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Parceria entre professor e centro de ciências... Encontros II Parte A Temas 4 e 6 Profa. Dra. Claudia Munte Instituto de Física de São Carlos - USP Pedro.

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1 Parceria entre professor e centro de ciências... Encontros II Parte A Temas 4 e 6 Profa. Dra. Claudia Munte Instituto de Física de São Carlos - USP Pedro Donizete Colombo Junior UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Observatório Dietrich Schiel

2 Adaptado de O ESPECTRO ELETROMAGNÉTICO

3 NOSSA FONTE DE LUZ: O SOL

4 ~330 a.C.Aristóteles Luz existe independentemente do olho humano ~295 a.C.Euclides de Alexandria 1º tratado de Ótica: engloba tudo relacionado à visão direta (não refração nem reflexão) Raios de Visão: para que um objeto possa ser visto devemos (a) iluminá-lo e (b) olhar para ele ~250 a.C.Archimedes refração do raio de luz estuda o fenômeno do arco-íris ~55 a.C.Tito Lucrécio átomos são incolores; cores provém da incidência da luz HISTÓRIA DA ESPECTROSCOPIA

5 ~ 145Ptolomeu Ótica: inclui refração e reflexão ~ 1280Alhazen (ibn al-Haitam) cores surgem devido a diferentes condições da luz pedra de leitura (lentes de cristais de rocha) 1289Qutbaddin as-sIrazi explicação para o arco-íris por analogia entre gotas de chuva e esfera de vidro contendo água 1608Hans Lipperhey descoberta da luneta (telescópio) 1609Galileo Galilei constrói telescópio e o aponta para o céu: atronomia

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7 1626Rene Descartes Lei da Refração 1666Isaac Newton decomposição da luz solar em um prisma: 6 ou 7 (!) cores recomposição em um segundo prisma luz branca é uma mistura de diferentes tipos de raios luminosos, refratados em ângulos ligeiramente diferentes, cada um produzindo uma cor espectral diferente

8

9 1777Carl Wilhelm Scheele luz violeta é a mais energética do espectro 1800Friedrich Herschel descobre a radiação infravermelha na luz solar região espectral acima da cor vermelha fornece uma grande potência calorífica

10 1802Johann Ritter descobre a radiação ultravioleta na luz solar região espectral abaixo da cor violeta é capaz de reduzir melhor a prata

11 1802William Wollaston 5 ou 7 (!) linhas pretas no espectro solar 1802Thomas Young fenômeno da interferência, cálculo de

12 1814Joseph Fraunhofer desenvolvimento do espectroscópio: análise espectral espectro do Sol possui centenas de linhas negras sobre as cores espectro de cada estrela poderia fornecer sua composição química (impressão digital)?

13 Espectro luminoso e composição química da atmosfera de um gigante exoplaneta, que gira em torno de uma estrela normal, comparável ao Sol. (Janeiro de 2010)

14 1848Armand Fizeau objetos se afastando em alta velocidade causam o deslocamento das linhas espectrais para o vermelho (red-shift) movimento de uma estrela afeta a posição das linhas no seu espectro (1924Edwin Hubble comprova a expansão do Universo)

15 1859Robert Bunsen; Gustav Kirchhoff espectroscopia: cada elemento químico possui seu espectro único (impressão digital) descobrem novos elementos químicos (Césio, Rubídio) espectro de elementos químicos dentro do espectro solar: análise espectral de objetos cósmicos Lítio Sódio Cobre

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17 H N O C Ar Fe

18 1864James Maxwell luz é radiação eletromagnética 1868Joseph Lockyer descoberta do gas solar Hélio (na Terra somente 27 anos depois) 1874Hermann Vogel vapor dágua presente nos espectros das atmosferas de Marte e Saturno: habitáveis!! 1885Johann Balmer linhas do espectro do Hidrogênio: Linhas de Balmer

19 gás quente gás frio rede de difração Lâmpada incandescente espectro contínuo espectro de emissão espectro de absorção ANÁLISE ESPECTRAL

20 O elétron estando no estado excitado (n=2) retorna ao seu estado fundamental (n=1), e emite algo com energia E. O que é esse algo? O que leva o elétron ao estado excitado? E aumenta emite energia E = E 2 - E 1 n =inteiro ESPECTRO ATÔMICO

