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Determinação da Latitude e da Declinação R. Boczko IAG-USP 11 05 06.

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1 Determinação da Latitude e da Declinação R. Boczko IAG-USP

2 Latitude  e Longitude     PN PS Equador Greenwich

3 Pólo Sul Movimento noturno aparente olhando ao Sul Sul Oeste Leste 20 horas 22 horas 24 horas

4 Latitude Austral Z NS W Equador PS E 

5 Movimento noturno aparente olhando ao Norte desde o HS Norte Leste Oeste Leão 20 horas 22 horas 24 horas

6 Movimento noturno aparente de uma estrela circumpolar norte Norte Leste Oeste Pólo Norte

7 Latitude Boreal Z PN  Nadir NS L W

8 PS Equador PN Latitude astronômica e/ou geográfica PN PS Equador Horizonte Zênite GG AA Horizonte AA  A =  G x   h PN  = - h PS

9 Trajetórias diurnas das estrelas

10 Trajetórias diurnas paralelas Eixo de rotação Equador PNC PSC PN PS N L

11 Coordenadas Horárias e Equatoriais Z PN H    p W M

12 Tipos de Meridianos Horizonte Zênite Nadir NS Meridiano Zenital Meridiano Nadiral Z Z Horizonte PV PI Meridiano Superior Meridiano Inferior Z N S E W Nadir Horizonte

13 Latitude local e Declinação da estrela através de passagens meridianas (Método geométrico)

14 Latitude e declinação no HN N LesteOeste PN CS CI hshs hphp hihi p h p = (h s + h i ) / 2   h p p = (h s - h i ) / 2  = p Se a culminação superior se der ao sul do zênite: h s = h CS N S Z hshs h CS PN Equador PN p 

15 Latitude e declinação no HS S Oeste Leste PS CS CI hshs hphp hihi r h p = (h s + h i ) / 2  = - h p r = (h s - h i ) / 2  = - ( r) Equador PN r  PS Se a culminação superior se der ao norte do zênite: h s = h CS S N Z hshs h CS PS

16 Restrições à determinação da Latitude e da Declinação através de passagens meridianas P CS CI No Verão, quando a noite é curta, o processo não funciona pois não se pode ver as 2 culminações meridianas num mesmo dia.

17 Obtenção do pólo visível através de culminações

18 Obtenção do pólo norte com Culminações SN Z Horizonte Equador CS CI M PN  

19 Obtenção do pólo sul com Culminações NS Z Horizonte Equador CS CI M PS  

20 Latitude local e Declinação da estrela através de passagens meridianas (Método algébrico)

21 Culminações ou passagens meridianas

22 Culminação ou passagem meridiana Z PN Na passagem meridiana superior: H  0. Horizonte Equador W S Na passagem meridiana inferior: H  180 o. L PS M

23 Passagens meridianas no HN Z PN Horizonte Equador W S L Na passagem meridiana superior: H  0. Na passagem meridiana inferior: H  180 o. PS Observador no Hemisfério Norte N M

24 Passagens meridianas no HS Z PS Horizonte Equador W N L Na passagem meridiana superior: H  0. Na passagem meridiana inferior: H  180 o. PN S Observador no Hemisfério Sul M

25 Convenção de sinais na passagem meridiana NS Z Horizonte Z < 0 Z > 0 Z: positivo ao norte do zênite Z: negativo ao sul do zênite Z N S E W Nadir Horizonte

26 Culminações no HN SN Z Horizonte ZiZi -Z s PN Equador     Culminação superior -z s =  –  z s =  -  Culminação inferior  + z i +  = 180 o z i = 180 o -  - 

27 Latitude e declinação no HN z s =  -  z i = 180 o -  -  Somando membro a membro z i + z s = 180 o - 2   = +90 o – (z i + z s ) / 2 Subtraindo membro a membro z i - z s = 180 o - 2   = +90 o – (z i - z s ) / 2 Obtenção da latitude local Obtenção da declinação do astro

28 Culminações no HS NS Z Horizonte -Z i +Z s PS Equador -- -- -- -- Culminação superior z s = (-  ) – (-  ) z s =  -  Culminação inferior (-  ) + (-z i ) + (-  ) = 180 o z i = -180 o -  - 

