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Expoentes de Hurst, Leis de Potência e Eficiência no Mercado de Câmbio Brasileiro Sergio Da Silva Departamento de Economia, Universidade Federal de Santa.

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2 Expoentes de Hurst, Leis de Potência e Eficiência no Mercado de Câmbio Brasileiro Sergio Da Silva Departamento de Economia, Universidade Federal de Santa Catarina Raul Matsushita Departamento de Estatística, Universidade de Brasília Iram Gleria Departamento de Física, Universidade Federal de Alagoas Annibal Figueiredo Departamento de Física, Universidade de Brasília

3 Resumo Encontramos evidência de eficiência informacional fraca no mercado de câmbio brasileiro diário usando expoentes de Hurst (Hurst 1951, 1955, Feder 1988) Os expoentes de Hurst oferecem uma alternativa vinda da física estatística às abordagens econométricas tradicionais para a eficiência

4 Resumo Mostramos que uma tendência rumo à eficiência foi revertida depois da crise cambial de 1999 Também encontramos leis de potência (Mantegna and Stanley 2000) nas médias, volatilidades, expoentes de Hurst, tempos de autocorrelação e índices de complexidade dos retornos para crescentes incrementos de tempo Nossos resultados também aparecem para uma série do preço do dólar de alta frequência

5 Keywords Mercado do Dólar Eficiência Informacional Econofísica Leis de Potência Expoentes de Hurst

6 Eficiência Informacional Associada a passeios aleatórios tipos 1, 2 e 3 No passeio aleatório tipo 1 os incrementos são independentes (não correlacionados) e identicamente distribuídos Como os incrementos pertencem a uma mesma distribuição, argumenta-se que o passeio aleatório tipo 1 não serve para séries com quebras estruturais (caso da série diária do preço do dólar)

7 Eficiência Informacional No passeio aleatório tipo 2 os incrementos são independentes, mas provêm de diferentes distribuições No passeio aleatório tipo 3 há diferentes distribuições, mas os quadrados dos incrementos são auto-correlacionados (embora os incrementos sejam ainda independentes)

8 Eficiência Informacional Eficiência Forte: o preço do ativo já leva em conta toda a informação disponível, pública e privada (inside trading) Eficiência Semi-Forte: o preço do ativo já leva em conta toda a informação pública disponível Eficiência Fraca: o preço do ativo já leva em conta a informação disponível em sua série histórica Testes de séries temporais de única variável buscam verificar a existência de eficiência fraca

9 Eficiência Informacional Exemplos de testes econométricos para a eficiência fraca são os efeitos intraday, dia da semana, sazonalidade dos retornos e os testes de autocorrelação, Runs, razão de variância, de lucratividade de regras de filtro ou análise técnica e de existência de padrão não-linear nos retornos (Laurini & Portugal 2002)

10 Econofísica Neologismo utilizado para o ramo da física dos sistemas complexos que procura fazer um levantamento completo das propriedades estatísticas dos mercados financeiros usando o imenso volume de dados agora disponíveis e a metodologia de trabalho da física estatística (Mantegna & Stanley 2000) Pode ser vista como uma abordagem alternativa de finanças

11 Lei de Potência Reta em um log-log plot A lei de Newton de queda livre é um exemplo de lei de potência Soltando um objeto de uma torre

12 Lei de Potência A relação entre altura e tempo de queda não é linear

13 Lei de Potência Mas o log do tempo de queda versus log da altura de queda é uma reta Inclinação = ½ escalonamento gaussiano

14 Lei de Potência

15

16 Lei de Potência Intuição Uma lei de potência sem escala e não gaussiana significa que não há um evento típico Não há diferença qualitativa entre um evento comum e outro extremo Um evento extremo não precisa ter causa A causa de um evento comum pode ser a mesma de um evento extremo Analisar a situação inicial não serve para predizer um evento

17 Expoente de Hurst O desvio padrão em séries independentes e normalmente distribuídas se comporta como onde H = ½ e t é tempo (Gnedenko and Kolmogorov 1968) O expoente dessa relação de escalonamento entre o desvio padrão de uma série temporal e os incrementos de tempo é o expoente de Hurst

