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CF701 Eletrodinâmica Clássica I Prof. Dante H. Mosca 2014.

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1 CF701 Eletrodinâmica Clássica I Prof. Dante H. Mosca 2014

2 EMENTA As Equações de Maxwell: Eletrostática, Magnetostática; Ondas Eletromagnéticas Cap , 5 e 6 Os Principais Fundamentos da Relatividade Especial; Quadrivetores; Formulação Covariante da Eletrodinâmica Clássica Cap. 11 e 12 Teoria da Radiação. Cap. 9, 10 e 15 BIBLIOGRAFIA J D Jackson: "Classical Electrodynamics" (3 rd Edition); L Landau, E Lifchitz: "Théorie du Champ" (Mir, Moscou); E Durand: "Electrostatique et Magnetostatique"(Masson et cie., 1953); W K H Panofsky, M Phillips: "Classical Electricity and Magnetism" (Addison Wesley,1962); J A Stratton: "Electromagnetic Theory" (McGraw Hill, l941); P M Morse, H Feshbach: "Methods of Theoretical Physics"; Carga horária 90 horas. Créditos: 6 AVALIAÇÃO 3 Provas escritas (50%) e 3 listas (50%).

3 Roteiro Propagação da luz e experimento Michelson - Morley Relatividade especial Formalismo de Minkowski Definições de massa Teoria de grupos: translaçõses e rotações Formulação covariante da eletrodinâmica clássica O spin e a precessão de Thomas (equações BMT) Partícula carregada no campo eletromagnético Formalismo lagrangenano covariante Tensores de tensão-energia e momento angular do campo Formalismo covariante de ondas e campos de radiação

4 Domínios de validade

5 Espaço, tempo e massa...

6 Experimento de Michelson-Morley (1881 a 1887)

7 Comprimento de Coerência (physics)

8 Tempo de Coerência Quanto uma onda é monocromática

9 Coerência e pulsos Formam um pulso se são fixas as fases (coerentes)

10 Luz solar Luz branca com fase e amplitude variáveis.

11 Interferência de pulsos de onda = Grau de coerência...

12 30 km/s

13

14 Sem mudança !

15 Mudança de fase em referenciais K e K' galileanos Hipótese de Ritz

16 Efeito Doppler relativ í stico

17 Efeito Doppler transversal Estação P Satélite (efeito Doppler transversal) Dilatação dos tempos: Como T=1/f:

18 2000 light-years away from Earth

19 Relatividade Especial Segundo postulado (invariabilidade de c): A luz se propaga no vácuo com uma velocidade constante c que independe dos estados de movimento do corpo emissor e do observador. Primero postulado (princípio da relatividade): As leis físicas devem ser as mesmas em todos os referênciais inerciais. Einstein, Albert (1905), "Zur Elektrodynamik bewegter Körper", Annalen der Physik 322 (10): 891–921.

20 Espaço & Tempo Conceitos diferentes Espaço & Tempo Dois diferentes aspectos do mesmo conceito O tempo depende do estado de movimento do observador!

21 Relatividade z z z 2

22 O « ver » é determinado pela luz que chega ao observador em um dado momento.

23 Há diferença entre medir e observar ? A velocidade da luz ser finita insere o passado no instante da observação ? ? Introdução ao Princípio da Relatividade

24

25 A forma e o volume de um corpo dependem de como a luz emitida chega até o « observador ».

26 distorção relativística

27

28 Invariância da velocidade da luz no vácuo e em todos os referenciais inerciais

29 O fator de Lorentz e o parâmetro de velocidade Fator de Lorentz Parâmetro de velocidade (% c) Portanto: (dilatação temporal)

30 As equações de Transformação de Lorentz Válidas para qualquer velocidade fisicamente possível. S S y y xx x vt x evento v Lorentz, Hendrik Antoon (1892), "La Théorie electromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants at the Internet Archive", Archives néerlandaises des sciences exactes et naturelles 25: 363–552

31 Transformações de Lorentz e Princípio da Relatividade

32 Exercício Considere a situação abaixo.

33 Mostre que as transformações de velocidade são: Ou ainda Exercício

34 Mostre que as transformações da aceleração são:

35 Registrando um evento 4 coordenadas: 3 espaciais 1 temporal Eventos: colisão entre duas partículas, acender de uma lâmpada, passagem de um pulso luminoso, evolução de uma vida,... Relatividade: determina as relações entre as coordenadas atribuídas a um mesmo evento por 2 observadores se movendo um em relação ao outro.

