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Robótica Prof. Reinaldo Bianchi Centro Universitário da FEI 2013.

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Apresentação em tema: "Robótica Prof. Reinaldo Bianchi Centro Universitário da FEI 2013."— Transcrição da apresentação:

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2 Robótica Prof. Reinaldo Bianchi Centro Universitário da FEI 2013

3 3 a aula Parte A 3ª aula completa para a graduação

4 Objetivos desta aula n Sistemas de Referência n Coordenadas Homogêneas. n Transformações entre sistemas de coordenadas. n Cinemática de manipuladores: –Modelo geométrico de um manipulador. –Modelo de Denavit-Hartenberg. –Cinemática direta. n Capítulos 2 e 3 de Introduction to Robotics, de J. J. Craig.

5 Introdução

6 n Para realizar o controle do manipulador é necessário o estudo do seu funcionamento mecânico. n Mecânica = –dinâmica + –estática + –cinemática!

7 Cinemática n Cinemática é o estudo do movimento dos robôs sem levar em conta as forças e as massas envolvidas. n Envolve apenas: –posição, –velocidade, –aceleração –e suas derivadas.

8 O problema central da cinemática n O problema central da cinemática é como definir a posição do robô: –Cinemática direta: A partir das posições das articulações, encontrar a posição e orientação da ferramenta no espaço cartesiano da base. –Cinemática inversa: Definir as posições das articulações, dada uma posição e orientação desejada para a ferramenta.

9 ... X Y Z O Base Atuador 1 2 i n p x, p y, p z Variáveis das Juntas Variáveis no espaço cartesiano x Direta Inversa (Juntas) (Cartesiano) O problema central

10 Solucionando a Cinemática n Para solucionar os problemas de cinemática direta e inversa, basta saber computar as relações matemáticas entre as posições de cada elo: –Adota-se um sistema de coordenadas por elo. –Utiliza-se conceitos de álgebra linear...

11 Descrições Espaciais e Transformações Capítulo 2 do Craig.

12 Descrições espaciais n Uma descrição é uma matriz utilizada para descrever os objetos com os quais um manipulador deve tratar. n A descrição de uma posição é uma matriz 3 x 1:

13 Descrições espaciais (II) n A descrição de uma orientação é uma matriz de rotação 3 x 3: n Denota a diferença entre a orientação desejada e um sistema de coordenadas qualquer:

14 Descrição de uma posição YAYA XAXA ZAZA {A} APAP

15 x 0 = x 1 + x f, y 0 = y 1 + y f. Translação XAXA ZAZA YAYA {A} ZBZB YBYB {B} XBXB APAP A P BORG BPBP

16 Rotação 2D XAXA YAYA YBYB XBXB x0x0 y0y0 x1x1 y1y1

17 Rotação 3D YAYA XAXA ZAZA XBXB ZBZB YBYB BPBP

18 Matrizes de rotação parciais 3D

19 De {A } para {B} {A}{A} XBXB αXαX αYαY αZαZ Pode-se concluir que:

20 Sistemas de Referências (Frames) n Um sistema de referência é uma descrição da posição e orientação de um objeto de maneira conjunta. n É composto por 4 matrizes, que eqüivalem a uma matriz de posição (origem do sistema) e uma matriz de rotação.

21 Sistemas de Referências (Frames) n Como visto na segunda aula, existem diversos sistemas de referências utilizados: –Sistema de coordenadas do mundo. –Sistema de coordenadas de juntas. –Sistema de coordenadas do ponto de montagem. –Origem do sistema: Centro do Atuador.

22 Sistema do mundo (Base)

23 Sistema da garra

24 Sistemas com nomes definidos. Base, Wrist, Tool, Station, Goal

25 Sistemas com nomes definidos.

26 x z y x z y Mapeamento entre 2 sistemas n A relação entre dois sistemas quaisquer é conseguida com uma translação e uma rotação.

27 Mapeamento n Se {A} possui a mesma orientação de {B}, então {B} difere de {A} por uma translação A P BORG: A P = B P + A P BORG n Mapeamento: a mudança de descrição de um frame para outro. n O vetor A P BORG define um mapeamento.

28 Mapeamentos gerais: Translação + Rotação 2D Qual a matriz que implementa esta transformação??? {A} XBXB YBYB ZBZB BPBP XAXA YAYA ZAZA APAP A P BORG

29 Matriz de transformação homogênea

30 Coordenadas Homogêneas n A matemática para implementar a composição de translação e rotação se torna complicada quando se deseja realizar diversas operações. n Fato comum em Álgebra Linear, usada em Robótica e Computação Gráfica. n Matrizes de transformações homogêneas permitem compor transformações de maneira elegante: –Rotações, Translações e Escalas. –Em qualquer dimensão do espaço.