21 Fóton:velocidade c (m/s) frequência (Hz ou s -1 ) comprimento de onda (m) energia E (J) e se relacionam: A energia do fóton será: O fóton será absorvido caso sua energia E for idêntica à diferença de energia E entre o estado fundamental e o estado excitado c = 3 x 10 8 m/s (veloc. da luz) h = x J/s (const. de Planck) fóton estado excitado estado fundamental fóton

22 ÁTOMO DE HIDROGÊNIO limite de ionização estado fundamental série de Lymann (UV) série de Balmer série de Paschen (IR)

23 Hg ÁTOMO MAIS COMLEXOS

24 Energias: translacional rotacional vibracional Os diversos estados (fundamental, excitado) apresentam uma grande quantidade de níveis de energia permitidos. MOLÉCULAS

25 REGIÕES ESPECTRAIS

26 INÍCIO DO SÉCULO XX Pilares Mecânica (Newton) Eletromagnetismo (Maxwell) Físicos reescrevem a estória bíblica da criação na forma No início Ele criou os céus e a terra - e Ele disse, Faça-se a luz - Terceiro suporte Termodinâmica (Carnot, Mayer, Helmholtz, Clausius, Lord Kelvin) e Mecânica Estatística (Maxwell, Clausius, Boltzmann, Gibbs)

27 RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Cálculo da intensidade de radiação emitida por uma cavidade aquecida, em um determinado comprimento de onda Solução: Planck (1900) Baseia-se na termodinâmica e na mecânica estatística Início da Mecânica Quântica

28 1. Radiação Térmica Radiação emitida por um corpo devido à sua temperatura Corpo emite e absorve para o meio, continuamente Corpo mais quente que o meio: taxa de emissão > taxa de absorção Corpo mais frio que o meio: taxa de emissão < taxa de absorção Equilíbrio térmico: taxa de emissão = taxa de absorção

29 Matéria em estado consensado (sólido, líquido) emite um espectro contínuo de radiação Espectro é praticamente independente do material Espectro é dependente da temperatura do material Temperatura usual: corpo é visível pela luz que reflete Temperatura muito alta: corpo tem luminosidade própria Maior parte da radiação emitida está na região do infra-vermelho (fora do visível) Primeiras medidas precisas do espectro de radiação Lummer, Pringsheim (1899) Espectrômetro de prisma (lentes especiais transparentes em altos λ ); bolômetro

30 Radiância espectral =energia emitida em radiação com comprimento de onda entre λ e λ +dλ, por unidade de tempo e por unidade de área, de uma superfície à temperatura T =( ) =potência irradiada entre λ e λ +dλ, por unidade de m 2, por um corpo à temperatura T Radiância =potência irradiada por unidade de m 2, por um corpo à temperatura T =área total sob a curva =

31 Espectro de radiação Função de distribuição da radiância espectral em função do comprimento de onda λ da radiação emitida versus λ

32 Características da função de distribuição observada Baixas T :pouca potência irradiada em altos λ radiância nula para λ 0 ou λ. radiância cresce rapidamente com λ, fica máxima em λ max e depois decai lenta mas continuamente T mais altas: λ max diminui linearmente com o aumento de T potência irradiada cresce com T de forma mais rápida que a linear Lei de Stefan (1879) Potência irradiada obedece à equação Equação empírica, baseada nas observações experimentais = 5, W.m -2.K -4 (constante de Stefan-Boltzmann) Lei do Deslocamento de Wien (1894) Comprimento de onda máximo obedece à equação c W = 2, m.K -1 (constante de Wien)

33 Lei exponencial de Wien (1896) Função de densidade espectral deve ter a forma F (λ,T): - relação entre F e a distribuição de velocidades de Maxwell; - impondo validade da Lei do Deslocamento: Experimentalmente confirmada por Paschen (1899) para baixos λ (1-4 m) Discrepância para medidas posteriores (1900) em mais altos λ (4-60 m)

34 Características Emite espectros térmicos de caráter universal Superfícies absorvem toda a radiação térmica que incide sobre ela Não reflete luz (é negro) Exemplo especial de Corpo Negro Cavidade ligada ao exterior por um pequeno orifício Radiação térmica vinda do exterior incide sobre o orifício e é refletida repetidas vezes pelas paredes interiores, sendo eventualmente absorvida pelas paredes Área do orifício é muito pequena: essencialmente toda a radiação que incide sobre o orifício será absorvida pelo corpo (reflexão para fora é desprezível) orifício absorve todaorifício tem as a radiação térmica propriedades de incidente sobre eleum corpo negro 2. Corpo Negro