36 Diagrama do cone de luz de Minkowski (observador sob alta aceleração)

37 Formalismo de Minkowski

38 Formulação de quadrivetores Definição do produto escalar: invariante Norma de um quadrivetor

39 Exemplos:

40 Quando um evento é Relativístico...

41 O fator de Lorentz e o parâmetro de velocidade Fator de Lorentz Parâmetro de velocidade (% c)

42 Exercício Mostre que:

43 Exercício: Mostre que: Substituindo c por – c : Então a transformação de Lorentz dilata (contrai) o espaço-tempo ( x,y,ct ) por um fator na direção do plano x = +ct ( x = –ct ) ?

44 Tempo próprio e comprimento próprio Tempo próprio é decorrido entre dois acontecimentos, como medido por um relógio que passa através de ambos os eventos. Depende não apenas os eventos, mas também do movimento do relógio entre os eventos. Um relógio acelerado mede um menor tempo decorrido entre dois acontecimentos do que o medido por um relógio não acelerado (inercial) entre os mesmos dois eventos: "paradoxo dos gêmeos". Comprimento próprio é o medido em um sistema de referência inercial em que os eventos são simultâneos. Então, se os dois eventos ocorrem em lados opostos de um objeto, o comprimento próprio é o comprimento do objeto medido por um observador que está em repouso em relação ao objeto.

45 Nota ç ão Vetorial Portanto Logo

46 Adi ç ão de velocidades

47 Exerc í cio Mostre que: Tal que equivale a Então

48 Momento e energia relativísticos de particulas idênticas em colisão frontal Em K´ :

49 b = centro de massa em K´

50 Componentes de velocidade em K Conservação da energia e momento Ao longo de x

51 Para ' = 0 e então: como são funções de ' e a ou

52 Admitindo que uma particula em baixa velocidade satisfaz: Então Como Resulta

53 Portanto que integrando resulta: Genralização necessária para a energia cinética relativística:

54 Questão da * Caso interessante é o inelástico, por exemplo, decaimentos dos mésons K neutros (oscilações de partículas neutras devido a mistura de estados): Tal que ou Logo e * Equivalência massa-energia surge com Poincaré e Hasenohrl, não Einstein. Holton, American Journal of Physics 30 (6): 462 (1962).

55 Exercício Considere a situação abaixo.

56 Mostre que se a massa de um objeto movendo-se em relação a um observador é: Logo e como temos simplificando

57 Obs.1: Se então Obs.2: A massa relativística equivale a uma energia relativística / c 2. Ou seja que: e

58 Exercício Mostre que se o momento cinético se transforma como: Então: e

59 Mostre que para uma determinada força atuando sobre uma partícula temos: a) b) c ) Se F é paralela a v, então F = F. Exercício

60 Com base no exercício anterior: a) É razoável falar em massa longitudinal e transversal ? b) O par de forças de ação e reação com igual módulo ao longo da mesma direção em sentidos opostos e da Mecânica Clássica prevalece na Mecânica Relativística ? Exercício

61 Formulação de Minkowski Satisfazendo as 4 equações de conservação de momento e de energia: Como e Então

62 Quadri-momento invariante Energia total e massa de repouso Obs.: essa construção "heurística" da dinâmica relativística é aceita como conveniente, sendo perfeitamente demonstrável experientalmente. No entanto, os conceitos de massa de repouso e massa relatvística são didaticamente questionáveis.