31 Coordenadas Homogêneas Uma representação homogênea de um vetor n-dimensional utiliza um vetor com n+1 elementos. O vetor real é obtido dividindo-se todos os elementos pelo elemento n+1. O elemento n+1 é um fator de escala.

32 Matriz homogênea n Um conjunto de transformações no mundo 2D pode ser representada completamente por uma matriz 3 x 3:

33 3x3 rotation matrix 3x1 translation matrix perspective global scale Matriz de Transformação Homogênea 3D

34 Exemplo Um frame {B} se encontra rotacionado com relação a um frame {A} por 30 graus (sobre o eixo z ), e transladado de 10 unidades no eixo x e 5 unidades no eixo y. Dado que um ponto se encontra na posição (3,7) no frame {B}, onde ele se encontra no frame {A}?

35 n Dado que: n Usamos a definição e encontramos: Exemplo

36 Interpretações da matriz de transformação homogênea. n O mapeamento muda a descrição de um ponto de um sistema de coordenadas para o outro. n No mapeamento, o ponto não é modificado: somente sua descrição se altera.

37 Cinemática de manipuladores Capítulo 3 do Craig.

38 Definição mecânica de um manipulador Um manipulador pode ser representado por n corpos rígidos móveis e um corpo fixo, ligados por n juntas (ou articulações), formando uma estrutura de cadeia. n Teoria de elementos (ou corpos rígidos) é muito bem fundamentada na engenharia mecânica.

39 Definição mecânica de um manipulador n Um manipulador é uma cadeia cinética composta por: –Elos (Links): Os corpos da cadeia. –Juntas (Joints): As articulações entre os corpos. Conectam os elos e permitem a realização de movimentos de um elo em relação ao elo anterior.

40 Exemplo de manipulador: PUMA

41 Elos (Links) n Um elo (link) é um corpo rígido que define uma relação entre duas juntas adjacentes de um manipulador. n Elos são numerados em ordem crescente, iniciando pela base do manipulador: –A base imóvel é o elo 0 –A primeira parte móvel é o elo 1, –...

42 Numeração dos elos Elo 1 Elo 2 Elo 3 Elo 0

43 Juntas ou Articulações n Juntas (ou articulações) são definidas por vetores no espaço 3D: –A junta i é definida pelo vetor no espaço sobre o qual o elo i rotaciona (ou translada) em relação ao elo i - 1. –São numeradas a partir do primeiro elo.

44 Rotating pair – Revolute (R) Sliding pair – Prismatic (P) Juntas n Todas podem ser produzidas a partir de duas: Revolução (R) e Prismática (P)

45 Tipos de juntas n Revolução (R): –1 Dof (Rotação) n Prismática (P): –1 Dof (Translação) n Cilindrica (C): –2 Dof (Rotação + Translação) n Helicoidal (H) –1 Dof (Rotação/ Translação com acoplamento) n Planar (E) –2 Dof (Translação em 2 direções) n Esférica (S) –3 Dof (Rotação em 3 direções)

46 Seis possíveis juntas

47 Configuração de alguns robôs Cartesian: PPP Cylindrical: RPP Spherical: RRP SCARA: RRPArticulated: RRR Hand coordinate: n: normal vector; s: sliding vector; a: approach vector

48 Numeração das Juntas J 1 Junta 2 J 3 Junta 4 Junta 5 Junta 6 Elo 0 Elo 1 Elo 2 Elo 3

49 Parâmetros dos elos n Um elo é especificado por dois parâmetros que definem a posição relativa e a orientação dos eixos da junta incidente no elo: –O comprimento do elo (link lenght), denominado a. –A torção do elo (link twist), denominado.

50 Comprimento do elo a i-1 n O comprimento do elo é a distância entre os eixos das suas juntas ao longo de uma linha mutualmente perpendicular aos eixos das juntas. n Esta perpendicular mútua sempre existe e é única, exceto no caso onde os eixos das juntas são paralelos... –Neste caso existem infinitas perpendiculares de tamanho idêntico.

51 Torção do elo i-1 n A torção de um elo é o ângulo entre as projeções dos eixos das juntas em um plano cuja normal é mutualmente perpendicular aos eixos. Este ângulo é medido do eixo i-1 para o eixo i usando a regra da mão direita sobre a perpendicular mútua.

52 Parâmetros dos elos

53 Parâmetros das juntas Offset, d i –A distância ao longo do eixo da junta i entre as intercessões das perpendiculares mútuas com os eixos dos elos i-1 e i –Variável para juntas prismáticas. Ângulo de junta, i –O ângulo entre as perpendiculares mútuas incidentes no eixo da junta i. –Variável para juntas rotacionais.