35 Aquecendo-se uniformemente as paredes da cavidade até a temperatura T: Paredes irão emitir radiação térmica que vai encher a cavidade A pequena fração de radiação térmica que incidir sobre o orifício irá atravessá-lo Orifício irá atuar como um emissor de radiação térmica Como o orifício tem as propriedades de um corpo negro, irá emitir uma radiação com espectro de corpo negro Mas o orifício nos dá uma amostra da radiação dentro da cavidade Radiação dentro da cavidade tem um espectro de corpo negro à temperatura T

36 Densidade de energia (cavidade) =energia contida em radiação com frequência entre ν e ν +dν, por unidade de volume da cavidade à temperatura T = Fluxo de energia (buraco) =energia emitida em radiação com frequência entre ν e ν +dν, por unidade de área do buraco à temperatura T, por unidade de tempo = T aumenta aumenta aumenta Cavidade Buraco (calculado) (medido)

37 3. Encontrando a função de distribuição Supondo uma cavidade com paredes metálicas (temperatura T ) Agitação térmica movimento dos elétrons paredes emitem radiação eletromagnética na faixa térmica dos comprimentos de onda

38 Objetivo Estudar o comportamento das ondas eletromagnéticas no interior da cavidade Obter a função de distribuição espectral da cavidade e do buraco Estratégia Mostrar que dentro da cavidade a radiação deve existir na forma de ondas estacionárias com nós sobre as superfícies metálicas (eletromagnetismo clássico) Fazer uma contagem do número de ondas com frequências entre ν e ν +dν ( argumentos geométricos) Calcular a energia média dessas ondas quando o sistema está em equilíbrio térmico CLÁSSICA versus QUÂNTICA!!!!! Obter a densidade de energia multiplicando o número de ondas estacionárias, na unidade de frequência, por sua energia média

39 ONDAS ESTACIONÁRIAS Toda radiação que incidir sobre as paredes da cavidade será totalmente refletida, e portanto terá a forma de ondas estadionárias Prova:- onda eletromagnética é uma vibração transversal, com perpendicular à direção de propagação - direção de propagação é perpendicular à parede - direção de é paralela à parede - na parede não deve haver Radiação dentro da cavidade existe na forma de ondas estacionárias, com nós sobre as superfícies

40 Cavidade unidimensional Campo elétrico para a onda estacionária unidimensional Impondo as condições de contorno obtemos x = 0, x = a condições de contorno

41 CONTANDO ONDAS (diagrama para n ) Em uma dimensão - número de pontos n i com frequência ν i : - número de pontos entre n e n + d n : - número de pontos com frequência entre ν e ν + dν : 2 estados de polarização da luz

42 Número de ondas: resumo Cavidade unidimensional: Cavidade tridimensional: Próximo passo: calcular a energia média dessas ondas quando o sistema está em equilíbrio térmico CLÁSSICA versus QUÂNTICA!!!!! Finalmente: calcular a densidade de energia espectral

43 Tentativas de resolver o problema Cavidade oca é preenchida por radiação preta, independentemente da composição da cavidade Modelo simples para a substância da cavidade: cargas positivas e negativas acopladas por forças elásticas entre si = osciladores com uma própria Radiação dos osciladores e sua interação com o campo de radiação deve seguir as leis da eletrodinâmica Leis da eletrodinâmica equações para o número de ondas Osciladores energias médias

44 Primeira tentativa: Max Planck ( ) - leis da termodinâmica macroscópica (relação entre entropia S e energia interna U ) - partindo do princípio que a Lei de Wien é válida, a entropia de um oscilador deve ter a forma ( a, b = constantes, e = base do ln ) - a energia média do oscilador será portanto - função densidade de energia espectral: Lei de Wien-Planck Lei de Wien

45 Segunda tentativa: Rayleigh e Jeans (1900) - lei da equipartição de energia: energia média de um oscilador vale (por grau de liberdade) - para sistemas harmônicos teremos - nos 3 casos (1D, 2D, 3D) o grau de liberdade é 1 (amplitude do campo elétrico) e a energia média será - função densidade de energia espectral: Lei de Rayleigh-Jeans

46 Comparando Wien-Planck, Rayleigh-Jeans e experimental - Rayleigh-Jeans:boa para baixas frequências péssima para altas frequências (catástrofe do ultra-violeta) - Wien-Planck: boa para altas frequências ruim para baixas frequências experimental R-J W-P Frequência Intensidade