63 Definições de massa A massa é utilizada para determinar quanto uma partícula (ou objeto) resiste a uma mudança na sua direcção ou velocidade (ou forma), quando é aplicada uma força, isto é, uma medida da "resistência" para acelerar uma partícula (ou objetos) estacionária(os) ou móvel(is). No entanto, a rigor massa pode ser definida apenas em termos das suas propriedades físicas. Macroscopicamente, a massa é uma medida da quantidade de energia e de matéria que uma partícula ou objeto contém, que determina a medida da resistência a mudança do seu estado de movimento. Assim, a massa é uma medida da força de interação de uma partícula (ou objeto) com um campo gravitacional, sendo ao mesmo tempo também uma medida da curvatura do espaço-tempo induzida pela própria partícula (ou objeto), de acordo com a Teoria da Relatividade Geral [Einstein, 1920]. Na escala sub- atômica, a massa é uma medida de conteúdo de energia de repouso de uma partícula, devido à equivalência massa-energia. É também um parâmetro do operador de energia cinética da onda de matéria associada à partícula [de Broglie 1925], bem como, o parâmetro que determina o comprimento de onda de Compton de uma partícula. É uma questão em aberto se o campo de Higgs dá massa a apenas algumas das partículas elementares básicas, como na formulação original da idéia, ou é também responsável pelas massas de todas as partículas elementares.

64 Grupo de Lorentz Escalar de Lorentz é uma quantidade invariante Tensores contravariantes e covariantes #1 #2 #0

65 Produto interno Tensor métrico do espaço-tempo plano Delta de Kroneker quadridimensional

66 2D curvilinear non-orthogonal grid The Free Physics TextBook,

67 Operadores diferenciais Quadridivergência Quadri-Laplaciano

68 Representação matricial Produto escalar e transposição Obs.: existem 16 - ( ) = 10 equações linearmente independentes para os 16 elementos de A.

69 Transformações de Lorentz próprias e impróprias Transformações impróprias Operadores de Inversão C (inversão da carga elétrica) : e -e P (inversão espacial) : ( t, r ) ( t, -r ) T (inversão temporal) : ( t, r ) ( -t, r )

70 CPT

71 CP violation K s = K 1 + K 2 K L = K 1 + K 2 CP =+1 CP =-1

72 Teoria de Grupos Translações e Rotações

73 Rotações 2D Extrínseca ou Ativa Intríseca ou Passiva Traço da matrix de rotação

74 Rotações em 3D Existem ambiguidades e não comutabilidade. sequência de rotações: zx'z" eixo de rotação ângulo de rotação linha nodal

75 Exercício Mostre que mediante a parametrização : (a) (b)

76 Teoria de Grupos Grupos de Lie : fundamentam as teorias de grupo de transformações contínuas, sendo um espaço topológico localmente euclidiano diferenciável. Contra-exemplos: não são diferenciáveis?! Grupo de Lorentz : grupo de todas as transformações de Lorentz no espaço de Minkowski. Fornecem os invariantes às transformações de Lorentz (leis da cinemática relativística, equações de Maxwell, equaç'ao de Dirac, por exemplo). Grupo de Poincaré: grupo das isometrias (transformações de mapeamento que não alteram o tempo próprio ao longo de uma trajetória entre eventos) no espaço-tempo de Minkowski que inclui todas as translações e as transformações de Lorentz.

77 Exercício O livro do Jackson usa uma possível base da álgebra de Grupos de Lee para descrever os geradores infinitesimais de transformações de Lorentz. Mostre que as matrizes S geram rotações 3D e as matrizes K lançamentos ortogonais entre si. Note que o quadrado de qualquer dessas matrizes é diagonal e satisfazem as relações de comutação:

78 Exercício Sabendo que: Mostre que: (a) e (b) (c) (d)

79 Exercício

80 Mostre que: Equivale a sendo: Obs.: trabalho árduo e pouco gratificante.

81 Alguns aspectos importantes a serem considerados na formulação covariante da Eletrodinâmica

82 Invariância da carga elétrica : Massa relativística : Momentum relativístico : Contração do volume : Observações experimentais

83 Densidade de carga: Densidade de corrente: Encrencas imediatas

84 Linhas de campo elétrico e magnético de uma carga positiva em movimento uniforme conforme um observador estacionário ! E Q B Q Campos de uma carga em movimento

85 E Q B Q Campos de uma carga em movimento « lento »

86 Linhas de campo elétrico de uma carga elétrica deslocando com velocidade = v/c. Os pontos nas superfícies das esferas "imaginárias" estacionárias indicam onde emergem as linhas de campo elétrico. Ou seja, a densidade de pontos indica a intensidade do campo.