18 Expoente de Hurst H = ½: movimento browniano (passeio aleatório), i.e. um processo aleatório sem memória longa A hipótese do mercado eficiente supõe então H = ½ Valores diferentes de ½ são indicativos de longa memória e de que os dados não são independentes

19 Expoente de Hurst Valores entre ½ e 1 indicam dependência longa positiva: séries com persistência e trend-reinforcing Valores positivos menores do que ½ indicam dependência longa negativa: tendências passadas tendem a se reverter no futuro (anti- persistência)

20 Expoente de Hurst Cálculo usando Chaos Data Analyzer (Sprott & Rowlands 1995) Uma vez que o valor da variável, em média, se distancia de sua posição inicial em um montante proporcional à raiz quadrada do tempo (quando ocorre H = ½), o programa plota o deslocamento contra o tempo, usando cada ponto da série como condição inicial: a inclinação da curva é o expoente de Hurst (Sprott 2003)

21 Expoente de Hurst Cálculo por rescaled range (R/S) analysis (Hurst 1951) Como o deslocamento da variável escalona com a raiz quadrada do tempo, Hurst expressou o deslocamento absoluto em termos de desvios cumulativos reescalonados da média e definiu tempo como o número da dados (n) usados

22 Expoente de Hurst O expoente de escalonamento da relação (onde c é uma constante) é agora o expoente de Hurst Se os dados forem independentes, a distância percorrida vai aumentar com a raiz quadrada do tempo e H = ½

23 Dados Série diária: 2 de janeiro de 1995 a 31 de agosto de 2006 Fonte: website do Federal Reserve Série intraday (espaçada em 15 minutos): 9h30 de 19 julho de 2001 até 16h30 de 14 de janeiro de 2003 Fonte: Agora Senior Consultoria

24 Série Diária

25 Retornos da Série Diária

26 Série Diária

27 Série Intraday

28 Retornos da Série Intraday

29 Dados A série diária apresenta raiz unitária em níveis, mas fica estacionária em primeira diferença Isto pode ser visto com o teste de Perron para séries com quebras estruturais (Moura & Da Silva 2005) Assim, os retornos diários são estacionários

30 Dados A série diária apresenta uma quebra ao olho nu em 13 de janeiro de 1999, quando ocorreu uma crise cambial O regime de câmbio fixo, ou âncora cambial, foi substituído pelo câmbio flutuante Mas a média é semelhante nos dois regimes A volatilidade no regime de câmbio flutuante é dez vezes maior, mas isso não afeta a estacionaridade da média dos retornos

31 Dados Período 2 Jan Jan 9913 Jan Ago 062 Jan Ago 06 Pontos Média Desvio Padrão Assimetria Curtose Expoente de Hurst

32 Leis de Potência nos Momentos Estatísticos Estudo dos retornos variando os incrementos de 1 a 1000

33 Leis de Potência nos Momentos Estatísticos Quando aumenta, as médias e volatilidades crescem (como esperado) Mas o crescimento é governado por leis de potência

34 Lei de Potência nas Médias da Série Diária Inclinação ½ escalonamento não gaussiano

35 Lei de Potência nas Médias da Série Diária

36 Lei de Potência nas Médias da Série Intraday Inclinação ½ escalonamento não gaussiano

37 Lei de Potência nas Volatilidades das Séries Diária e Intraday Inclinação ½ escalonamento não gaussiano y = x R 2 = y = x R 2 =

38 Leis de Potência nos Momentos Estatísticos Os momentos estatísticos podem ser expressos como onde o efeito de nos momentos será maior, quanto maior for (Gleria, Matsushita & Da Silva 2002)

39 Leis de Potência nos Momentos Estatísticos Escalonamento nos momentos é chamado de structure function analysis e pode ser usado para fins de previsão (Richards 2004) Ele também está relacionado ao grau de multi-fractalidade de uma série (Schmitt et al 2000) e pode informar o tipo da sua distribuição subjacente

40 Eficiência e Hurst Usando o CDA, para a amostra inteira de retornos simples da taxa diária real-dólar, H = 0.54 Este valor é parecido para porções dos dados (tabela anterior) Para os dados de alta frequência, H = 0.52 Estes valores são compatíveis com eficiência fraca, i.e. são levemente diferentes de ½ Mas são também compatíveis com existência de autocorrelação

