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PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS. progressão geométrica razão r Uma progressão geométrica é uma sucessão em que cada termo se obtém multiplicando o anterior por.

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Apresentação em tema: "PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS. progressão geométrica razão r Uma progressão geométrica é uma sucessão em que cada termo se obtém multiplicando o anterior por."— Transcrição da apresentação:

1 PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

2 progressão geométrica razão r Uma progressão geométrica é uma sucessão em que cada termo se obtém multiplicando o anterior por um número fixo chamado razão, que se representa pela letra r. Assim, se (a n ) é uma progressão geométrica, verifica-se Aplicação: 1)A sequência de termos: 5, 15, 45, 135, 405,... é uma progressão geométrica? 2) E a sucessão de termo geral u n = 2 n ? Para nos assegurarmos que uma sucessão é uma progressão geométrica temos que comprovar que o quociente entre cada termo e o anterior é sempre o mesmo. Esta comprovação elementar dá-nos também o valor da razão da progressão.

3 Termo geral de uma progressão geométrica A expressão do termo geral de uma progressão geométrica (a n ) encontra-se observando que: a 2 = a 1 · r a 3 = a 2 · r = (a 1 · r) · r = a 1 · r 2 a 4 = a 3 · r = (a 1 · r 2 ) · r = a 1 · r 3 a 5 = a 4 · r = (a 1 · r 3 ) · r = a 1 · r 4 Note-se que, em todos os casos, cada termo é o produto de duas quantidades: A primeira é sempre a 1 A segunda é uma potência de base r e exponente um certo número, que se obtém subtraindo uma unidade ao índice. A expressão do termo geral é: Pode-se também facilmente provar que:. Expressão que permite obter a expressão do termo geral a partir de qualquer termo da progressão (não apenas a partir do primeiro). PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

4 Aplicação: Escreve a expressão do termo geral das progressões geométricas em que: 1) u 1 = 10 e u n+1 = 4u n 2) u 1 = 36 e u 3 = 4 3) n v n O ) PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

5 Se a razão de uma progressão geométrica é maior que 1 e u 1 > 0, a progressão é: estritamente crescente e… não limitada. E se u 1 < 0? PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Comportamento de uma progressão geométrica n anan n bnbn O O

6 Se a razão de uma progressão geométrica está compreendida entre 0 e 1 e u 1 > 0, a progressão é: estritamente decrescente e… limitada. E se u 1 < 0? PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS n cncn O n dndn O

7 Se a razão de uma progressão geométrica é igual a 1, a progressão é: constante limitada PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Se a razão de uma progressão geométrica é igual a -1, a progressão é: não monótona limitada n fnfn O n gngn O

8 Se a razão de uma progressão geométrica é maior que -1 e menor que 0, a progressão é: não monótona e… limitada. PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Se a razão de uma progressão geométrica é menor que -1, a progressão é: não monótona e… não limitada. n hnhn O n lnln O

9 01 u 1 > 0 - Crescente Não limitada progressão constante Não monótona PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Progressão geométrica (u n ) Razão: r 1º termo: u 1 u 1 < 0 - Decrescente Não limitada u 1 > 0 - Decrescente Limitada Limitada Não limitada razão - r - + Em resumo: comportamento de uma progressão geométrica u 1 < 0 - Crescente Limitada

10 Aplicações: 1.Dá exemplo de uma progressão geométrica (u n ) que satisfaça a condição: a)tenha primeiro termo positivo e seja decrescente; b)tenha primeiro termo positivo e seja não monótona; c)seja estritamente crescente e tenha razão positiva menor que 1; d)tenha o primeiro termo negativo e seja estritamente decrescente. 2.Considera a sucessão (v n ) de termo geral: v n = 5 x 2 1-n a)Mostra que é uma progressão geométrica. b)(v n ) é monótona? Justifica. c)(v n ) é limitada? Justifica. PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

11 A LENDA DO JOGO DE XADREZ Diz a lenda que um antigo Xá da Pérsia ficou tão impressionado com o jogo de xadrez, que ordenou ao seu inventor que pedisse a recompensa que desejasse. O inventor (provavelmente um matemático experiente...) pediu um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro de xadrez, dois grãos pela segunda casa, quatro pela terceira, oito pela quarta, e assim sucessivamente, até se percorrerem todas as casas do tabuleiro. Conta-se que o imperador ficou estupefacto, tendo até considerado, que era afrontoso o pedido do inventor por se tratar de coisa tão insignificante! Contudo, o inventor manteve o pedido e insistiu que lhe bastava vê-lo concretizado... Quantos grãos de trigo pediu, afinal, o inventor do jogo de xadrez? Soma de n termos consecutivos de uma progressão geométrica PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

