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INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL ** Programação Linear – Parte 2b ** Profa. Vitória Pureza 2º Semestre.

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1 INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL ** Programação Linear – Parte 2b ** Profa. Vitória Pureza 2º Semestre

2 Última Aula Construção de modelos de programação linear Hoje verificaremos a modelagem dos exercícios pendentes da lista e utilizaremos uma linguagem de programação matemática para resolvê-los. Nas aulas seguintes veremos a fundo o método de resolução que esta linguagem utiliza

3 Roteiro Construção passo a passo de modelos de Programação Linear Uso da linguagem de programação LINDO para resolução dos modelos

4 Passos para Modelagem de Programação Matemática Defina o objetivo do problema. Colete os dados associados Defina os fatores que afetam o alcance do objetivo do problema. Colete os dados associados Elabore uma representação informal do problema Elabore um modelo de programação matemática do problema

5 Um Problema de Transporte Powerco tem 3 usinas de energia elétrica que suprem a necessidade de 4 cidades. Cada usina pode suprir a seguinte quantidade de milhões de kilowatts-hora de eletricidade: U1 = 35; U2 = 50; U3 = 40. As demandas de pico nas 4 cidades ocorrem na mesma hora e são (em milhões de KWh): C1 = 45; C2 = 20; C3 = 30; C4 = 30. Os custos de se enviar 1 milhão de kwh de eletricidade de uma usina para uma cidade depende da distância que a eletricidade deve percorrer (tabela a seguir). Formule um PL para minimizar o custo de atender pelo menos a demanda de pico das cidades. CUSTO (x10 6 KWh)CIDADE USINAC1C2C3C4 U U U

6 Objetivo do Problema Minimizar custo total de suprimento da demanda de pico das cidades CUSTO (x10 6 KWh)CIDADE USINAC1C2C3C4 U U U

7 Fatores que Afetam o Alcance do Objetivo Limitações de capacidade produtiva das usinas Demanda mínima das cidades USINA PRODUÇÃO MÁXIMA (x10 6 KWh ) U135 U250 U340 CIDADEDEMANDA MÁXIMA MENSAL C145 C220 C330 C430

8 Representação Informal do Problema Deseja-se Minimizar custo total de suprimento da demanda de pico das cidades, sujeito às seguintes restrições: 1.a quantidade de energia elétrica enviada pelas usinas não pode exceder a produção horária das usinas 2.a quantidade de energia elétrica recebida pelas cidades não pode ser inferior às suas demandas de pico

9 Formulação do Modelo de Programação Matemática x i j = 10 6 KWh produzidos na usina i e enviados à cidade j b ) Função Objetivo (FO) Min 8x x x x 14 (custo de transporte da usina 1) + 9x x x x 24 (custo de transporte da usina 2) + 14x x x x 34 (custo de transporte da usina 3) a) Variáveis de Decisão O custo total de transporte é determinado pela quantidade de eletricidade enviada de cada usina p/ cada cidade

10 Formulação do Modelo de Programação Matemática c) Restrições 1.A quantidade de energia elétrica enviada das usinas não pode exceder suas produções horárias Restrições de suprimento x 11 + x 12 + x 13 + x 14 35(suprimento de U1) x 21 + x 22 + x 23 + x 24 50(suprimento de U2) x 31 + x 32 + x 33 + x 34 40(suprimento de U3) 2.A quantidade de energia elétrica recebida pelas cidades não pode ser inferior a suas demandas de pico Restrições de demanda x 11 + x 21 + x (demanda de C1) x 12 + x 22 + x (demanda de C2) x 13 + x 23 + x (demanda de C3) x 14 + x 24 + x (demanda de C4)