41 Eficiência e Hurst Aumentando na definição dos retornos, esperamos que os expoentes de Hurst aumentem, porque há mais agregação Mas surpreendentemente há leis de potência governando o ritmo de crescimento dos expoentes

42 Eficiência e Hurst Escalonamento dos expoentes de Hurst para as séries de crescentes incrementos da série diária y = x R 2 = y = x R 2 = y = x R 2 =

43 Eficiência e Hurst Escalonamento dos expoentes de Hurst para as séries de crescentes incrementos da série intraday y = x R 2 = y = x R 2 = y = 0.015x R 2 =

44 Eficiência e Hurst Encontramos valores ainda maiores fazendo o cálculo do expoente por R/S analysis Na linha reta de melhor ajustamento para a série diária H = 0.63 Para a série intraday, H = 0.62

45 Eficiência e Hurst A maioria dos estudos que encontra H ½ não inclui um teste de significância (Couillard & Davison 2005) Rodamos o teste sugerido por Couillard & Davison e econtramos que os expoentes calculados são estatisticamente significativos com p–value < 0.001

46 Eficiência e Hurst A R/S analysis costuma ser criticada por não conseguir distinguir memória curta de memória longa (Lo 1991) Lo sugere uma modificação que viesa contra a hipótese de dependência longa (Teverovsky et al 1999, Willinger et al 1999) Outra modificação sugerida é filtrar a R/S analysis com um processo AR(1)–GARCH(1, 1) (Cajueiro & Tabak 2004)

47 Eficiência e Hurst Também calculamos os expoentes em janelas móveis de tempo de quatro anos, i.e observações de cada vez Isto permite saber se a série fica mais ou menos eficiente à medida que o tempo passa (Cajueiro & Tabak 2004) Precisa-se aqui também verificar se o histograma é normalmente distribuído: se for, há erros de mensuração

48 Eficiência e Hurst Os Hursts foram calculados por R/S analysis filtrada com um AR(1)–GARCH(1, 1) onde a, b,,, 1, 2 são os parâmetros estimados h(t) é a variância condicional dos resíduos s(t) é normalmente distribuído e independente de s(t ' ), t t '

49 Eficiência e Hurst O Hurst se aproxima de ½ por volta da observação 1010 (dezembro de 1998), depois de uma prévia ultrapassagem o mercado fica mais eficiente De dezembro de 1998 em diante, o Hurst se afasta de ½

50 Eficiência e Hurst A figura anterior também mostra os limites de confiança a 95% usando o teste de Couillard & Davison, i.e e (sob a hipótese nula de que a série é independente e gaussiana) A figura abaixo mostra que o histograma não tem formato de sino

51 Eficiência e Hurst Interpretação Até dezembro de 1998, o real era desvalorizado à média diária de 0.003% Esta informação poderia ser facilmente levada em conta pelos participantes do mercado não surpreende que o mercado fique mais eficiente

52 Eficiência e Hurst Interpretação Depois da crise de 13 de janeiro de 1999, sob o câmbio flutuante, choques de todos os tipos (macroeconômicos internos, efeito Lula, contágio da crise argentina) tornaram mais difícil o processamento de nova informação entrando no mercado mercado fica menos eficiente

53 Eficiência e Hurst Para os dados intraday, usamos janelas móveis de tempo de 6085 pontos (aproximadamente um ano) Mas a análise não foi robusta porque o histograma ficou gaussiano

54 Tempo de Autocorrelação Como os valores dos Hursts são compatíveis com a presença de autocorrelação, examinamos o tempo de autocorrelação Que mede quanto uma observação corrente depende das anteriores Esperamos que o tempo de autocorrelação aumente com os incrementos Mas é surpreendente que ele aumente seguindo uma lei de potência

55 Tempo de Autocorrelação Série Diária Série Intraday y = x R 2 = y = x R 2 =

56 Índice de Complexidade Relacionado ao expoente de Hurst e ao tempo do autocorrelação Índice Lempel-Ziv (LZ) de complexidade em relação ao ruído branco gaussiano (Lempel & Ziv 1976, Kaspar & Schuster 1987) LZ = 0: perfeita previsibilidade LZ 1: aleatoriedade genuína (complexidade máxima)

