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4 2 5 1 0011 0010 UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA Unidade II SISTEMAS LINEARES.

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA Unidade II SISTEMAS LINEARES

2 Introdução

3 A resolução de sistemas lineares pode surgir em diversas áreas do conhecimento. O caso geral, em que o sistema linear envolve m equações com n incógnitas, o sistema pode apresentar uma única solução, infinitas soluções ou não admitir solução. Neste capítulo vamos analisar esquemas numéricos para soluções de sistemas lineares de n equações com n incógnitas, supondo que este tenha uma única solução:

4 Os métodos de resolução de equações lineares são classificados em: Métodos Diretos - fornecem a solução exata de um sistema linear, a menos dos erros de máquina, através da realização de um número finito de operações. Métodos Iterativos – fornecem uma seqüência de aproximações para a solução X a partir de uma solução inicial X (0). O sistema é representado por A x = b onde a ij são os coeficientes, x j são as incógnitas e os b j são os termos independentes.

5 Métodos Iterativos

6 Métodos Iterativos Vamos considerar um sistema linear AX = b, onde: A: matriz de coeficientes, n x n; X =(x 1, x 2,..., x n ) t : vetor de variáveis, n x 1 b: vetor independente, n x 1 (constantes) Tal sistema linear pode ser escrito na forma equivalente: X = CX + d onde: C: matriz com dimensões n x n; d: vetor com dimensões n x 1;

7 Partindo de um vetor X (0) (vetor aproximação inicial), constrói-se uma seqüência iterativa de vetores: Primeira aproximação De um modo geral, a aproximação X (k+1) é dada por: Segunda aproximação k = 0, 1, 2,... OBSERVAÇÃO: k é chamado de índice de iteração. Sendo um processo iterativo, necessitamos de um critério de parada. E para isto temos que ter uma medida entre as aproximações X (k+1) e X (k). Para isto vamos usar o conceito de norma de matrizes. X (1) = CX (0) + d X (2) = CX (1) + d

8 Definição: Uma norma em é uma aplicação que satisfaz as seguintes propriedades: As normas matriciais mais usadas são:

9 Além disso, as normas satisfazem as seguintes propriedades: A norma vetorial pode ser vista como um caso particular da norma matricial, onde um vetor é equivalente a uma matriz de ordem.Com isto temos as normas de vetores dadas por:

10 onde X é a solução do sistema linear. O conceito de norma nos permite definir convergência de uma seqüência de vetores {X k }. Dizemos que X (k) X se

11 Com isto podemos definir os critérios de parada: Dado um

12 Critério de convergência

13 Seja. uma norma qualquer de matriz. Se C <1 o processo iterativo X (k+1) =CX (k) +d fornecerá uma seqüência {X (k) } convergente para a solução do sistema AX = b. Critério de convergência Sendo o erro em cada iteração dado por e (k) =X (k) – X e usando as propriedades de norma segue que: Demonstração: Seja X solução do sistema. Então: X = CX + d. Subtraindo membro a membro de X = CX + d e X (k+1) =CX (k) +d tem-se:

14 Logo a seqüência {X (k) } converge para a solução do sistema X se e isto ocorre se a matriz C satisfaz a condição Quanto menor || C || mais rápido a convergência do processo.

15 Método iterativo de Gauss-Jacobi

16 Seja o sistema linear: Supondo, isole a coordenada x i do vetor X, na i-ésima equação, da seguinte forma:

17 Desta forma, tem-se o sistema equivalente X = CX + d, onde e Dada uma aproximação inicial: X (0) o Método de G.Jacobi consiste em obter seqüência: X (1), X (2),..., X (k) através da relação recursiva: X (k+1) =CX (k) +d.

18 Observe que o processo iterativo utiliza somente estimativas da iteração anterior. Assim,

19 Método iterativo de Gauss-Seidel

20 Observando as equações de iteração no método de Jacobi ou seja nota-se que na iteração de ordem (k+1) são usadas as componentes x j (k) da iteração anterior.

21 No Método de Gauss-Seidel para calcular a componente x j da iteração (k+1), utiliza-se as componentes já atualizadas x 1 (k+1), x 2 (k+1),..., x j-1 (k+1) e as componentes ainda não atualizadas da iteração anterior x j+1 (k), x j+2 (k),..., x n (k). x 1 (k+1) = (b 1 - a 12 x 2 (k) - a 13 x 3 (k) - a 13 x 3 (k) a 1n x n (k) x 2 (k+1) = (b 2 - a 21 x 1 (k+1) - a 23 x 3 (k) – a 24 x 4 (k) a 2n x n (k) x 3 (k+1) = (b 3 - a 31 x 1 (k+1) - a 32 x 2 (k+1) – a 34 x 4 (k) a 3n x n (k). x n (k+1) = (b n - a n1 x 1 (k+1) - a n2 x 2 (k+1) – a n3 x 4 (k+1) a nn-1 x n-1 (k+1)

22 Interpretação Geométrica do Método de Gauss-Seidel Considere o sistema linear 2 x 2 dado pelas equações abaixo e geometricamente representados pela retas r 1 e r 2. r2r2 r1r1 y x Temos:

