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RELAÇÕES. Temas a tratar: Relações de ordem parcial Relações de ordem total Conjuntos parcialmente ordenados e suas propriedades.

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Apresentação em tema: "RELAÇÕES. Temas a tratar: Relações de ordem parcial Relações de ordem total Conjuntos parcialmente ordenados e suas propriedades."— Transcrição da apresentação:

1 RELAÇÕES

2 Temas a tratar: Relações de ordem parcial Relações de ordem total Conjuntos parcialmente ordenados e suas propriedades

3 Definição 1: Seja A um conjunto e R uma relação binária sobre A: R diz-se reflexiva quando x A, xRx; R diz-se simétrica quando x,y A (xRy yRx); R diz-se anti-simétrica quando x,y A (xRy e yRx x=y); R diz-se transitiva quando x,y,z A (xRy e yRz xRz); R diz-se dicotómica quando x,y A, xRy ou yRx; R diz-se tricotómica quando x,y A, se tem um e um só dos seguintes casos: xRy ou yRx ou x=y.

4 Definição 2: Seja A um conjunto e R uma relação binária sobre A. R diz-se uma relação de ordem parcial quando é reflexiva, anti-simétrica e transitiva. Definição 3: Seja A um conjunto e R uma relação binária sobre A. R diz-se uma relação de ordem total se for transitiva e tricotómica.

5 Exercício 1: Prove que se for uma relação de ordem total num conjunto A, então a relação, definida em A por x y x y ou x=y, é uma relação de ordem parcial.

6 Definição 4: Quando R é uma relação de ordem parcial num conjunto A, dizemos que (A;R) é um conjunto parcialmente ordenado (abreviadamente, cpo).

7 Exemplos: Os seguintes pares são cpos: 1)(P(A); ) onde A é um conjunto e P(A) representa o conjunto das partes (ou subconjuntos) de A. 2)(IN;), ( Z ;), ( Q ;) e (IR;), onde é a ordem usual. 3)( C ;*) onde a relação * é definida, para quaisquer x,y,z,w IR, por (x yi) * (z wi) x z e y w.

8 Exercício 2: Prove que (IN; ) é um cpo, onde é a relação é divisor de em IN, isto é, para n,m IN tem-se n m m=kn, para algum k IN. Note-se no entanto que ( Z ; ), onde é a relação é divisor de em Z, ou seja, está definida para cada n, m Z por n m m=kn para algum k Z, não é um cpo. De facto, não é uma relação anti-simétrica pois 2 -2, -2 2 e, no entanto, 2 -2.

9 Notação: Habitualmente é usado o símbolo para representar uma ordem parcial num conjunto A. Dados x, y A, escreve-se: x y e diz-se que x é menor ou igual a y; x y se x y e x y e, diz-se que x é menor que y; x y para negar x y, e diz-se que x não é menor nem igual a y;

10 x y se y x, e diz-se que x é maior ou igual a y; x<

11 Definição 5: Se R é uma relação binária sobre A, a relação binária R -1 sobre A definida, para cada x,y A, por x R -1 y y R x é chamada a relação inversa de R. Se (A; ) é um cpo, então representa a relação inversa (também chamada a relação dual) de e (A; ) é um cpo, chamado o cpo dual de (A; ).

12 Definição 6: Seja (A; ) um cpo e seja X um subconjunto de A. Por restrição da relação a X obtém-se uma relação de ordem parcial em X (relação induzida pela relação em A). Assim, (X; ) é um cpo para a relação induzida pela relação de (A; ). Definição 7: Seja (A; ) um cpo. Diz-se que (A; ) é um conjunto totalmente ordenado ou uma cadeia, se quaisquer dois elementos estiverem relacionados, isto é, dados x,y A, tem-se x y ou y x. Neste caso, os elementos x e y dizem-se comparáveis.

13 Exemplos: 1.Os cpos (IN; ), ( Z ; ), ( Q ; ) e (IR; ) com a operação usual, são cadeias. 2.Dado um conjunto A, o cpo (P(A); ) não é uma cadeia. Por exemplo, se considerarmos A={1,2,...,12}, os dois elementos {1} e {2} são incomparáveis, uma vez que {1} {2} e {2} {1}.

14 Um cpo finito (A; ) pode ser representado graficamente por um diagrama, chamado diagrama de Hasse. Num tal diagrama, um ponto ou pequeno círculo que represente um certo elemento x deve ser desenhado abaixo de qualquer ponto que represente um elemento y tal que x y. Se x e y são elementos tais que x y, então desenha-se um segmento de recta unindo o ponto que representa x ao ponto que representa y.

15 Por exemplo, considere-se o cpo (P(A); ), com A IN finito. Apresentam-se a seguir, diagramas de Hasse para alguns cpos deste tipo: (i) (P({1}); ) {1}

16 (ii) (P({1,2}); ) {1,2} {1} {2} Observação: Tem-se que {1} {2} e {2} {1}, donde {1} {2} e portanto não existe nenhum segmento de recta a ligar os dois elementos.

17 (iii) (P({1,2,3}); ) {1,2,3} {1,2} {1,3} {2,3} {1} {2} {3}

18 Exercício 3: No conjunto A={1,2,3,4,...,12} a relação de divisor é uma relação de ordem parcial. Recorda-se que, para x,y A, dizer que x é divisor de y ou "x divide y" ou "x y" significa que k A, tal que, y = x.k Construa o diagrama de Hasse para o cpo (A; ).

19 Definição 8: Sejam (A; ) um cpo e X A. Diz-se que: m X é elemento maximal em X se x X (m x m=x); n X é elemento minimal em X se x X (x n x=n); m X é elemento máximo de X se x X, x m; n X é elemento mínimo de X se x X, n x; m A é majorante de X se x X, x m; n A é minorante de X se x X, n x;

20 s A é supremo de X se: - x X, x s; - x X, x m s m; t A é ínfimo de X se: - x X, t x; - x X, n x n t.

21 Notação: Ma X – conjunto dos majorantes de X; Mi X – conjunto dos minorantes de X; X ou sup X – supremo de X; X ou inf X – ínfimo de X; max X – elemento máximo de X; min X – elemento mínimo de X. Observação: A anti-simetria da relação garante que, no caso de existir elemento máximo (elemento mínimo, supremo, ínfimo) de X, este é único.

22 Exemplo: Consideremos o cpo representado pelo diagrama: gih j f ecd b a

23 Se X={b,c,d,e}, tem-se: Mi X = {a,b} Ma X = {g,i,h,f} Sup X = f Inf X = b Min X = b Max X - não existe porque, f X e f é o menor dos majorantes. Maximais em X = {e,c,d} Minimais em X = {b}

24 Observações: Um subconjunto dum cpo pode admitir mais do que um elemento maximal (resp. minimal); Um subconjunto dum cpo pode não admitir elementos maximais (resp. minimais). Por exemplo, Z com a relação usual ; Se existir elemento máximo (resp. mínimo) de um subconjunto X dum cpo (A; ), ele é elemento maximal em X (resp. minimal)

25 Exemplo: No diagrama de Hasse seguinte está representado um cpo que tem 3 elementos maximais mas não tem elemento máximo. a bc de

26 Exercício 4: Considere-se o cpo (A; ), com A = {1,2,..., 12}. Seja X={1,2,3,4,6,8,12} tal que X A. Represente por um diagrama de Hasse o cpo (A; ). Indique, caso existam: Ma X, Mi X, Sup X, Inf X, Min X, Max X, elementos maximais e minimais em X.


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