54 Parâmetros elo e juntas

55 Notação de Denavit-Hartenberg n Metodologia que está se tornando padrão para calcular os parâmetros necessários do modelo cinemático. n O modelo de D-H permite obter a posição e a orientação da ferramenta. n O modelo D-H define completamente a cinemática do manipulador.

56 Notação de Denavit-Hartenberg n Um robô pode ser especificado ao se descrever os valores de 4 parâmetros para cada elo: –comprimento ( i-1 ), torção ( i-1 ), offset ( i ) e ângulo ( i ). n A definição da mecânica de um manipulador usando estes parâmetros segue a notação de Denavit-Hartenberg. n A Notação D-H especifica ainda...

57 O comprimento e a torção de um elo i dependem das juntas adjacentes. n Com isso, os términos da cadeia ficam indefinidos. n Por convenção, define-se: – Valores para a i e i dos elos 0 e n

58 Parâmetros da junta 1 n Se a junta 1 for prismática: – n Se a junta 1 for de rotação: –

59 Sistemas de referências n Cada corpo elementar (elo) da cadeia cinemática deve ser fixado em um sistema de referência (frame). n Existe uma convenção para anexar sistemas de referências aos elos, dada pela Notação D-H: –Frames são numerados de acordo com o elo ao qual ele está ligado. –Frame {i} está ligado ao elo i.

60 Designando referências aos elos O eixo Z i do frame {i} está alinhado como eixo da junta i. A origem do frame {i} está localizada no ponto onde a perpendicular a i intersecciona o eixo da junta i. O eixo X i do frame {i} está alinhado como a perpendicular a i na direção de i para i+1. Y i = Z i X i (use regra da mão direita).

61 ZiZi ZiZi Definição dos eixos Zi

62 Frames e elos

63 Elo n n+1 l nl n n Junta n+1 Junta n z nz n x nx n x n+1 z n+1 x nx n z nz n

64 Elo n-1 Elo n z n-1 y n-1 x n-1 znzn xnxn ynyn z n+1 x n+1 y n+1 dndn n n Junta n+1 lnln Junta n-1 Junta n l n-1

65 Designando referências aos elos: casos especiais Se a i = 0 (ou seja, os eixos se interceptam): –X i = Z i x Z i+1, isto é, X i é perpendicular aos eixos i e i+1 (Use a regra da mão direita).

66 Designando referências aos elos: primeiro elo O frame {0} é escolhido de maneira arbitrária: –escolha o eixo Z 0 alinhado com o Z 1, de maneira que o frame {0} e { 1} sejam iguais quando a variável da junta 1 for zero. –Neste caso: e d 1 = 0 se a junta 1 for de rotação, ou 1 = 0 se a junta 1 for prismática.

67 Designando referências aos elos: último elo n Se a junta for de revolução: –Escolha o eixo X n para coincidir com o X n-1 quando n = 0. –Escolha a origem do frame {n} de maneira que d n = 0. n Se a junta for prismática: –Escolha o eixo X n de maneira que n = 0. –A origem do frame {n} é a interseção de X n-1 e o eixo da junta n quando d n = 0.

68 Notação D-H a partir dos frames a i : a distância entre os eixos Z i e Z i+1 medida sobre o eixo X i. i : o ângulo entre os eixos Z i e Z i+1 medida sobre o eixo X i. d i : a distância entre os eixos X i-1 e X i medida sobre o eixo Z i. i : o ângulo entre os eixos X i-1 e X i medidos sobre o eixo Z i-1.

69 Resumo link-frame attachment (Craig, pg 77 da 2a. Edição ou 69 da 3a. Edição)

70 Exemplo 1: D-H para robô 3R

71 Y0Y0 ˆ Y1Y1 ˆ Y3Y3 ˆ Y2Y2 ˆ X0X0 ˆ X1X1 ˆ X2X2 ˆ X3X3 ˆ i i - 1 a i - 1 d i i L1L L2L2 0 3

72 Exemplo 2: Braço de Stanford

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74 1 2 3 Axes 4, 5, 6

75 X1X1 Y1Y1 Z1Z1 X2X2 Z2Z2 X3X3 Z3Z3 X4X4 X5X5 X6X6 Z4Z4 Z5Z5 Z6Z6 X7X7 Z7Z7 Braço de Stanford

76 iaiai didi i i 1a1b1b1 90° 1 2a2b2b2 90° 2 3a3b 3 ( var )90° 4a4090° 4 5a5b5b5 0°0° 5 6a6b6b6 0 6 Parâmetros D-H Stanford Arm

77 O Modelo cinemático de um manipulador

78 O modelo cinemático n Expressa a posição e a orientação do elemento terminal do robô em relação a um sistemas de coordenadas fixo a base, em função das coordenadas de juntas. n O modelo pode ser descrito por uma função que exprime o espaço cartesiano em função do vetor de coordenadas angulares.