23 Inicie no ponto (x 1 0, x 2 0 ) = (0,0). Para determinar (x 1 1, x 2 0 ), substitua na reta r 1 o valor x 2 0, ou seja mova ao longo da reta horizontal iniciando no ponto (0, 0) até encontrar a reta r 2. O próximo ponto (x 1 1, x 2 1 ), é determinado movendo-se ao longo de uma reta vertical iniciando no ponto (x 1 1, x 2 0 ) até encontrar a reta r 1. Continuando desde modo, aproxima-se sucessivamente da solução do sistema, no caso da seqüência ser convergente. r2r2 r1r1 y x

24 y x r2r2 r1r1

25 Critério de Sassenfeld

26 Seja o sistema linear e para j = 2, 3,..., n. definindo:

27 Define-se Se β<1, então o Método de Gauss-Seidel gera uma seqüência convergente para a solução do sistema, qualquer que seja o vetor inicial. Além disso, quanto menor for o valor de β mais rápida é a convergência.

28 Métodos diretos

29 Os Métodos Diretos são aqueles que após um número finito de operações fornecem a solução exata do sistema, a menos dos erros de arredondamentos. Definição: Dois sistemas lineares são equivalentes se estes tem a mesma solução. Podemos obter um sistema equivalente ao dado, efetuando as seguintes operações elementares: Trocar duas equações; multiplicar uma equação por uma constante; somar uma equação a outra multiplicada por uma constante;

30 Sistema Triangular Superior Denomina-se sistema triangular superior a todo sistema Ax =b em que a ij = 0, para j < i.

31 Método de Eliminação de Gauss

32 O Método de Eliminação de Gauss consiste em transformar um sistema linear Ax= b em um sistema triangular superior equivalente. Considere o sistema linear: onde det(A) 0, isto é, o sistema admite uma única solução.

33 O sistema linear pode ser representado na forma de matriz estendida [ A 0 | b 0 ], ou seja: onde o índice superior indica a etapa do processo. Etapa 1 Eliminar a incógnita x 1 das equações k = 2, 3,..., n. Sendo a 11 (0) 0, subtraímos da linha k a primeira linha multiplicada por:

34 Os elementos m k1 são chamados de multiplicadores e o elemento a 11 (0) é chamado de pivô da Etapa 1. Indicando a linha k da matriz por L k (0), esta etapa se resume em: Ao final desta etapa tem-se: que representa um sistema linear equivalente ao sistema original, onde a incógnita x 1 foi eliminada das equações k = 2, 3,..., n.

35 Etapa 2 Eliminar a incógnita x 2 das equações k = 3, 4,..., n. Supondo que a 22 (1) 0, vamos tomar este elemento como pivô desta etapa e desta forma os multiplicadores são dados por A eliminação segue com as seguintes operações sobre as linhas:

36 obtendo ao final da etapa a matriz Com procedimentos análogos ao das etapas 1 e 2 elimina-se as incógnitas x k das equações k + 1, k + 2,..., n e ao final de n -1 etapas tem-se a matriz:

37 Esta matriz representa um sistema triangular superior equivalente ao sistema original. Logo a solução deste sistema, obtido pela Retro-Solução (substituição regressiva), é solução do sistema original.

38 Assim,

39 Pivotamento Parcial

40 Em cada etapa k da eliminação temos o cálculo do multiplicador Se o pivô |a kk (k-1 )| << 1, ou seja, próximo de zero, os erros de arredondamento se tornam significativos, pois operar números de grandezas muito diferentes aumenta os erros. A estratégia de pivotamento parcial é baseada na operação elementar: Trocar duas equações. No início de cada etapa k escolhemos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes a kk (k-1) para i = k, k + 1,..., n.

41 Inversão de matrizes pelo método de Gauss

42 Vamos supor que desejamos resolver os sistemas lineares Ax = b 1, Ax = b 2, Ax = b k, onde a matriz A é a mesma para todos os sistemas. A matriz triangular superior, resultante do processo de eliminação, não depende do vetor b e portanto será a mesma em qualquer um dos sistemas. Assim podemos resolver estes sistemas num único processo de eliminação usando a matriz estendida (A |b 1 |b 2 |...| b k ) e aplicando a Retro-Solução para cada vetor b k.

43 O Cálculo da inversa de uma matriz é um caso particular do esquema acima. A inversa de uma matriz A R nxn, denotada por A -1, é uma matriz n x n tal que AA -1 = I Como exemplo vamos considerar uma matriz A de dimensão 3 3 cuja a inversa A -1 é dada por

44 Logo tem-se:

45 Portanto cada coluna k da inversa da matriz A é solução de um sistema linear, onde o vetor dos termos independentes é a k -ésima coluna da matriz identidade, isto é

46 Portanto, se temos uma matriz n x n, podemos achar a inversa resolvendo n sistemas lineares, representados pela matriz estendida (A | b 1 | b 2 |... | b k ), onde os vetores b k são os vetores unitários ( 1 na posição k e zeros nas demais posições).


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