29 Latitude e declinação no HS z s =  -  z i = -180 o -  -  Somando membro a membro z i + z s = -180 o - 2   = -90 o – (z i + z s ) / 2 Subtraindo membro a membro z i - z s = -180 o - 2   = -90 o – (z i - z s ) / 2 Obtenção da latitude local Obtenção da declinação do astro

30 Latitude e declinação  = +90 o – (z i + z s ) / 2  = +90 o – (z i - z s ) / 2 Hemisfério Norte Hemisfério Sul  = -90 o – (z i + z s ) / 2  = -90 o – (z i - z s ) / 2 Fórmulas gerais  =  90 o – (z i + z s ) / 2  =  90 o – (z i - z s ) / 2 + : observador no HN - : observador no HS + : astro no HN - : astro no HS

31 Latitude e declinação Enunciado: Um observador vê uma estrela X girando em torno de um ponto no sentido horário. Na culminação superior X está a 20 o ao norte do zênite; na passagem inferior, X se encontra a 70 o ao sul do zênite. Determine [a] o hemisfério do observador [b] a latitude astronômica do observador [c] a latitude geográfica do local [d] a declinação da estrela X.   Pólo Sul Sul Oeste Leste Sentido horário Hemisfério Sul z s = +20 o z i = -70 o  =  90 o – (z i + z s ) / 2 + : observador no HN - : observador no HS  = - 90 o – (z i + z s ) / 2  = - 90 o – ([-70] + [+20]) / 2  = - 90 o – (- 50) / 2  = - 90 o + 25  Ast =  Geo = - 65 o  =  90 o – (z i - z s ) / 2 + : astro no HN - : astro no HS  = - 90 o – (z i - z s ) / 2  = - 90 o – ([-70] - [+20]) / 2  = - 90 o – (- 90) / 2  = - 90 o + 45  = - 45 o

32 Determinação do centro e do raio de uma circunferência

33 Determinação do centro O e do raio R de uma circunferência A B C M Mediatriz N O R = OA = OB = OC

34 Distância d entre 2 pontos A e B x y O A B yAyA yByB xAxA xBxB d 2 = (y B - y A ) 2 + (x B - x A ) 2 d

35 Ponto médio M de um segmento de reta AB x y O A B r yAyA yByB xAxA xBxB M xMxM yMyM x M = (x B - x A ) / 2 y M = (y B - y A ) / 2

36 Coeficiente angular m de uma reta r passando por 2 pontos A e B x y O A B r yAyA yByB xAxA xBxB  m = tan  = (y B - y A ) / (x B - x A )

37 Equação da reta r que passa por um ponto Q e tem coeficiente angular m x y O A Q r yAyA y=y Q xAxA x=x Q  m = tan  = (y Q - y A ) / (x Q - x A ) y = y A + m (x - x A )

38 Tangente de (x+90 o ) x Tangente tan x tan (x+90) 90-x x Co-tangente cot x tan (x+90) = - cot x tan (x+90) = - 1 / tan x tan (x+90). tan x = - 1

39 Relação entre os coeficientes angulares m r e m s de 2 retas r e s perpendiculares entre elas x y O r rr m r. m s = -1 ss s w w = 90 o -  r  s = 180 o - w  s = 90 o +  r m s = tan  s m r = tan  r m s = tan (90 o +  r ) tan (x+90 o ). tan x = - 1

40 Reta s por um ponto P e perpendicular a outra reta r x y O r m s = -1 / m r s P yPyP xPxP y = y P + m s (x - x P ) y = y P - (x - x P ) / m r

