A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

O mundo da simetria Reflectindo sobre desafios do PMEB Ana Maria Roque Boavida

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "O mundo da simetria Reflectindo sobre desafios do PMEB Ana Maria Roque Boavida"— Transcrição da apresentação:

1 O mundo da simetria Reflectindo sobre desafios do PMEB Ana Maria Roque Boavida

2 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 2 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Observando o PMEB tendo a simetria por horizonte

3 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 3 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Que imagens têm ou não têm simetria?

4 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 4 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetria: Que significado? Serão as mãos simétricas? Será a nossa cara simétrica? Serão os bonecos simétricos? Afinal, de que falamos quando falamos em simetria?

5 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 5 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Quando a imagem de uma figura, através de uma isometria diferente da identidade, coincide com a figura original, então a figura tem simetria. (Serra, 1993) Simetria: Que significado? A noção de simetria, sendo essencial em Matemática, não é exclusiva deste campo Simetria é uma ideia que o homem tem usado ao longo dos tempos para tentar compreender e criar ordem, beleza e perfeição. (Serra, 1993, p. 304, cit. Weyl) A noção de simetria é deveras importante em Matemática, nas artes visuais e em diversas ciências como a Cristalografia e a Física. (Oliveira, 1997, p. 70) Em geometria, simetria define-se em termos de isometrias

6 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 6 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetria: Estabilizando um significado Falar de simetria é falar de simetria de uma figura. Figura: um subconjunto de pontos do plano ou do espaço. Exs: Recta, rectângulo, esfera, desenho artístico,... (Bastos, 2006) Não tem sentido perguntar se as duas bonecas (duas figuras) são simétricas embora possa perguntar-se se a boneca (uma figura) tem simetria.

7 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 7 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetria de uma figura: Estabilizando um significado Simetria de uma figura F é uma particularidade dessa figura. Significa que existe uma isometria T do plano que deixa a figura invariante, isto é, tal que T (F ) = F. (adaptado de Bastos, 2006) Simetria de uma figura não é o mesmo que simetria axial de uma figura: a figura pode ter simetrias que não sejam axiais Manutenção da congruência e da posição O transformado da figura através da isometria coincide com a figura original: as figuras são geometricamente iguais e além disso ocupam a mesma posição no plano, mesmo que haja pontos que não coincidam com as suas imagens. Podem alguns ou todos os pontos da figura mudar de posição, mas a figura, como um todo, fica invariante. (Veloso, 1998, p. 182) Invariante significa globalmente invariante Focando-nos nas figuras do plano

8 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 8 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Revisitando isometrias a propósito de simetria Analisar a simetria de uma figura remete para investigar se há isometrias (diferentes da identidade) que a deixam invariante Isometria: Transformação geométrica que preserva as distâncias; as figuras do plano são transformadas noutras geometricamente iguais. Quatro tipos fundamentais de isometrias: Rotação Translação Reflexão Reflexão deslizante

9 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 9 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Revisitando isometrias a propósito de simetria 75º. O Rotação O peixe da esquerda rodou no sentido contrário aos ponteiros do relógio (sentido positivo), descrevendo um ângulo de vértice O e amplitude 75 graus. Rotação de centro O e amplitude 75 0

10 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 10 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Revisitando isometrias a propósito de simetria Rotação.O 75 0.O O 75º. Centro de rotação: pode ser um ponto da figura (meia volta) Centro de rotação: pode ser um ponto que não pertence à figura.O 270 0

11 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 11 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Revisitando isometrias a propósito de simetria Rotação de centro O e amplitude α é uma transformação geométrica tal que: qualquer que seja o ponto P do plano, a distância de O a P é igual à distância de O à imagem de P (P ); a amplitude do ângulo orientado definido por P, O e P é igual a α. Rotação de centro O e amplitude 90 0 F F Rotação

12 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 12 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Revisitando isometrias a propósito de simetria Numa translação todos os pontos de uma figura se deslocam na mesma direcção, no mesmo sentido e a mesma distância. Translação Translação associada ao vector

13 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 13 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Translação associada ao vector é uma transformação geométrica em que cada ponto O do plano é transformado num outro ponto O (imagem de O) em que O = O + Revisitando isometrias a propósito de simetria Translação F Translação da figura F associada ao vector

