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Outubro de 2005 Sistemas Digitais 1 Circuitos combinatórios típicos: circuitos aritméticos Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho SISTEMAS DIGITAIS.

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1 Outubro de 2005 Sistemas Digitais 1 Circuitos combinatórios típicos: circuitos aritméticos Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho SISTEMAS DIGITAIS

2 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais2 Circuitos aritméticos Circuitos aritméticos são aqueles que realizam operações aritméticas sobre números binários Circuitos aritméticos são aqueles que realizam operações aritméticas sobre números binários O circuito aritmético mais simples é o que soma números de apenas 1 bit O circuito aritmético mais simples é o que soma números de apenas 1 bit Basta partir da conhecida tabela da soma binária para o obter um semi-somador Basta partir da conhecida tabela da soma binária para o obter um semi-somador

3 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais3 Semi-somador Tabela de verdade lógica de um semi- somador Tabela de verdade lógica de um semi- somador ABSomaTransporte A+BA=0A=1B=001 B=1110

4 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais4 Semi-somador Logigrama de um semi-somador Logigrama de um semi-somador ABSomaTransporte O nome semi-somador vem do facto de este circuito não permitir somar o transporte que venha de bits de menor peso O nome semi-somador vem do facto de este circuito não permitir somar o transporte que venha de bits de menor peso

5 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais5 Somador Completo A um somador de 1 bit que tenha em conta o transporte de somas anteriores chama- se somador completo A um somador de 1 bit que tenha em conta o transporte de somas anteriores chama- se somador completo

6 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais6 Somador Completo Tabela de verdade lógica e equações Tabela de verdade lógica e equações ABC in SC out Porquê?

7 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais7 Somador Completo Logigrama de um somador completo Logigrama de um somador completo Semi-somadores

8 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais8 Somadores de n bits Assumindo blocos de somadores completos, é possível construir somadores de n bits Assumindo blocos de somadores completos, é possível construir somadores de n bits Exemplo: Um somador de 4 bits Exemplo: Um somador de 4 bits

9 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais9 Somadores de n bits Somador iterativo de 4 bits Somador iterativo de 4 bits C n-1 C n A n B n S n Somador completo C n-1 C n A n B n S n C C n A n B n S n C C n A n B n S n C C n A n B n S n A 01 A 2 A 3 AB 0 S 0 B 1 S 1 B 2 S 2 B 3 S 3 C i C o C0C0 C3C3 Estrutura iterativa (série)

10 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais10 Somadores de n bits Símbolo IEC de um somador sompleto de 4 bits CICO P Q S :

11 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais11 Subtracções O algoritmo da subtracção numa base qualquer é semelhante ao da adição O algoritmo da subtracção numa base qualquer é semelhante ao da adição Se o aditivo é maior ou igual ao subtractivo, faz-se a subtracção (em decimal) Se o aditivo é maior ou igual ao subtractivo, faz-se a subtracção (em decimal) Neste caso não é gerado transporte para a coluna seguinte Neste caso não é gerado transporte para a coluna seguinte Se o aditivo é menor do que o subtractivo, adiciona-se a base ao aditivo (em decimal) e só depois se faz a subtracção Se o aditivo é menor do que o subtractivo, adiciona-se a base ao aditivo (em decimal) e só depois se faz a subtracção Neste caso gera-se um transporte igual a 1 para a coluna seguinte Neste caso gera-se um transporte igual a 1 para a coluna seguinte

12 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais12 Subtracções Ex. na base 10 Ex. na base (10) - 7 (10) - 7 (10) 8 (10) 8 (10) Ex. na base 16 Ex. na base 16 B5 (16) B5 (16) - E (16) - E (16) A7 (16) A7 (16)

13 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais13 Números com Sinal A representação de números inteiros tem de ter em conta que os números podem ser positivos, negativos ou o número 0 A representação de números inteiros tem de ter em conta que os números podem ser positivos, negativos ou o número 0 Uma das alternativas é a representação por módulo e sinal, em que o bit mais significativo indica o sinal. Se esse bit for 1 o número é negativo, se for 0 é positivo Uma das alternativas é a representação por módulo e sinal, em que o bit mais significativo indica o sinal. Se esse bit for 1 o número é negativo, se for 0 é positivo