41 Equação de uma circunferência de centro (x c,y c ) e raio R x y O C yCyC xCxC R (x - x c ) 2 + (y - y c ) 2 = R 2

42 Circunferência dada por 3 pontos y1y1 y2y2 yCyC y3y3 x1x1 x2x2 xCxC x3x3 r C Ox y

43 Como obter o x c e y c do centro da circunferência (x - x c ) 2 + (y - y c ) 2 = R 2 (x 1 - x c ) 2 + (y 1 - y c ) 2 = R 2 (x 2 - x c ) 2 + (y 2 - y c ) 2 = R 2 (x 3 - x c ) 2 + (y 3 - y c ) 2 = R 2 Igualar: (x 1 - x c ) 2 + (y 1 - y c ) 2 = (x 2 - x c ) 2 + (y 2 - y c ) 2 k  (x x y y 2 2 ) / 2 y c = [k - (x 1 - x 2 ) x c ] / (y 1 - y 2 ) (x 3 - x c ) 2 + (y 3 - y c ) 2 = (x 2 - x c ) 2 + (y 2 - y c ) 2 q  (x x y y 2 2 ) / 2 y c = [q - (x 3 - x 2 ) x c ] / (y 3 - y 2 ) Igualar: [k - (x 1 - x 2 ) x c ] / (y 1 - y 2 ) = [q - (x 3 - x 2 ) x c ] / (y 3 - y 2 ) x c = [ q (y 1 - y 2 ) - k (y 3 - y 2 ) ] / D D  (x 3 - x 2 ) (y 1 - y 2 ) - (x 1 - x 2 ) (y 3 - y 2 ) x c = [k - (y 1 - y 2 ) y c ] / (x 1 - x 2 ) x c = [q - (y 3 - y 2 ) y c ] / (x 3 - x 2 ) [k - (y 1 - y 2 ) y c ] / (x 1 - x 2 ) = [q - (y 3 - y 2 ) y c ] / (x 3 - x 2 ) y c = [ k (x 3 - x 2 ) - q (x 1 - x 2 ) ] / D

44 Obter o centro e o raio da circunferência (x - x c ) 2 + (y - y c ) 2 = R 2 (x 1 - x c ) 2 + (y 1 - y c ) 2 = R 2 (x 2 - x c ) 2 + (y 2 - y c ) 2 = R 2 (x 3 - x c ) 2 + (y 3 - y c ) 2 = R 2 Sejam: k = (x x y y 2 2 ) / 2 q = (x x y y 2 2 ) / 2 x c = [ q (y 1 - y 2 ) - k (y 3 - y 2 ) ] / D D = (x 3 - x 2 ) (y 1 - y 2 ) - (x 1 - x 2 ) (y 3 - y 2 ) y c = [ k (x 3 - x 2 ) - q (x 1 - x 2 ) ] / D R 2 = (x 1 - x c ) 2 + (y 1 - y c ) 2

45 Meridiano Local, Latitude local e Declinação da estrela através de 3 observações

46 Meridiano, Latitude e Declinação no HS Oeste Leste PS h3h3 hphp h1h1 r h2h2 a1a1 a2a2 apap a3a3 S Mira

47 Meridiano, Declinação e Latitude y1y1 y2y2 ypyp y3y3 P x1x1 x2x2 xpxp x3x3 Do céu para o papel G --> C a i --> x i G --> C h i --> y i r’ Do papel para o céu C --> G x p --> a p C --> G y p --> h p  = - h p C --> G r’ --> r  = - (90 - r) C (cm) G (graus) Escala

48 Restrições à determinação da Latitude e da Declinação através de 3 medidas P A estrela não pode estar muito afastada do pólo O local não pode estar muito afastado do equador

49 Astronomia a serviço da polícia

50 Ângulo entre o equador e o horizonte N S Ângulo entre o equador e o plano do horizonte: 90 o -  Z PS W Equador E Nascer Ocaso    90- 

51 Nascer do Sol Horizonte NS Visto por um observador no Hemisfério Sul L Horizonte NS Visto por um observador no Hemisfério Norte L Observador no Hemisfério Norte Oeste Leste Sul Norte Oeste Leste Sul Norte Observador no Hemisfério Sul

52 Ocaso do Sol Horizonte SN Visto por um observador no Hemisfério Sul W Horizonte SN Visto por um observador no Hemisfério Norte W Observador no Hemisfério Norte Oeste Leste Sul Norte Observador no Hemisfério Sul Oeste Leste Sul Norte

53 Seqüestradores distraídos 

54 Mapa do crime! Cativeiro dentro desse círculo  Local do seqüestro

55 Tempo sideral

56 Z PN  TS = H  Horizonte Equador W S TS Tempo sideral é o ângulo horário do ponto  M

57 Determinação da Ascensão Reta

58 Ascensão reta com passagem meridiana Z PN H    TS = H  TS =  + H Na passagem meridiana superior: H = 0. Logo:  = TS PMS Horizonte Equador W S M

59 Fim


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