14 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 14 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Revisitando isometrias a propósito de simetria Cada ponto de uma figura e a sua imagem estão sobre uma recta perpendicular ao eixo de reflexão e a igual distância desse eixo. É como se o peixe e a estrela se estivessem a ver ao espelho... Reflexão Os eixos de reflexão podem, ou não ter pontos em comum com a(s) figura(s) eixo de reflexão

15 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 15 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Revisitando isometrias a propósito de simetria Reflexão de eixo s é a transformação geométrica que faz corresponder a cada ponto O do plano o ponto O (imagem de O) de tal modo que: a recta s é perpendicular a [O O] e passa pelo ponto médio de [O O] (ou s é a mediatriz de [O O]; se O pertence a s, a sua imagem coincide com O. Reflexão Reflexão da figura F de de eixo s s F

16 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 16 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Revisitando isometrias a propósito de simetria Reflexão deslizante Transformação geométrica que resulta da composição de uma reflexão de eixo s com uma translação cujo vector tem direcção paralela a s. O imagem de O através da reflexão deslizante associada a s e ao vector s F

17 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 17 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Retomando a ideia de simetria de uma figura De entre as aplicações mais interessantes das transformações e grupos de transformações estão as relacionadas com questões de simetria. Existindo muitas espécies de simetrias no plano e no espaço (...). (Oliveira, 1996, p. 187) Simetria de reflexão (ou simetria axial) Simetria de rotação (ou simetria rotacional) Simetria de translação Simetria de reflexão deslizante Há uma simetria para cada um dos quatro tipos de isometrias referidos. ( Serra, 1993, p. 305)

18 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 18 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetria de reflexão de uma figura Existe, pelo menos, uma reflexão que deixa a figura globalmente invariante Como a reconhecemos? Várias hipóteses... Se conseguirmos dobrar a figura de tal modo que as duas partes obtidas se sobreponham exactamente; Se conseguirmos colocar um espelho ou mira sobre a figura de modo a que a junção da parte reflectida com a não reflectida seja exactamente igual à figura toda; Se recortarmos a figura e conseguirmos preencher exactamente o buraco que fica na folha com a parte recortada mas virada ao contrário (com a parte de baixo do papel virada para cima);...

19 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 19 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetria de reflexão de uma figura Por vezes a simetria de reflexão é designada por simetria axial; o eixo de reflexão também se pode designar por eixo de simetria ou linha de simetria. (Serra, 1993, p. 305) Eixo de simetria? 1 eixo de simetria? eixos de simetria

20 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 20 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetria de reflexão de uma figura Eixo de simetria? 1 eixo de simetria6 eixos de simetria0 eixos de simetria2 eixos de simetria4 eixos de simetria Eixo de simetria de uma figura: Recta (sobre a qual se faz a dobra ou se coloca o espelho/mira…) que divide a figura ao meio de modo que uma metade da figura seja a reflexão da outra metade. Caso contrário, a recta não é eixo de simetria.

21 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 21 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Figura com simetria rotacionalFigura sem simetria rotacional Simetria rotacional de uma figura Existe, pelo menos, uma rotação com uma amplitude superior a 0 0 e inferior a que deixa a figura globalmente invariante. Só neste caso se admite também uma simetria rotacional associada a um ângulo de Se conseguirmos girar a figura em torno de um ponto fixo, de modo a que a imagem resultante, através da rotação, coincida com a figura original. Como a reconhecemos? (ou qualquer outro tipo de simetria)

22 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 22 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetria rotacional de uma figura Que simetrias rotacionais tem a figura? C: Centro da simetria rotacional (ponto em torno do qual a figura roda) C Ângulo da simetria rotacional: ângulo orientado que descreve o movimento da figura. Três quartos de volta (270º) Uma volta inteira (360º) Um quarto de volta (90º) Meia volta (180º)

23 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 23 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetria de translação de uma figura Existe, pelo menos, uma translação que deixa a figura globalmente invariante Como a reconhecemos? Se podemos movimentar a figura segundo uma dada distância e uma dada direcção (identificadas pelo vector da translação) de tal modo que o seu transformado coincide com a figura original Se a figura for infinita, existe essa possibilidade…

