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Teoria de Jogos e Leilões David Henriques 3º ano LMAC, IST.

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Apresentação em tema: "Teoria de Jogos e Leilões David Henriques 3º ano LMAC, IST."— Transcrição da apresentação:

1 Teoria de Jogos e Leilões David Henriques 3º ano LMAC, IST

2 Jogos Várias opções (jogadas possíveis) para cada jogador Independência e simultaneidade das jogadas Pagamento associado a um tuplo de jogadas (payoff) Objectivo de maximizar ganho próprio

3 Estratégias e Vectores de Estratégia Entradas entre 0 e 1 Vector de Probabilidade: Probabilidade de escolha de cada jogada Soma de todas as entradas igual a 1 Espaço compacto

4 Notação Matricial Payoffs para o jogador Payoffs para a jogadora Jogadora joga nas colunas Jogador joga nas linhas vai ao futebol vai à ópera vai ao futebol vai à ópera vai ao futebol vai à opera vai ao futebol vai à ópera (4,1)(0,0) (1,4)

5 Valor Esperado Valor esperado: Com notação matricial: Jogadas independentes...

6 Equilíbrio de Nash Melhor Resposta (a uma estratégia q*): Uma estratégia p* para o jogador 1 diz-se melhor resposta a q* (estratégia para o jogador 2) sse para toda a outra estratégia p possível para jogador 1 se tem Equilíbrio de Nash: Um par de estratégias p*,q* (uma para cada jogador) diz- se um equilíbrio de Nash sse são melhores respostas mútuas, i.e: e

7 Teorema de Nash (1951) Todo o Jogo com um número finito de estratégias puras tem pelo menos um equilíbrio de Nash Teorema do Ponto Fixo de Brouwer: Uma função contínua definida de um espaço compacto e convexo em si mesmo tem necessariamente um ponto fixo.

8 Leilões Leilão Inglês: O jogador que licita mais alto recebe o lote e paga o preço que o segundo jogador com licitação mais alta ofereceu. Incrementos finitos Leilão de segundo pagamento: O jogador que licita mais alto recebe o lote e paga o preço que ofereceu. Leilão Holandês: Decréscimos finitos O primeiro jogador a licitar recebe o lote e paga o preço que ofereceu.

9 Assumpções Cada jogador i valoriza o lote de forma publica em v i As licitações são secretas, independentes e simultâneas Cada jogador faz apenas uma licitação b i Sob estas condições, os 3 leilões anteriores são o mesmo jogo! (embora com payoffs diferentes)

10 Payoffs

11 Equilíbrios em Leilões V 1 = v 2 V 1 > v 2 +2 V 1 = v 2 +2 V 1 = v 2 +1 Onde as entradas não nulas correspondem a licitar v 1 -2 e v 1 -1 Onde as entradas não nulas corresp. a licitar v 2 e v 2 +1 Onde y n corresponde a licitar v 2 -n e Onde as entradas não nulas corresp. a licitar v 2 -1 e v 2 Onde as entradas não nulas corresp. a licitar v 2 e v 2 +1

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