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Prof.: Sergio Wagner. Diagramas, modelos e representações. Conjuntos dos números Naturais e Inteiros: 2-3-4-5CD... 015234BA.

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1 Prof.: Sergio Wagner

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3 Diagramas, modelos e representações. Conjuntos dos números Naturais e Inteiros: 2-3-4-5CD... 015234BA

4 N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5,...} Z= {...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} -2 -3 -4 -5 Z 1 2 0 3 4 5 N

5 GEOMETRIA DE EUCLIDES A princípio os números foram criados somente para contar objetos, mas a partir de Euclides eles se tornaram medidas. Um, 1, ou unidade, é a menor medida dos números naturais. 2 3 4 10...

6 1 -1 2-2 7-7 O sinal indica o sentido de uma seta.

7 Na reta o sinal indica para que lado andamos a partir da Origem (o zero). Para direita os positivos e para esquerda os negativos. 0 O 132456-3-2-4-65...

8 0 O 132456-3-2-4-65... 3 + 1 = 4 + (-5) = +== 4 + = = -1 (-6) + 2 = + = = -4

9 O conjunto dos racionais (Quociente), é difícil de ser explicado quando pensamos nos números como quantidade mas com a representação deles como distância isso se torna fácil e intuitivo. = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...} = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} = { x a,b / x = a ÷ b, b 0} = {..., -2,..., -3/2,..., -1,..., 0, 1/5,...} 1 2 5 3 -6 -10 -3 -8 09 78 -25 1212 -4 7 21 6 -41 10

10 O conjunto dos números racionais são, então, divisões de números inteiros. Algumas PROPRIEDADES são importantes ressaltar: Inverso multiplicativo: Todo número racional tem um inverso multiplicativo racional, com exceção do número zero. x *, y * / x y = 1 Fácil verificar que este número é a divisão de um por x;. 1x1x

11 Expansão decimal: Todo número racional tem uma expansão decimal periódica. Na segunda notação da dízima, a barra indica o período a ser repetido infinitamente. Isto remete-se também a Euclides, utilizamos o Algoritmo de divisão de Euclides (o método de armar divisão já aprendido) para obter esta expansão.

12 0 5 3 0 0 0 1 5 0 87 4 42 2 6 0, Algoritmo de divisão de Euclides e expansão decimal: 1717 Temos o número em forma fracionária, e vamos transformá-lo em um número decimal: Primeira coisa a observar é que o resto de uma divisão, no algoritmo, deve sempre ser menor que o divisor. Neste caso há 7 números menores que 7; 1, 2, 3,4, 5, 6 e 0. Estes são todos os restos possíveis. Quando um resto for repetido na divisão, ele deixará o mesmo resto que antes e teremos uma repetição. O maior período em uma divisão por 7 é então, de 6 algarismos. Caso haja o resto zero a divisão é exata. 1 |7 _ 1 0 1 2 3 4 5 6...

13 Já que cada número tem uma e apenas uma expansão decimal, falta verificar se cada expansão decimal corresponde a um e apenas um número. Por termos dez dedos, nosso sistema numérico é decimal posicional. Isso significa que para cada posição temos dez possibilidades de valores. Funciona assim, como contagem; 10 x =

14 0,5 13 = 6,5 O QUE REALMENTE ISTO SIGNIFICA? Da direita para a esquerda, respeitando o agrupamento de 10 em 10, resolve-se a multiplicação como se tratasse de dois números inteiros e recoloca a vírgula.

15 A multiplicação pode ser entendida no sentido da comensurabilidade. Dois números são comensuráveis quando uma medida pode medir ambos sem falta. A medida ½ pode medir, 4 e 3,5. Portanto são comensuráveis entre si. Multiplicar 4 e 3,5 volta, então, ao problema mais simples de repetir a medida. 4 são 8 medidas de ½, logo 4 = 8. ½ 3,5 são 7 medidas de ½, logo 3,5 = 7. ½ Logo:

16 A divisão é mais intuitiva: é simplesmente tentar preencher um segmento com outro. E verificar quantas partes deste cabem naquele. Por exemplo, 10 ÷ 4 = 2,5 o quatro cabe duas vezes e mais sua metade(2) dentro do dez. ( 2 X 4 + 2 ) Não há restos na divisão de racionais, pois os números podem ser quebrados para que se possa dividir o resto.

17 A potenciação é também repetição, mas desta vez não da soma das distâncias, mas de quantas multiplicações se efetuam. n vezes

18 A radiciação é o oposto da potenciação. Esta operação é crucial para a medida de tamanhos, e frequentemente não tem resposta no conjunto racional. Apenas os quadrados perfeitos e números cujos numerador e denominador de sua forma irredutível forem quadrados perfeitos têm raiz quadrada racional. Os quadrados perfeitos são esparsos, como podemos ver na seguinte seqüência: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900,...

19 Ora, o que isso significa? Há mais números com raízes inexatas do que números com raízes quadradas exatas. Até 900, apenas 30 números tinham estas raízes exatas. Se uma raiz é inexata, este número não pode ser escrito como fração de dois números inteiros e portanto não são racionais. São irracionais as raízes :

20 11 32 23 32 1313 1212 O + 0123456789 1616 2323 5656 Entre quaisquer dois racioanais, há outro racional. Na unidade temos: 1212 1414 3434 1818 7878 1 16 3838 5858 3 16 5 16 7 16 9 16 11 16 13 16 1 16 1 32 3 32 5 32 7 32 9 32 13 32 15 32 17 32 19 32 21 32 25 32 27 32 29 32 31 32

21 Em verdade, se construirmos uma reta com apenas os números irracionais, haveriam menos buracos e a reta seria consideravelmente mais densa. Pode-se dizer que há mais números irracionais do que racionais. 0 O 132456-3-2-4-65... 0 O 132456-3-2-4-65... A reta abaixo é densa. É a reta Real e representa todas as distâncias que podemos construir na natureza. Qualquer distância que construirmos arbitrariamente encontrará um ponto na reta.


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