24 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 24 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetria de reflexão deslizante de uma figura Existe, pelo menos, uma reflexão deslizante que deixa a figura globalmente invariante Como a reconhecemos? Se, por exemplo, depois de desenharmos a figura em papel transparente, de virarmos o papel ao contrário em torno de uma determinada recta e de o deslocarmos segundo a direcção dessa recta, conseguirmos que o transformado da figura coincida com a figura original. Se a figura for infinita, existe essa possibilidade…

25 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 25 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Em busca de simetrias de figuras O estudo das simetrias das figuras constitui uma aplicação muito interessante das isometrias que permite desenvolver o conhecimento matemático destas transformações geométricas e fornecer, consequentemente, ferramentas que podem ser muito úteis na resolução de problemas geométricos. (...) Potencialidades (Bastos, 2006, p. 11) Conhecimento matemático Resolução de problemas Conhecimento matemático Comunicação e raciocínio Conexões matemáticas O conceito de simetria pode ser também a base para actividades de descrição e classificação de figuras geométricas, de argumentação/demonstração (…) A análise de objectos artísticos ou de cristais através das suas simetrias são actividades que estabelecem ligações entre a matemática e outros domínios do saber (...)

26 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 26 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias de polígonos Que simetrias existem num quadrado? DC B A

27 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 27 PFCM 2010/2011 ESE/IPS 90º B C D Simetrias de polígonos Que simetrias existem num quadrado? Simetrias de reflexão Simetrias rotacionais 4 Com centro no ponto de encontro das diagonais do quadrado e amplitudes 90 0, 180 0, e Eixos de simetria: 2 rectas que contêm as diagonais do quadrado e 2 rectas que passam pelos pontos médios de lados opostos

28 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 28 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias de polígonos Exemplo de material de apoio à exploração de simetrias em polígonos

29 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 29 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Exemplos de rosáceas Figuras compostas por diversos módulos geometricamente iguais que se repetem por rotação. O centro de rotação é sempre o mesmo ponto, a amplitude da rotação é sempre a mesma e a divisão entre e a medida desta amplitude é exacta. Rosáceas Existe sempre um ponto do plano que é fixo para o grupo de simetria da figura (conjunto das transformações de simetria da figura). Têm sempre simetrias rotacionais, podendo ter também simetrias de reflexão.

30 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 30 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Que simetrias existem nestas rosáceas? Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas assinala o centro de simetria (ou centro de rotação) da figura Identificar

31 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 31 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Que simetrias existem nestas rosáceas? Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Simetria de reflexão 2 eixos de simetria – lado/lado Simetria rotacional R rotação de R 2 rotação de (identidade) R rotação de 60 0 R 2 rotação de R 3 rotação de R 4 rotação de R 5 rotação de R 6 rotação de (identidade) Só simetria rotacional Simetria de reflexão e simetria rotacional Identificar assinala o centro de simetria (ou centro de rotação) da figura

32 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 32 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Exemplo de um recurso tecnológico de apoio à construção de rosáceas: o scratch Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Motivo simples

33 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 33 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Exemplo de um recurso tecnológico de apoio à construção de rosáceas: o scratch Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Motivo simples

34 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 34 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Exemplos de frisos As barras cinzentas ou os motivos incompletos, indicam que a figura se prolonga indefinidamente para a esquerda e para a direita Figura infinita caracterizada por apresentar sempre simetrias de translação com a mesma e uma só direcção. No friso, o grupo de simetria fixa uma recta. Pode haver outras simetrias para além das de translação Friso Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos

35 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 35 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Que simetrias existem neste friso? Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Identificar recta horizontal Nomenclatura adoptada recta vertical

36 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 36 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Que simetrias existem neste friso? Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos De translação. Por exemplo, translações associadas aos vectores e. De reflexão de eixo horizontal Identificar recta horizontal Nomenclatura adoptada recta vertical

37 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 37 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Que simetrias existem neste friso? Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Identificar

38 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 38 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Que simetrias existem neste friso? Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos De reflexão de eixo horizontal De reflexão de eixos verticais De translação da figura associadas a vectores com a direcção de e comprimento múltiplo do deste vector. Identificar

39 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 39 PFCM 2010/2011 ESE/IPS A partir de um motivo simples podem-se construir frisos muito diversos usando isometrias Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Motivo simples Construir [A´, B, C, D] imagem do motivo simples através de uma reflexão de eixo r. A B C D [A´, B, C, D] imagem de [A´, B, C, D] através de uma translação de vector paralelo ao eixo de reflexão (recta r). A B C D A B C D Nota: O motivo simples é, por vezes, designado por módulo r