87 O campo elétrico deixa de ser isotrópico!

88 Não há campo magnético atrás ou a frente !

89 Equipotenciais de uma carga em movimento

90 Ação e Reação Em (a) e (b) é descita a interação entre as cargas Q e q. Efeito relativístico

91 Força de Lorentz Força de Lorentz: releitura

92 Equação da continuidade Invariância da carga e do quadrivolume infinitesinal c transforma de modo equivalente a x o

93 Quadripotencial vetor sob calibre de Coulomb

94 Tensor intensidade de campo eletromagnético

95 Exercício Mostre que: Obs.: definição usual de um tensor campo eletromagnético "dual" onde E B e B - E.

96 Exercício

97

98 (c)

99 Equações de Maxwell: forma covariante ouou Força de Lorentz : forma covariante

100 Versão macroscópica Obs.: Como (E,B) e (D,H) são tensores de segunda ordem antisimétricos as quantidade P e M também formam quantidades similares. Na eletrodinâmica de meios macroscópicos, essas quantidade dão as médias macroscópicas das propriedades atômicas no referencial em repouso do meio.

101 Transformação dos campos - -

102 Exercício Mostre que no caso geral quando: Resulta Obs.:

103 Observação 1: Observação 2: Observação 3: Pseudo-escalar

104 Exercício Lembrando que: e Mostre que no caso c = v x = v, : H // = H // H = (H – v x D / c 2 ) M // = M // M = (M + v x P / c 2 ) D // = D // D = (D + v x H / c 2 ) P // = P // P = (P – v x M / c 2 )

105 Campo ao longo da trajetória de uma partícula carregada Em K´ :

106 B 3 Lei de Biot-Savart-Ampere ( 1 ) Em K...

107 Perfil dos campos

108

109

110

111

112

113 Teoria de Dirac do spin do el é tron p - i ħ E i ħ / t

114 Spinor 4-Spin Spin Vínculo de covariância pseudo-vetor: U S = 0 S o = U S Símbolo de Levi-Civita U = ( u c, u u ) Obs.: a determinação do (pseudo)vetor S num referencial em repouso especifica as componentes do quadrivetor S em qualquer referencial inercial. Transformação de Lorentz

115 Equação Bargmann–Michel–Telegdi (BMT) Phys. Rev. Lett. 2 (1959) 435 Na equação de acima à direita, o spin s é expresso no referencial de repouso, enquanto os valores de B e E são os campos no referencial laboratório. Essa parametrização é natural pois o spin é uma propriedade física intrínseca, tendo seu significado verdadeiro somente no referencial de repouso da partícula.

116 Zeeman effect Paschen-Back effect B = H= 0 Efeito Zeeman

117 Spin num campo eletromagnético Átomo Hidrogenóide Fator 1/2 X

118 Precessão de Thomas A frequência de precessão de Thomas é decorrente da aceleração que o elétron experimenta sob ação da força externa de blindagem coulombiana.

119 Precessão Geodética (análogo)

120 Correção de Thomas Promovendo uma transformação de Lorentz sem qualquer rotação:

121

122 Interpretação da transformação infinitesimal A transformação de Lorentz do lançamento sem rotação relativa ao referencial laboratório equivale a um referencial x ''' no qual o referencial em repouso é girado relativo ao referencial de laboratório após um lançamento infinitesimal com velocidade c.