57 Índice de Complexidade Para calcular a complexidade algorítmica de uma série, cada ponto é convertido em um número binário e então comparado à mediana da série inteira Calculamos, pelo CDA, para os retornos simples diários, LZ = 1.04 Para os retornos intraday, LZ = 0.99 Estes valores são consistentes com eficiência fraca e os expoentes de Hurst encontrados

58 Índice de Complexidade À medida que aumentamos os incrementos, a maior agregação introduz mais estrutura na série, e isto a torna mais previsível Então, esperamos que o LZ tenda a decair para zero Mas é ainda surpreendente que o decaimento siga uma lei de potência

59 Índice de Complexidade Série diária Série intraday y = x R 2 = y = 0.48x R 2 =

60 Conclusão Encontramos expoentes de Hurst que não são incompatíveis com o resultado econométrico existente de eficiência fraca no mercado do dólar Além disso, o cálculo dos expoentes em janelas de tempo permitiu constatar que uma tendência em direção à eficiência tem sido revertida desde a crise de 1999 A intervenção do banco central deixou o mercado mais previsível, mais informacionalmente eficiente, mas também pode ter precipitado a crise

61 Conclusão Aumentando o intervalo de tempo na definição dos retornos, pudemos encontrar padrão na forma de leis de potência nas médias, volatilidades, expoentes de Hurst, tempos de autocorrelação e índices de complexidade A maioria dos resultados pode ser replicada para um conjunto de dados intraday, o que sugere auto-similaridade na série do preço do dólar

62 Referências Cajueiro, D.O., and B.M. Tabak (2004) The Hurst exponent over time: testing the assertion that emerging markets are becoming more efficient, Physica A 336, Couillard, M. and M. Davison (2005) A comment on measuring the Hurst exponent of nancial time series, Physica A 348, Feder, J. (1988) Fractals, Plenum Press: New York. Gleria, I., R. Matsushita, and S. Da Silva (2002) Scaling power laws in the Sao Paulo Stock Exchange, Economics Bulletin 7, Gnedenko, B.V, and A.N. Kolmogorov (1968) Limit Distributions for Sums of Independent Random Variables, Addison- Wesley: Reading. Hurst, H. (1951) Long-term storage capacity of reservoirs, Transactions of the American Society of Civil Engineers 116, Hurst, H. (1955) Methods of using long-term storage in reservoirs, Proceedings of the Institution of Civil Engineers, Part I, Kaspar, F., and H.G. Schuster (1987) Easily calculable measure for the complexity of spatiotemporal patterns, Physical Review A 36, Laurini, M.P., and M.S. Portugal (2002) Markov-switching based nonlinear tests for market efficiency using the R$/US$ exchange rate, Proceedings of the 24th Brazilian Econometric Meeting. Laurini, M.P., and M.S. Portugal (2004) Long memory in the R$/US$ exchange rate: a robust analysis, Brazilian Review of Econometrics 24,

63 Referências Lempel, A., and J. Ziv (1976) On the complexity of finite sequences, IEEE Transactions on Information Theory 22, Lo, A.W. (1991) Long-term memory in stock market prices, Econometrica 59, Mantegna, R.N., and H.E. Stanley (1995) Scaling behavior in the dynamics of an economic index, Nature 376, Mantegna, R.N., and H.E. Stanley (2000) An Introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance, Cambridge University Press: Cambridge. Moura, G., and S. Da Silva (2005) Is there a Brazilian J-curve?, Economics Bulletin 6, Richards, G.R. (2004) A fractal forecasting model for financial time series, Journal of Forecasting 23, Schmitt, F., D. Schertzer, and S. Lovejoy (2000) Multifractal fluctuations in finance, International Journal of Theoretical and Applied Finance 3, Sprott, J.C. (2003) Chaos and Time-Series Analysis, Oxford University Press: Oxford. Sprott, J.C., and G. Rowlands (1995) Chaos Data Analyzer, The Professional Version 2.1, American Institute of Physics: New York. Teverovsky, V., M.S. Taqqu, and W. Willinger (1999) A critical look at Los modified R/S statistic, Journal of Statistical Planning and Inference 80, Willinger, W., M.S. Taqqu, and V. Teverovsky (1999) Stock market prices and long-range dependence, Finance and Stochastics 3, 1-13


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