SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

Apresentação em tema: "SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER"— Transcrição da apresentação:

1 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
O método que utilizamos para calcular os níveis eletrônicos desse sistema consiste inicialmente em resolver a equação de Schrödinger dependente do tempo através do uso da técnica chamada Split Operator, que iremos detalhar. Esse método foi usados inicialmente em dinâmica molecular e foi posteriormente adaptado para uso na matéria condensada. Este método consiste em se resolver a equação de Schrödinger dependente do tempo, escrita da forma a seguir

2 Cuja solução é dada por Como o Hamiltoniano não depende do tempo O método Split-Operator consiste na quebra do operador exponencial acima na forma mostrada abaixo

3 Com esta aproximação introduz-se um erro da ordem de dt3 devido à não comutatividade entre os operadores energia cinética e potencial. Eq. ( 1 ) e finalmente,

4 Devemos aplicar uma componente de cada vez. Chamando
o operador energia cinética poderá ser escrito como O erro cometido é de ordem 3 Eq. ( 2 )

5 Substituindo a Equação (2) na Equação (1)
Vamos reescrever a equação acima chamando Eq. ( 3 )

6 O lado direito da Equação (3) é conhecido, e desejamos calcular (z,t +dt) através do algorítimo de Thomas usando o esquema de diferenças finitas não-uniforme (EDFNU). Para isso vamos escrever a derivada segunda no EDFNU Eq. ( 4 ) Substituindo a Equação (4) na Equação (3) ficamos com

7 Em notação matricial

8 Resolvemos agora um sistema linear cuja matriz associada é uma matriz tridiagonal. Para resolver este sistema (A.x = b) vamos usar o algorítmo de Thomas. e finalmente,