123 Acoplamento spin-órbita no referencial laboratório Blindagem coulombiana: A precessão de Thomas reduz o acoplamento spin-órbita. correção de Thomas

124 Equação de movimento covariante Transformação de Lorentz Impondo: Invariantes candidatos:

125 Na ausência de campo eletromagnético é necessário: Como então Logo

126 Equação BMT covariante Força de Lorentz covariante

127 Exercício Mostre que a equação BMT: reproduz a precessão de Thomas: Obs:

128 Dinâmica Relativística Equações de movimento: Princípio de mínima ação de Hamilton: Invariante de Lorentz:

129 Part í cula livre invariante Partícula no campo eletromagnético

130 Lagrangeana de uma partícula carregada em campo eletromagnético Momento cinético canônico conjugado: Hamiltoniana:

131 Hamiltoniana de uma partícula carregada em campo eletromagnético Obs.: a lagrangena proposta não é invariante a uma transformação de calibre...

132 Formulação Lagrageana covariante De forma equivalente:

133 Exercício Mostre que a equação de movimento na forma covariante pode ser escrita como: para uma particula livre e: para uma partícula carregada no campo eletromagnético.

134 Exploração sobre o movimento de partículas carregadas em campos magnéticos

135 Partícula num campo magnetostático uniforme

136 Partícula em campos magnético e elétrico uniformes Em K' Obs.: há deriva uniforme na direção E x B se E < B. se E < B e

137 Se E > B o campo elétrico é forte o suficiente para promover aceleração contínua na direção de E e a energia aumenta continuamente no tempo. Se os campos E e B forem cruzados há o efeito de filtro de velocidade.

138 Exercício (a) Mostre que se E B 0 ambos campos existem em K e K'. (b) Mostre que se E B = 0 é sempre possível achar um referencial de Lorentz onde E = 0 se | E | < | B | ou B = 0 se | B | < | E |. (c) É possível afirmar que existe apenas um dos campos e que o outro é uma pura manifestação de trasformação de Lorentz ?

139 Partícula carregada num campo magnético não uniforme O movimento na direção de B não se altera, então:

140 Exercício Mostre que na configuração abaixo resulta: Portanto, se o gradiente de campo for pequeno predomina o movimento orbital sobre o movimento de deriva longitudinal.

141 Invariantes adiabáticos de partícula carregada numa órbita fechada em um campo magnético A integral de ação de um par coordenada e momento canônicos generalizados conjugados periódicos: Então n dl

142 Calculando como v // dl usando o teorema de Stokes: Então pois Invariantes adiabáticos:

143 Reflexão da partícula em alto campo magnético pois é invariante = 0 Obs: energia translacional é convertida em energia rotacional até a velocidade axial se anular. A partícula pode ser refletida pelo campo magnético no chamada efeito de espelho magnético.

144 Exercício Mostre que a condição para ocorrer o efeito de espelho magnético é:

145 Generalização do formalismo lagrangeano para a descrição do campo eletromagnético e interação com fontes Cada ponto do espaço-tempo x corresponde a um número finito de valores de índice discreto i. A variáveis dependentes são substituídas pelo valor do campo naquele ponto do espaço-tempo. As equações de movimento são obtidas a partir do príncipio de mínimo da integral de ação.

146 Integral de ação da densidade lagrangeana Desconsiderado o spin e os tempos de atraso, a lagrangeana para situações de natureza eletrostática, magnetostática ou interação entre partícular carregadas é SI CGS

147 Exercício Mostre que: e Resultando na equação de movimento do campo eletromagnético: Que remete ainda a:

148 Exercício Mostre que mediante as definições abaixo: Resulta numa densidade lagrangeana: Equivalente em notação vetorial não relativística à:

149 Exercício A estabilidade e a possibilidade de uma massa não exatamente nula para o fóton é ainda tema de debate [J. Heeck, Phys. Rev. Lett. 111 (2013) ]. Uma versão tratamento matemático exploratório disso é a lagrangeana proposta por Proca em Mostre que a partir dessa lagrangeana o parâmetro prevê uma massa de repouso para o fóton e um potencial elétrico tipo Yukawa: Obs: experimentos atestam por:

150 Exercício O efeito do atraso como correção de primeira ordem na lagrangeana clássica de interação entre partículas foi proposto por Charles Darwin (neto do biologista). Tal que Obtenha a lagrangeana de Darwin assumindo correções de baixa ordem nos potenciais escalar e vetor sob o calibre Coulomb.