14 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais14 Números com Sinal Exemplo para números de 4 bits: Exemplo para números de 4 bits: Representação Número representado Representação

15 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais15 Módulo e sinal Inconvenientes: Inconvenientes: Duas representações diferentes para o zero Duas representações diferentes para o zero O módulo e o sinal são processados de forma diferente O módulo e o sinal são processados de forma diferente É necessário escolher a operação a realizar de acordo com a operação desejada e o sinal dos números envolvidos É necessário escolher a operação a realizar de acordo com a operação desejada e o sinal dos números envolvidos

16 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais16 Módulo e sinal Por exemplo: Por exemplo: Se pretendermos fazer a operação (+5) + (-3), o que é realmente necessário fazer é a subtracção 5-3 ficando o sinal positivo Se pretendermos fazer a operação (+5) + (-3), o que é realmente necessário fazer é a subtracção 5-3 ficando o sinal positivo Se o problema for realizar (-5) + (+3), então há que realizar também uma subtracção mas do módulo do número negativo menos o do positivo, isto é, 5-3, ficando depois o sinal negativo Se o problema for realizar (-5) + (+3), então há que realizar também uma subtracção mas do módulo do número negativo menos o do positivo, isto é, 5-3, ficando depois o sinal negativo

17 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais17 Módulo e sinal Obviamente, tudo isto complica a realização das operações (e, por consequência, dos circuitos) que tenham que realizar essas operações Obviamente, tudo isto complica a realização das operações (e, por consequência, dos circuitos) que tenham que realizar essas operações

18 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais18 Complemento para 2 Chama-se complemento para 2 n de um número X de n bits, ao resultado da operação 2 n – X Chama-se complemento para 2 n de um número X de n bits, ao resultado da operação 2 n – X Por exemplo, o complemento para 2 de 0101 é: Por exemplo, o complemento para 2 de 0101 é:

19 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais19 Complemento para 2 Se um número X tem n bits, então o seu complemento para 2 é representado por n bits Se um número X tem n bits, então o seu complemento para 2 é representado por n bits O complemento para 2 do complemento para 2 de um número X é X: O complemento para 2 do complemento para 2 de um número X é X: 2 n - (2 n – X) = X 2 n - (2 n – X) = X

20 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais20 Complemento para 2 Formas alternativas de encontrar o complemento para 2 de um número X: Formas alternativas de encontrar o complemento para 2 de um número X: Inverter todos os bits de X e somar 1 ao resultado Inverter todos os bits de X e somar 1 ao resultado Manter todos os 0s menos significativos e ainda o primeiro 1 de X, e inverter os restantes bits mais significativos Manter todos os 0s menos significativos e ainda o primeiro 1 de X, e inverter os restantes bits mais significativos

21 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais21 Complemento para 2 Na representação de números com sinal em complemento para 2, o bit mais significativo do número também indica o sinal Na representação de números com sinal em complemento para 2, o bit mais significativo do número também indica o sinal Se for 1 o número é negativo, se for 0 é positivo Se for 1 o número é negativo, se for 0 é positivo Na representação de números com sinal em complemento para 2 Na representação de números com sinal em complemento para 2 Um número positivo é representado pelo seu módulo (como na notação de sinal e módulo) Um número positivo é representado pelo seu módulo (como na notação de sinal e módulo) Um número negativo é representado pelo complemento para 2 do seu módulo Um número negativo é representado pelo complemento para 2 do seu módulo

22 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais22 Complemento para 2 Por exemplo, o número +6 é representado em notação de complemento para 2 com 4 bits por 0110, e o número -6 é representado por 1010: Por exemplo, o número +6 é representado em notação de complemento para 2 com 4 bits por 0110, e o número -6 é representado por 1010: 6 = 0110 complementando bit a bit, = 1010 = -6 6 = 0110 complementando bit a bit, = 1010 = -6 Repare-se que a determinação do complemento para 2 de um número positivo de n bits deixa automaticamente o bit de sinal a 1 Repare-se que a determinação do complemento para 2 de um número positivo de n bits deixa automaticamente o bit de sinal a 1

23 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais23 Complemento para 2 Os 16 números possíveis de representar em complemento para 2 com 4 bits são: Os 16 números possíveis de representar em complemento para 2 com 4 bits são: Representação Número representado Representação

