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1 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER O método que utilizamos para calcular os níveis eletrônicos desse sistema consiste inicialmente em resolver a equação.

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1 1 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER O método que utilizamos para calcular os níveis eletrônicos desse sistema consiste inicialmente em resolver a equação de Schrödinger dependente do tempo através do uso da técnica chamada Split Operator, que iremos detalhar. Esse método foi usados inicialmente em dinâmica molecular e foi posteriormente adaptado para uso na matéria condensada. Este método consiste em se resolver a equação de Schrödinger dependente do tempo, escrita da forma a seguir

2 2 Cuja solução é dada por Como o Hamiltoniano não depende do tempo O método Split-Operator consiste na quebra do operador exponencial acima na forma mostrada abaixo

3 3 Com esta aproximação introduz-se um erro da ordem de dt 3 devido à não comutatividade entre os operadores energia cinética e potencial. e finalmente, Eq. ( 1 )

4 4 Devemos aplicar uma componente de cada vez. Chamando Eq. ( 2 ) o operador energia cinética poderá ser escrito como O erro cometido é de ordem 3

5 5 Substituindo a Equação (2) na Equação (1) Eq. ( 3 ) Vamos reescrever a equação acima chamando

6 6 Substituindo a Equação (4) na Equação (3) ficamos com O lado direito da Equação (3) é conhecido, e desejamos calcular (z,t +dt) através do algorítimo de Thomas usando o esquema de diferenças finitas não-uniforme (EDFNU). Para isso vamos escrever a derivada segunda no EDFNU Eq. ( 4 )

7 7 Em notação matricial

8 8 Resolvemos agora um sistema linear cuja matriz associada é uma matriz tridiagonal. Para resolver este sistema (A.x = b) vamos usar o algorítmo de Thomas. e finalmente,


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