151 Tensor de tensão e energia e leis de conservação na eletrodinâmica covariante Passando da formulação lagrangeana para a formulaçao hamiltonia que é mais diretamente conectada ao princípio de simetria do teorema de Noether. O fator do primeiro termo da soma é o momento de campo canonicamente conjugado à k (x) que multiplica o equivalente a velocidade. Então a idéia de transformação de Lorentz sugere a construção do tensor:

152 Lagrangeana do campo eletromagnético livre Tensor de tensão canônico: onde

153 Portanto, Além disso,

154 Por construção: Conservação da carga ou Equação da continuidade Obs.: nesse contexto é deixado de lado o problema da auto-energia eletromagnética clássica e o spin é totalmente desconsiderado. Válida no referencial em repouso onde os campos estão especificados.

155 Questão da simetria do tensor e o momento angular na eletrodinâmica Densidade de momento angular é um tensor de terceira ordem (#3): A sua cornservação implica em: 0 M é simétrico

156 Simetrização do tensor Como Tensor de tensão simetrizado

157 Por construção: Tal que: E

158 Exercício (a) Mostre que para = 0: (b) Mostre que para = i : onde é usado o vetor de Poynting:

159 Conservação do momento angular do campo O tensor M 0 contém a densidade de momento angular necessária para a generalização covariante do momento angular. como

160 Como e : Devido a contração de um tensor simétrico com um antisimétrico ser nula: Resultando

161 Densidade de força de Lorentz Em consequência: A variação da integral de ação devida as variáveis da partícula levam a equação de força de Lorentz, enquanto a devida as varíáveis de campo resultam nas equações de Maxwell.

162 Equação de onda na forma covariante 0 sob calibre de Lorentz Usando método de funções de Green generalizadas:

163 Método da transformada de Fourier

164 Método dos resíduos de Cauchy

165 Obs.:

166 Funções de Green avançadas e retardadas onde a função de Heaviside é e a distribuiçao de Dirac é

167 Campos de radiação

168 Conside a interação de um elétron puntiforme isolado no interior de uma esfera absorvedora ideal É razoável admitir que a força retardada governa a interação dele com os demais (n-1) elétrons. Mas, se admitirmos que causalidade faz sentido somente em sistemas complexos: F e = (1/2) (F r - F a ) Por que, não? D r = e ikR / (4 R) (1/2)(D r - D a ) = sin(kR) / (4 R) D a = e -ikR / (4 R) Nesse caso, é possível eliminar a divergência para R 0 quando o raio do elétron tender a zero. Além disso, (1/2) n (F r + F a ) = 0 para R > R. Análise e (n-1)e R

169 Logo A hipótese mais simples é admitir o campo eletromagnético linear em quadrivelocidade Assim, F deve ser antisimétrico com seis graus de liberdade: E e cB. onde E é a parte elétrica do campo eletromagnético de acordo com um observador com quadri-velocidade v. Como Análise A presença de um campo eletromagnético é observada a partir da quadri-aceleração a imposta a um elétron com quadri-velocidade v. Então, podemos admitir que:

170 Como Sendo V e A os vetores velocidade e aceleração instantâneas do elétron em relação ao observador com quadri-velocidade. Considerando o elétron em repouso em relação ao observador, tal que = v o ; temos : Aceleração e o Tensor de Maxwell Admitindo a linearidade do campo eletromagnético:

171 Eletrodinâmica no espaço-tempo curvo A métrica g não é mais constante, variando no espaço-tempo: Densidade lagrangeana da eletrodinâmica clássica no vácuo com fontes:

172 Observação: Partícula carregada submetida a campos de forças gravitacional e eletromagnético 4 x 4 x 4 campo de força gravitacional


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