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ME623 Planejamento e Pesquisa. Experimentos com um Único Fator (Completamente Aleatorizados) 2.

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Apresentação em tema: "ME623 Planejamento e Pesquisa. Experimentos com um Único Fator (Completamente Aleatorizados) 2."— Transcrição da apresentação:

1 ME623 Planejamento e Pesquisa

2 Experimentos com um Único Fator (Completamente Aleatorizados) 2

3 Experimentos com um Único Fator One-Way ANOVA ANOVA = Analysis of Variance Qual a relação de uma ANOVA com o Teste t se temos apenas um fator com 2 níveis? 3

4 Experimentos com um Único Fator One-Way ANOVA ANOVA = Analysis of Variance Qual a relação de uma ANOVA com o Teste t se temos apenas um fator com 2 níveis? Em ANOVA geralmente temos o fator A com a tratamentos(níveis) 4

5 Experimentos com um Único Fator One-Way ANOVA ANOVA = Analysis of Variance Qual a relação de uma ANOVA com o Teste t se temos apenas um fator com 2 níveis? Em ANOVA geralmente temos o fator A com a tratamentos(níveis) Qual é então a motivação para ANOVA? 5

6 Teste t da aula anterior > y1 <- c(1.85, 2.40,-1.21, 0.35, 3.52, 4.04, 4.96, 0.15, -0.59, 2.57) > y2 <- c(-1.62, -0.75, 1.70, 2.12, 3.98, -4.87, -2.34, 3.02, -0.08, ) > t.test(y1, y2, var.equal=TRUE) ANOVA: > grupo <- factor(rep(1:2, each=10), labels=c(Supl", Placebo")) fit <- aov(c(y1,y2) ~ grupo) 6

7 Vamos começar com um exemplo... Uma engenheira quer investigar a resistência de uma nova fibra sintética usada para fazer camisetas. Ela sabe que a porcentagem de algodão na composição da fibra afeta a resistência. Será quer aumentar a porcentagem de algodão aumentará a resistência da fibra? A porcentagem de algodão deve ser entre 10 e 40% para que o produto final tenha outras características de qualidade desejáveis (como poder aplicar uma estampa) 7

8 Exemplo (cont.) Testar 5 níveis do percentual de algodão: 15, 20, 25, 30, e 35% Repetir o experimento 5 vezes para cada percentual Perguntas 1.Quantos fatores? 2.Qual é o fator? 3.Quantos níveis? Quais são? 4.Quantas replicações? 5.Quantas UE são necessárias? 8

9 Aleatorização % Algodã o Ordem Ensaio UEUE Orde m Ensaio % Algodã o Por que mesmo que a aleatorização é importante?

10 DADOS EXPERIMENTAIS Resistência medida em lb/in 2 % Algodã o Observações Tota lMédia

11 Visualização dos Dados 11 Figura: Boxplot da resistência para cada % de algodão Figura: Dotplot da resistência versus % de algodão Existe alguma indicação de que a porcentagem de algodão afeta a resistência da fibra sintética?

12 A Análise de Variância Queremos testar se existe diferença entre as resistências média para todos os a=5 níveis do fator A E por que não aplicar o teste t para todos os pares de médias? P(não rejeitar H 0 | H 0 é verdadeira) = (1 0.05) 10 = 0.60 P(Erro Tipo I) = 1 – 0.60 = 0.40 O procedimento apropriado para testar a igualdade de várias médias é conhecido como Análise de Variância 12

13 A Análise de Variância (ANOVA) Tratamento ou Fator A (nível)ObservaçõesTotaisMédias 1y 11 y 12...y1ny1n 2y 21 y 22...y2ny2n aya1ya1 ya2ya2 y an 13 Representação típica dos dados em experimentos com um fator

14 Modelo As observações do experimento (variáveis aleatórias) são descritas através do modelo: 14

15 Modelo As observações do experimento (variáveis aleatórias) são descritas através do modelo: Restrição: 15

16 Modelo As observações do experimento (variáveis aleatórias) são descritas através do modelo: Porque precisamos da Restrição? 16

17 Modelo As observações do experimento (variáveis aleatórias) são descritas através do modelo: Porque precisamos da Restrição? Temos k médias : média pop. do fator I k+1 parâmetros! Identificabilidade! 17

18 Efeito Fixo ou Aleatório? Efeito Fixo: os a tratamentos foram especi- ficamente escolhidos. Conclusões aplicam-se APENAS aos trata- mentos considerados na análise Efeito Aleatório: os a tratamentos são uma amostra aleatória de uma população de tratamentos. Conclusões podem ser estendidas à popu- lação de tratamentos 18

19 Formulando as Hipóteses Queremos testar a igualdade das médias dos a tratamentos, ou seja, Veja que Portanto, a hipótese acima é equivalente a testar se os efeitos dos tratamentos são nulos: 19

20 Notação 20

21 Decomposição da Soma de Quadrados Soma de Quadrados Total (SS T ) Exercício: Demonstrar!!! 21

22 Decomposição da Soma de Quadrados Soma de Quadrados Total (SS T ) SS A é a soma de que? SS E é a soma de que? 22

23 Decomposição da Soma de Quadrados Soma de Quadrados Total (SS T ) SS A é a soma de que? Mede dif. média dos trat SS E é a soma de que? Sobra: devido ao erro 23

24 Graus de Liberdade das Soma de Quadrados 24 Soma de Quadrados Graus de Liberdade (gl)Explicação SS A a – 1a níveis do Fator A SS E a(n – 1) = N – a n – 1 gl dentro de cada nível do fator A SS T N – 1N observações no total

25 25 Soma de Quadrados dos Erros O termo entre colchetes dividido por é a variância amostral para o i-ésimo tratamento: Então um estimador de é dado por Estimador de σ 2

26 Quadrados Médios (MS) Definição: Quadrado Médio do Erro (MS E ) Quadrado Médio do Fator A (MS A ) 26


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