47 Terceira tentativa: Planck (1900) - interpolação, considerada por muitos a mais importante da história da física; marca o início da evolução da teoria quântica - percebeu que as expressões para a entropia nos dois casos (R-J e W-P) levavam a equações semelhantes para sua segunda derivada Rayleigh-Jeans(R-J)Wien-Planck (W-P) - Utilizando chega à equação para a energia do oscilador: - função densidade de energia espectral: interpolação

48 - Combinando com as duas equações nos seus limites de validade: baixas frequências: Rayleigh-Jeans(R-J) devemos ter altas frequências: Wien-Planck(W-P) devemos ter - Solução: Lei de Planck

49 Descrição para a radiação de corpo negro – situação em Rayleigh-JeansPlanckWien-Planck fundamentação existente ausente insatisfatória teórica validade baixas todas altas (altos )(todos ) (baixos )

50 Descrição completa em Planck apresenta uma teoria completa para a radiação de corpo negro Coloca a Lei de Planck em base sólida (fundamentação teórica) Persiste no uso da entropia, porém parte para a termodinâmica estatística Consequência: energia total deve ser distribuída por uma quantidade finita de osciladores Osciladores só podem armazenar um múltiplo de um quantum de energia Introduz a constante de Planck h Início da Mecânica Quântica - função densidade de energia espectral: Lei de Planck

51 Cálculo da energia média – classicamente Probabilidade de encontrar um ente com uma energia entre ε e ε +dε em um sistema em equilíbrio térmico à temperatura T : Distribuição de Boltzmann ( K = cte. de Boltzmann = 1, J/K) A função P ( ε ) tem a forma:

52 Supondo que a energia seja uma variável contínua, a função ε P ( ε ) terá a forma: Novamente, supondo um contínuo de energias (integração), podemos calcular a energia média do sistema: área sob a curva Resolvendo a integral por partes, obtemos a energia média: Lei de equipartição de energia

53 Cálculo da energia média – quanticamente Supondo que a energia seja uma variável discreta, a função ε P ( ε ) terá a forma: Novamente, supondo um discreto de energias (somatória), podemos calcular a energia média do sistema. área sob a curva

54 Teremos duas possibilidades:

55 Resumindo: considerar a energia como tendo valores discretos leva a que é um comportamento semelhante ao encontrado experimentalmente para a radiação de corpo negro Para que os sistemas sejam equivalentes, devemos achar a relação entre ε e Supondo a forma mais simples: Caso essa forma for correta, a equação final obtida para a densidade de radiação espectral deverá representar bem os dados experimentais Para encontrar a equação final, devemos calcular a soma usando

56 (i)energias são discretas, com (ii)substituindo

57 (iii)substituindo na soma (iv)truque

58 (v)substituindo novamente na soma (vi)truque para resolver a soma: substituir (Série de Maclaurin)

59 (vii)substituindo novamente na soma (viii) retornando teremos a equação final Portanto, a energia média do sistema, supondo um discreto de energias, será com Por analogia, a energia média do oscilador (corpo negro) será

60 Observando os limites dessa equação (i) para (expansão em série de Taylor) (ii) para Equação encontrada para a energia média satisfaz os requisitos nos limites

61 Densidade de energia espectral – quanticamente Max Planck (1900) - distribuição de Boltzmann - energia possui apenas valores discretos - a energia média do oscilador será portanto - função densidade de energia espectral: Lei de Planck h = cte. de Planck = 6, J.s Planck não alterou a distribuição de Boltzmann, e sim apenas tratou a energia das ondas eletromagnéticas como uma grandeza discreta, ao invés de contínua

62 Confirmando a lei de Stefan Equação empírica (Stefan, 1879) Obtendo a equação a partir da lei de Planck usando teremos Lei de Planck confirma a lei de Stefan

63 Confirmando a lei do deslocamento de Wien Equação empírica (Wien, 1894) Obtendo a equação a partir da lei de Planck usando chega-se à equaçãoque tem solução S numérica única, e portanto Lei de Planck confirma a lei do deslocamento de Wien

64 4. Postulado de Planck Quantização da energia em sistemas harmônicos simples Qualquer ente físico, com um grau de liberdade cuja coordenada é uma função senoidal do tempo (executa oscilações harmônicas simples) pode possuir apenas energias totais ε que satisfaçam à relação onde é a frequência de oscilação, e h uma constante universal (cte. de Planck) Coordenada (sentido geral): qualquer quantidade que descreve a condição instantânea do ente


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