11 Formulação do Modelo de Programação Matemática x ij 0 (i=1..3, j=1..4) (10 6 KWh ) d) Restrições de sinal

12 Modelo de Programação Linear Min 8x 11 +6x x 13 +9x 14 +9x x x 23 +7x x 31 +9x x 33 +5x 34 sujeito a: x 11 + x 12 + x 13 + x 14 35(restrições de suprimento) x 21 + x 22 + x 23 + x x 31 + x 32 + x 33 + x x 11 + x 21 + x (restrições de demanda) x 12 + x 22 + x x 13 + x 23 + x x 14 + x 24 + x x ij 0 (i=1,2,3; j=1,2,3,4) (restrições de sinal)

13 Representação Gráfica U1 U2 U3 C1 C2 C3 C4 X 11 X 12

14 Um Problema de Planejamento da Produção Uma companhia possui 2 fábricas, A e B. Cada fábrica faz 2 produtos, padrão e deluxe. Uma unidade de padrão resulta em lucro de $10 e uma unidade de deluxe em um lucro de $15. Cada fábrica utiliza 2 processos (lixamento e polimento) para produzir esses produtos. A fábrica A tem uma capacidade semanal de lixamento de 80 horas e de polimento de 60 horas. Para a fábrica B, essas capacidades são 60 e 75 horas semanais. Os tempos de lixamento e polimento em horas para uma unidade de cada produto em cada fábrica são dados na Tabela 2. Cada unidade de produto usa 4 kgs de matéria-prima e dos 120 kgs disponíveis, 75 kgs foram alocados à fábrica A e 45 kgs à fábrica B. Formule um PL para cada fábrica que maximize o lucro.

15 Objetivo do Problema Maximizar o lucro com a venda dos produtos padrão e deluxe PRODUTO LUCRO ($) Padrão15 Deluxe20

16 Fatores que Afetam o Alcance do Objetivo Limitações de capacidade produtiva das fábricas PROCESSO FÁBRICA AFÁBRICA B PadrãoDeluxePadrãoDeluxe LIXAMENTO4253 POLIMENTO2556 MATÉRIA PRIMA4444 QUANTIDADE MÁXIMA DO RECURSO LIXAMENTOPOLIMENTO MATÉRIA PRIMA FÁBRICA A FÁBRICA B607545

17 Representação Informal do Problema Deseja-se (para cada uma das fábricas!) Maximizar o lucro com a venda dos produtos padrão e deluxe, sujeito às seguintes restrições: 1.as horas semanais de lixamento para fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal 2.as horas semanais de polimento para a fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal 3.a quantidade de matéria-prima para fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal

18 Formulação do Modelo de Programação Matemática (para a Fábrica A) a) Variáveis de Decisão O lucro é determinado pela quantidade de produto padrão e deluxe produzidos na fábrica x 1 = quantidade de produtos padrão produzidos na fábrica A /semana x 2 = quantidade de produtos deluxe produzidos na fábrica A /semana b) Função Objetivo (FO) Max { 10x x 2 } ($/semana) (para a fábrica A)

19 Formulação do Modelo de Programação Matemática c) Restrições 1.As horas semanais de lixamento para fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal 4x 1 + 2x 2 80 (hrs/semana) 2.As horas semanais de polimento para a fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal 2x 1 + 5x 2 60(hrs/semana) 3.A quantidade de matéria-prima para fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal 4x 1 + 4x 2 75 (kgs/semana) d) Restrições de sinal x i 0 (i=1..2) (unidades de produto/semana)

20 Modelo da Fábrica A Max 15x x 2 (lucro da fábrica) sujeito a: 4x 1 + 2x 2 80 (lixamento) 2x 1 + 5x 2 60 (polimento) 4x 1 + 4x 2 75 (matéria-prima) x 1 0 (sinal) x 2 0 Modelo da Fábrica B Max 15x x 4 (lucro da fábrica) sujeito a: 5x 3 + 3x 4 60 (lixamento) 5x 3 + 6x 4 75 (polimento) 4x 3 + 4x 4 45 (matéria-prima) x 3 0 (sinal) x 4 0