79 O modelo cinemático n O mapeamento T consiste na expressão analítica da composição dos movimentos das juntas para realizar o movimento do elemento terminal do robô.

80 A transformação para um elo n Rotacione sobre X i-1 o ângulo i -1 n Translade sobre X i-1 a distância a i-1 n Rotacione sobre Z i o ângulo i n Translade sobre Z i a distância d i n Ou seja:

81 Transformação para um elo. Notação para diminuir o tamanho: sen = s cos = c

82 Joint n-1 Joint n Joint n+1 Link n-1 Link n z n-1 y n-1 x n-1 znzn xnxn ynyn z n+1 x n+1 y n+1 dndn n n lnln l n-1 n-1

83 Matriz cinemática n Relaciona o sistema de coordenadas solidárias à base do robô com o sistema de coordenadas associadas à sua ferramenta terminal. n Em coordenadas homogêneas. n Resulta do produto das matrizes de transformação de cada elo: –Transforma passo a passo.

84 Exemplo 3: Matriz Cinemática para o robô 3R

85 Matriz cinemática para o robô 3R

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88

89 E a ferramenta (ou o último elo)? L 3 ?????

90 E a ferramenta? L 3 ????? {End Effector} = {Tool}

91 Exemplo 3: Equação completa

92 Exemplo 4: Puma

93 first identify the six joint axis Modelo cinemático de um Puma

94 Then assign the z-axis of the coordinate frames (either along the joint axis) z 0 = z 1 z2z2 z3z3 z4z4 z5z5 z6z6 Modelo cinemático de um Puma

95 Then assign the x-axis of the coordinate frames for 1 –3 (either along the joint perpendicular or along the normal to the plane) x3x3 z4z4 z5z5 z6z6 x 0 = x 1 = x 2 a2a2 d3d3 Modelo cinemático de um Puma

96

97 Then assign the x-axis of the coordinate frames for 4-6 (either along the joint perpendicular or along the normal to the plane) a3a3 x5x5 y5y5 x6x6 z6z6 x3x3 y3y3 x4x4 z4z4 d4d4 Modelo cinemático de um Puma

98

99 i i-1 a i-1 didi i a2a2 d3d3 3 4 a3a3 d4d Parâmetros de elo e junta para o PUMA

100 Transformações para o Puma 0 T 1 = Trans(z, a 1 ) Rot(z, 1 ) 1 T 2 = Trans(x, a 2 ) Rot(x, 2 ) 2 T 3 = Trans(z, a 3 ) Rot(x, 3 ) 3 T 4 = Trans(z, a 4 ) Trans(y, -a 5 ) Rot(z, 4 ) 4 T 5 = Rot(x, 5 ) 5 T 6 = Rot(z, 6 ) x y z a1a a2a2 a3a3 a4a4 a5a5 5

101 Usando a equação generalizada: Computamos cada matriz de transformação de elo: Compute cada transformação

102 Multiplicando todas as matrizes individuais de links: Temos finalmente: Compute todas as individuais

103 Onde: Equações cinemáticas do PUMA

104 Cinemática direta

105 n Permite, a partir dos valores das coordenadas de juntas, calcular a posição do manipulador. n Usado para o controle do manipulador. n O problema: –Determine a posição da ferramenta dados os valores das juntas θ 1, θ 2, θ 3, θ 4, θ 5, … θ n n Solução: –Basta calcular a matriz cinemática.

106 3x3 rotation matrix 3x1 translation matrix perspective global scale Matriz cinemática… (revendo)

107 Exemplo algébrico: Robô 1R n O Robô 1R possui apenas uma junta rotacional… n É o pêndulo simples... L1L1 (x,y, ).

108 Equações para o Robô 1R Solução completa:

109 Equações para o Robô 2R (x,y, ) Solução completa:

110 REFERENCE POINT l 1 l 2 l (x,y) x y Equações para o Robô 3R Solução completa:

111 Palletizador da Adept. Equações para um robô PRRR Solução completa:

112 Conclusão n Modelagem do manipulador é relativamente simples. n Modelo D-H é uma receita de como modelar o robô. n Cinemática direta é simples. n A seguir: –Laboratório com Matlab!

113 How do I put my hand here? Fim… próxima aula (de teoria)…


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