24 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais24 Complemento para 2 O intervalo de representação em complemento para 2 é O intervalo de representação em complemento para 2 é [-2 n-1, +2 n-1 -1] Com 4 bits dá [-8,+7] Com 4 bits dá [-8,+7] Com 5 bits dá [-16,+15]. Etc. Com 5 bits dá [-16,+15]. Etc. A razão da assimetria entre o número de positivos e o de negativos radica no facto de não haver duas representações para o 0 nesta notação A razão da assimetria entre o número de positivos e o de negativos radica no facto de não haver duas representações para o 0 nesta notação

25 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais25 Complemento para 2 Com esta representação, pode operar-se sobre os números como em binário puro Com esta representação, pode operar-se sobre os números como em binário puro O bit de transporte que resultar para além do último deve ser descartado O bit de transporte que resultar para além do último deve ser descartado Não precisamos de nos preocupar com o bit de sinal dos operandos e do resultado Não precisamos de nos preocupar com o bit de sinal dos operandos e do resultado Desde que o resultado caiba em n bits, ele está correcto Desde que o resultado caiba em n bits, ele está correcto

26 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais26 Complemento para 2 Exemplos Exemplos Soma de 2 positivos (+2) + (+5) = Soma de 2 negativos (-2) + (-5) = -7 Ignora-se o transporte porque sai dos 4 bits utilizados na representação

27 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais27 Complemento para 2 Exemplos Exemplos Soma de 1 positivo com 1 negativo com resultado negativo Soma de 1 positivo com 1 negativo com resultado positivo (+5) + (-3) = (+2) + (-5) = Ignora-se o transporte porque sai dos 4 bits utilizados na representação

28 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais28 Complemento para 2 Quando a operação envolve dois números com o mesmo sinal, é possível que o resultado não possa ser representado com o número de bits disponível. Quando a operação envolve dois números com o mesmo sinal, é possível que o resultado não possa ser representado com o número de bits disponível. Porque não cabe em n bits Porque não cabe em n bits A esta situação chama-se OVERFLOW A esta situação chama-se OVERFLOW

29 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais29 Complemento para 2 Por exemplo, = 9, que não é representável com 4 bits em notação de complemento para 2 Por exemplo, = 9, que não é representável com 4 bits em notação de complemento para 2 O resultado é incoerente pois dá, em notação de complemento para 2, um número negativo: (-7)

30 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais30 Complemento para 2 O overflow nunca ocorre em operações de adição entre números com sinal contrário. O overflow nunca ocorre em operações de adição entre números com sinal contrário. Prova-se que o overflow ocorre sempre que o transporte para o bit de sinal é diferente do transporte para o exterior dos n bits Prova-se que o overflow ocorre sempre que o transporte para o bit de sinal é diferente do transporte para o exterior dos n bits

31 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais31 Complemento para 2 Geometricamente temos Geometricamente temos

32 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais32 Somador/Subtractor binário Em complemento para 2, realizar a subtracção x-y é o mesmo que realizar a soma x + (-y) Em complemento para 2, realizar a subtracção x-y é o mesmo que realizar a soma x + (-y) Mas para isso precisamos de obter o simétrico do subtractivo nessa notação Mas para isso precisamos de obter o simétrico do subtractivo nessa notação no fundo, obter o complemento para 2 do subtractivo no fundo, obter o complemento para 2 do subtractivo

33 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais33 Somador/Subtractor binário Se o conseguirmos fazer de forma fácil, apenas precisamos de um somador para fazer somas e subtracções em notação de complemento para 2 Se o conseguirmos fazer de forma fácil, apenas precisamos de um somador para fazer somas e subtracções em notação de complemento para 2 Para obter o complemento para 2 do subtractivo fazemos: Para obter o complemento para 2 do subtractivo fazemos: Obtemos o seu complemento para 1, por troca de 1s com 0s (usando um conjunto de XORs) Obtemos o seu complemento para 1, por troca de 1s com 0s (usando um conjunto de XORs) Somamos 1 ao resultado que obtivermos Somamos 1 ao resultado que obtivermos

34 Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Outubro de 2005Sistemas Digitais34 Somador/Subtractor binário CI CO P Q S =1 A B Resultado Controlo Controlo Operação A + B A - B


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