente pode ser definido como: : variação explicada ( os desvios tendem a um padrão definido pela reta de regressão de mínimos quadrados). : variação total

20 Coeficiente de correlação linear O r é a medida de quão bem a reta de regressão de mínimos quadrados se ajusta aos dados. Assim r 2 =1 é definido como correlação linear perfeita. Se r 2 =0 a variação total é toda não explicada. Observação: r estar entre 0 e 1.

21 Coeficiente de Correlação Generalizado O coeficiente pode ser definido como: : variação explicada : variação total Mede quão bem uma curva de regressão não-linear se ajusta aos dados = Coeficiente de Correlação Generalizado

22 Exemplo Encontre o coeficiente de determinação e o coeficiente de correlação linear do exemplo acima. Relembrando que o coeficiente de determinação é r 2 : O coeficiente de correlação é r:

23 Correlação e Dependência Sempre que duas variáveis x e y tem coeficiente de correlação diferente de 0, ela são dependentes ( sentido probabilístico). Nem sempre essa correlação representa uma interdependência causal direta. Exemplo 1 : altura e peso interdependência direta Exemplo 2: salário e criminalidade Interdependência indireta.


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