Estruturas e Subestruturas Por: Jefferson de Menezes (jmmf) Ricardo Salomão (rssj2) Ciência da Computação 2010.1.

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1 Estruturas e Subestruturas Por: Jefferson de Menezes (jmmf) Ricardo Salomão (rssj2) Ciência da Computação 2010.1

2 Lógica de Predicados Até agora utilizamos a chamada lógica proposicional para formalizar sentenças e argumentos, tal formalização perde muita informação, pois uma sentença(atômica) é representada por uma única variável, embora seja composta por um sujeito(objeto) e predicado...

3 Lógica de Predicados Com a linguagem simbólica enriquecida de símbolos para objetos e símbolos para predicados Frege definiu o que se chama de Lógica de predicados ou Lógica de Primeira Ordem. Ex.: O unicórnio é lenda. Objeto = unicórnio Predicado = lenda

4 Estrutura Matemática Uma estrutura matemática é dada por 4 componentes: 1 –Conjunto Domínio 2 –Conjunto Predicados 3 -Conjunto de Elementos Destacados 4 –Conjunto de Funções Obs.:O conceito de Valoração-verdade por si só não serve para resolver satisfatibilidade.

5 Estrutura Matemática Ex.: IN Domínio Funções 1 Elementos Destacados Primo(-) Menor que(-,-) Predicados Quadrado(-) Soma(-,-)

6 Estrutura Matemática Ex.: O número 3 é primo. 4 não é menor que 1. Todo elemento menor que 2, seu quadrado é igual a ele mesmo.

7 Estrutura Matemática Codificando: Predicados -> P(-) [Primo]; M(-,-)[Menor que] Destacados -> a = 1 Funções -> q(-)[quadrado]; s(-,-)[soma]

8 Estrutura Matemática Resposta: P(s(a,s(a,a))) ¬M(q(s(a,a)),a) x(M(x,s(a,a)) -> q(x)=x)

9 Assinatura de uma Estrutura Assinatura: A assinatura de uma estrutura matemática A é dada necessidade simbólica para fins de codificação de sentenças sobre A. Em outras palavras a assinatura de A é dada por: - Um conjunto de símbolos de predicado - Um conjunto de símbolos de constante - Um conjunto de símbolos de função

10 Estrutura Matemática Obs.: Duas estruturas A e B podem ter a mesma assinatura e ainda assim terem naturezas bem diferentes.

11 A Noção de Subestrutura A e B são L-estruturas e f é uma função (f: dom(A)->dom(B)) Homomorfismo: Dizemos que f preserva os componentes lógicos de A(de A para B) se: f é um homomorfismo.

12 Homomorfismo(cont.): I.Preserva os Destaques: f(c A ) = c B II. Preserva as Relações: Se (a 1, a 2,..., a n ) Є R A --> (f(a 1 ), f(a 2 ),..., f(a n )) Є R B III. Preserva as Funções: f(g A (a 1, a 2,..., a n )) = g B (f(a 1 ), f(a 2 ),..., f(a n )) A Noção de Subestrutura

13 Imersão: Dizemos que f é uma imersão se f for injetiva e for um homomorfismo que preserva os predicados indo e voltando. O item II. seria substítuido por: (a 1, a 2,..., a n ) Є R A (f(a 1 ), f(a 2 ),..., f(a n )) Є R B Isomorfismo: Se f for uma imersão e for sobrejetora (bijetiva). A Noção de Subestrutura sse

14 Endomorfismo: Se f for um homomorfismo e f: A->A. Automorfismo: Se f for um endomorfismo e for um isomorfismo. A Noção de Subestrutura

15 Dadas duas estruturas A e B: A é uma subestrutura de B se (B é uma expansão de A): I. A e B são L-estruturas(possuem a mesma assinatura); II. dom(A) dom(B); III. A função f: A -> B é um homomorfismo imersor; A Noção de Subestrutura

16 Qual será a menor subestrutura de B cujo domínio tem x? I. O domínio de A deve conter todos os destaques de B; II. As relações de sobre A são calculadas assim: R A = R B dom(A) n, n = aridade. III. Destaques em A = destaques em B; IV. As funções são definidas assim: para todo símbolo de f de L, f A deve estar definida em todos os pontos do domínio de A; A Noção de Subestrutura Subestrutura Gerada

17 Dúvidas?