12 Resolução: Ora, Donde: grãos de trigo!!! PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

13 Aplicação: Aplicação: Se uma progressão geométrica tem o termo geral, calcula a soma dos seus primeiros 21 termos. A soma dos n primeiros termos consecutivos de uma progressão geométrica é dada por Sendo n o número de termos considerados e u 1 o primeiro termo e r a razão. PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS com

14 Zenão de Eleia, filósofo sofista que viveu no séc. V a.C., formulou alguns paradoxos ( * ) com os quais pretendia contestar as concepções da Escola Pitagórica segundo as quais, por exemplo, o tempo era uma soma de instantes e o movimento uma soma de deslocamentos. Paradoxo de Aquiles e da tartaruga. Um paradoxo célebre, devido a Zenão, é o chamado Paradoxo de Aquiles e da tartaruga. PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS ( * ) Paradoxal é tanto aquilo que encerra uma contradição como o que vai contra a opinião comum. É o inverosímil, o absurdo, mas também o estranho. In Epsilones Soma de todos os termos de uma progressão geométrica

15 Paradoxo de Aquiles e da tartaruga Aquiles corre para apanhar uma tartaruga mas nunca chegará a alcançá-la porque, quando atingir o lugar onde estava a tartaruga, já ela lá não estará porque entretanto se deslocou; e esta situação repete-se indeterminadamente… Este raciocínio de Zenão, parecendo intocável, conduz a uma conclusão que a realidade mostra ser falsa. PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

16 Consideremos o exemplo : Suponhamos que Aquiles se desloca 10 vezes mais depressa que a tartaruga e que esta partiu com um avanço inicial de 100 metros. - Justifica que estamos em presença de duas progressões geométricas (a de Aquiles e a da tartaruga). - O 1º termo de cada uma das progressões é: … e … - A razão de cada uma das progressões é: … e …. - Como a determinar distância percorrida por Aquiles e pela tartaruga? PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Teremos que ter em atenção que : A soma S, de todos os termos de uma progressão geométrica (u n ) em que o primeiro termo é u 1 e a razão é r, é: Se, (S n ) é convergente e diz-se que é a soma de todos os termos.

17 A distância (em metros) a percorrer por Aquiles é, então: * * A noção rigorosa de limite de uma sucessão será estudada no tema seguinte. Por outro lado, a tartaruga percorre (em metros):

18 Como é igual conclui-se que Aquiles alcança a tartaruga depois de ter percorrido Só o cálculo de limites e a teoria de conjuntos permitiu esclarecer (23 séculos mais tarde!...) os paradoxos de Zenão, cuja solução exige o cálculo da soma de todos os termos de uma progressão geométrica. O argumento de Zenão assume que o espaço é contínuo e, portanto, infinitamente divisível. Contudo, não faz o mesmo com o tempo, o que conduz ao paradoxo. In Epsilones (Ver anexo)Epsilones

19 1.A partir de um quadrado com 16 cm 2 de área foi gerada uma sequência de figuras em que os quatro primeiros elementos estão a seguir representados. A sequência dos valores das áreas das partes sombreadas são os termos da sucessão (a n ) a)Mostra que b)Verifica que (a n ) é uma progressão geométrica e indique a sua razão. c)Calcula a soma das áreas das partes sombreadas do 3º ao 10º elementos da sequência. Apresenta o resultado arredondado às centésimas. Aplicações PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

20 2.Sabe-se que a população de uma determinada cidade, com 50 mil habitantes, aumenta a uma taxa de 2% ao ano. Admitindo que se mantém esta taxa de crescimento: a)Justifica que a população desta cidade, daqui a n anos, é dada, em milhares de habitantes, por P n = 50 x (1,02) n b)Utiliza a calculadora para determinar quantos anos são necessários para que a população desta cidade duplique. Num breve texto explique como procedeu. PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

21 3.As reservas naturais de petróleo em determinado país no começo de 1980 eram de 12 mil milhões (12×10 9 ) de toneladas. A extração nesse ano foi de 120 milhões (1,2×10 8 ) de toneladas. a)Se o ritmo de extração se mantivesse todos os anos igual ao de 1980, em que ano as reservas ficariam esgotadas? b)Supõe que todos os anos a extração de petróleo é reduzida em 2% em relação ao ano anterior, a começar em b1)Escreve o termo geral da sucessão que dá a quantidade de petróleo, em toneladas, extraída em cada ano, desde b2)Com esta redução é possível consumir indefinidamente? Justifica. PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

22 Curva de Von Koch (ou curva floco de neve) PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Proposta de trabalho Proposta de trabalho: Depois de estudarem a curva de Von Koch, cometem a afirmação: Apesar de a curva de Von Koch ter perímetro infinito, a área por ela limitada é finita.