40 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 40 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Construir (continuação) Obtém-se o friso Simetrias do friso: de translação e de reflexão deslizante Através de translações sucessivas da figura

41 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 41 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Investigar Investigar que tipos de frisos existem (...) [é] perceber que estruturas de frisos existem e, para isso, devemos investigar que grupos de simetria podem ter os frisos (...) [trata-se] de procurar uma classificação dos frisos baseada nos respectivos grupos de simetria. (Veloso, 1998, p. 202) Que tipos de frisos há?

42 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 42 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Tipo 1: gerado por translação Investigar Tipo 2: gerado por reflexão de eixo horizontal e translação Motivo simples Motivo composto

43 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 43 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Tipo 3: gerado por reflexão de eixo vertical e translação Tipo 4: gerado por reflexão de eixo horizontal, reflexão de eixo vertical e translação Investigar Motivo simples Motivo composto

44 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 44 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Tipo 5: gerado por rotação de e translação Investigar Motivo simples

45 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 45 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Tipo 6: gerado por reflexão deslizante e translação Investigar Motivo simples

46 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 46 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Tipo 7: gerado por reflexão de eixo vertical, reflexão deslizante e translação Há apenas sete tipos de frisos... Investigar Motivo simples Motivo composto

47 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 47 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetria: A busca de equilíbrio, harmonia, beleza... (Alcazar, Sevilha)

48 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 48 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Bibliografia e outros materiais consultados Bastos, R. (2006). Notas sobre o Ensino da Geometria do Grupo de Trabalho de Geometria da APM – Simetria. Educação Matemática, 88, Bastos, R. (2007). Notas sobre o ensino da Geometria: Transformações geométricas. Educação e Matemática, 94, Deledicq, A. & Raba, R. (1997). Le monde des pavages. Paris: ACL- Éditions. Devlin, K. (2002). Matemática: A ciência dos padrões. Porto: Porto Editora. Hargittai, I. & Hargittai, M. (1994). Symmetry: A unifying concept. Bolinas, California: Shelter Publications. Haylock, D. (2001). Mathematics explained for primary teachers. London: Sage. Musser, G., Burger, W. (1997). Mathematics for elementary teachers: A contemporary approach (4ª ed.). Upper Saddle River: Prentice-Hall. Oliveira, A. (1997). Transformações geométricas. Lisboa: Universidade Aberta. Serra, M. (1993). Discovering geometry: An inductive approach. Berkeley: Key Curriculum Press. Veloso, E., Bastos, R. & Figueirinhas, S. (2009). Notas para o ensino da Geometria: isometrias e simetria com materiais manipuláveis. Educação e Matemática, 101, Veloso, E. (1998). Geometria. Temas actuais. Lisboa: Instituto de Inovação Educacional

49 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 49 PFCM 2010/2011 ESE/IPS Bibliografia e outros materiais consultados Documentos não publicados Conjunto de slides elaborados por Ana Maria Boavida para a conferência Revisitando simetrias e isometrias no plano... a propósito do PMEB realizada no âmbito do PFCM da Universidade de Évora (Julho de 2010). Conjunto de slides sobre Simetrias de uma figura e isometrias no plano elaborados por Ana Maria Boavida, Fernanda Matias, Margarida Rodrigues e Sílvia Machado para a Formação de Professores Acompanhantes do PMEB: Geometria promovida pela DGIDC (Setembro 2009). Conjunto de slides sobre isometrias e simetria de uma figura no plano elaborado por Lina Brunheira, professora acompanhante do Plano da Matemática II (Fevereiro de 2011). Conjunto de slides sobre Simetria e frisos elaborados pela equipa do Programa de Formação Contínua em Matemática para professores dos 1º e 2º ciclos da Universidade de Évora (2008/2009). Sites

50 O mundo da simetria Reflectindo sobre desafios do PMEB 15º EREPM, 30/4/2011- Bragança Ana Maria Roque Boavida


Carregar ppt "O mundo da simetria Reflectindo sobre desafios do PMEB Ana Maria Roque Boavida"

Apresentações semelhantes


Anúncios Google