21 Um Problema da Dieta Minha dieta requer que toda a comida que eu coma venha dos 4 grupos alimentares básicos (chocolate, sorvete, refrigerante e torta). No momento, os 4 alimentos seguintes estão disponíveis para consumo: brownies, sorvete de chocolate, coca-cola e torta de abacaxi. Cada brownie custa 0,50, cada bola de sorvete de chocolate custa 0,20, cada garrafa de coca-cola custa 0,30 e cada pedaço de torta de abacaxi custa 0,80. A cada dia, preciso ingerir pelo menos 500 calorias, 6 onças de chocolate, 10 onças de açúcar e 8 onças de gordura. O conteúdo nutricional por unidade de cada alimento é mostrado abaixo. Formule um PL que possa ser usado para satisfazer meus requerimentos nutricionais diários a um custo mínimo. ALIMENTOCALORIASCHOCOLATE (on)AÇÚCAR (on)GORDURA (on) BROWNIE BOLA DE SORVETE DE CHOCOLATE GARRAFA DE COCA COLA PEDAÇO DE TORTA DE ABACAXI500045

22 Objetivo do Problema Minimizar o custo com a compra dos alimentos ALIMENTO CUSTO ($/UNIDADE) BROWNIE0,50 BOLA DE SORVETE DE CHOCOLATE0,20 GARRAFA DE COCA COLA0,30 PEDAÇO DE TORTA DE ABACAXI0,80

23 Fatores que Afetam o Alcance do Objetivo Requerimentos nutricionais diários NUTRIENTE REQUERIMENTO DIÁRIO CALORIAS500 CHOCOLATE (on)6 AÇÚCAR (on)10 GORDURA (on)8

24 Representação Informal do Problema Deseja-se Minimizar o custo com a compra dos alimentos de minha dieta, sujeito às seguintes restrições: 1.a quantidade de calorias ingeridas diariamente não podem ser inferiores ao requerimento diário 2.a quantidade de chocolate ingerido diariamente não pode ser inferior ao requerimento diário 3.a quantidade de açúcar ingerido diariamente não pode ser inferior ao requerimento diário 4.a quantidade de gordura ingerida diariamente não pode ser inferior ao requerimento diário

25 Formulação do Modelo de Programação Matemática a) Variáveis de Decisão O custo total de minha dieta é determinado pela quantidade de alimentos de cada tipo comprados. x 1 = quantidade de brownies comprados /dia x 2 = bolas de sorvete de chocolate compradas /dia x 3 = garrafas de coca-cola compradas /dia x 4 = pedaços de torta de abacaxi compradas /dia b) Função Objetivo (FO) Min 0,50x 1 + 0,20x 2 + 0,30x 3 + 0,80x 4 ($/dia)

26 Formulação do Modelo de Programação Matemática c) Restrições 1.A quantidade de calorias ingeridas diariamente não podem ser inferiores ao requerimento diário 400x x x x 4 500(cal/dia) 2.A quantidade de chocolate ingerida diariamente não pode ser inferior ao requerimento diário 3x 1 + 2x 2 6(on/dia) 3.A quantidade de açúcar ingerida diariamente não pode ser inferior ao requerimento diário 2x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 4x 4 10(on/dia) 4.A quantidade de gordura ingerida diariamente não pode ser inferior ao seu requerimento diário 2x 1 + 4x 2 + x 3 + 5x 4 8(on/dia)

27 Formulação do Modelo de Programação Matemática d) Restrições de sinal x i 0 (i=1..4) (unidades de alimento/dia)

28 Modelo de Programação Linear Min 0,50x 1 + 0,20x 2 + 0,30x 3 + 0,80x 4 sujeito a: 400x x x x 4 500(requerimento de calorias) 3x 1 + 2x 2 6 (requerimento de chocolate) 2x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 4x 4 10 (requerimento de açúcar) 2x 1 + 4x 2 + x 3 + 5x 4 8 (requerimento de gordura) x i 0 (i=1..4) (restrições de sinal)


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