23 Anexo Traduzido de Paradoja de la dicotomía de Epsilones – autor: Alberto Rodríguez Santos, uma página que recomendo vivamente, em

24 Este argumento de Zenão assume que o espaço é contínuo e, portanto, infinitamente divisível. Contudo, não faz o mesmo com o tempo, o que conduz ao paradoxo. Vamos primeiro ver o que faz com o espaço Vamos primeiro ver o que faz com o espaço Suposição: o espaço é infinitamente divisível Embora à primeira vista possa parecer surpreendente, podemos adicionar quantidades infinitas e o resultado ser finito. Um exemplo simples é o das progressões geométricas, que são aquelas sequências em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma quantidade constante chamada razão. Se esta razão é menor do que 1 pode ser facilmente mostrado que a soma infinita de termos da sequência é obtida pela expressão S = a 1 /(1 - r), em que a 1 é o primeiro dos termos.

25 De facto: aplicando a expressão anterior para a soma, temos: A situação levantada por Zenão é essencialmente a mesma: suponhamos que a distância a percorrer é L. Então, os intervalos a percorrer pelo atleta serão L/2, L/4, L/8..., que são os termos de uma progressão geométrica de razão 1/2, cuja soma é a seguinte: Isto é, não há qualquer problema em subdividir o espaço infinitamente. Uma progressão particularmente intuitiva é 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32... Parece claro que se tomarmos a primeira metade da unidade e, em seguida, metade do que resta, e então metade do que resta, e assim até "ao infinito", acabamos tendo toda a unidade: AB 1/21/41/8 1/16 1/32

26 E o tempo? Se a velocidade do atleta é v (que, por comodidade, iremos considerar constante), o tempo que leva a percorrer o primeiro intervalo será L/2v, o segundo L/4v, e assim por diante. Zenão neste ponto considera que o corredor nunca poderá atingir a meta porque percorrer um número infinito intervalos levaria um tempo infinito. Mas está equivocado: se somarmos todos os tempos, tem-se: que é uma quantidade tempo finita. Conclusão A não ser que alguma razão nos impeça, se aceitarmos a continuidade do espaço, devemos aceitar a do tempo, o que nos autoriza a percorrer um número infinito de intervalos espaciais num espaço de tempo finito. Deve notar-se que os cálculos anteriores não demostram que o movimento seja possível, mas que o argumento de Zenão não é correto.

27 O mundo físico Até agora temos falado em termos puramente matemáticos. Mas o que diz a Física? Diz que ainda que não conheçamos a microestrutura detalhada do espaço-tempo sabemos que não pode ser cortado ilimitadamente. Para observar um detalhe é necessário um comprimento de onda menor do que o próprio detalhe. Para que o comprimento de onda seja menor deve aumentar-se a energia, mas isso só pode ser feito até um certo limite, pois alcançado este limite, a concentração de energia produziria um buraco negro. O comprimento em que isto acontece, o mais baixo possível, é conhecido como constante de Plank. O tempo de Plank é o tempo que a luz leva para atravessar essa distância. Uma vez que nada viaja mais rápido do que a luz, este é o tempo mínimo possível. Abaixo desta distância e deste tempo nada pode ser observado e a realidade deixa de fazer sentido.

28 Se isto é verdade (não nos esqueçamos que estamos a falar de física e, portanto, de teorias), estaríamos num espaço-tempo discreto e o paradoxo de Zenão desvanecer-se -ia automaticamente uma vez que, como vimos, o argumento de Zenão parte da suposição de um espaço infinitamente divisível. Uma variante Antes de chegar ao ponto médio de A e B, isto é, I1, o corredor deve chegar ao ponto médio de A e I1, isto é, I2. E antes de chegar a I2 deveria atingir o ponto médio de A e I2, isto é, I3. Repetindo o processo indefinidamente mergulharíamos o corredor numa estranha imobilidade, pois antes de alcançar qualquer ponto do percurso deveria ter passado por um número infinito de outros pontos. In Epsilones

29 Maria José Vaz da Costa Bibliografia: Novo Espaço Matemática A -11º ano Autores: Belmiro Costa Ermelinda Rodrigues Infinito 11 Matemática A -11º ano Autores: Ana Maria Brito Jorge| Conceição Barroso Alves Cristina Cruchinho | Gabriela Fonseca | Judite Barbedo Manuela Simões Epsilones: autor: Alberto Rodríguez Santos| Auguries of Innocence To see a world in a grain of sand, And a heaven in a wild flower, Hold infinity in the palm of your hand, And eternity in an hour. [...] William Blake, Auguries of Innocence. Auguries of Innocence To see a world in a grain of sand, And a heaven in a wild flower, Hold infinity in the palm of your hand, And eternity in an hour. [...] William Blake, Auguries of Innocence.


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