Teoria das Relações Uma relação binária é um conjunto de pares ordenados. Uma relação entre dois conjuntos X e Y é um subconjunto do produto cartesiano.

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1 Teoria das Relações Uma relação binária é um conjunto de pares ordenados. Uma relação entre dois conjuntos X e Y é um subconjunto do produto cartesiano X  Y XY denota o conjunto de todas relações entre X e Y: XY (X x Y) = ^ P [ Notação: a R b (a, b)  R a b (a, b) = ^ = ^ 

2 Exemplo de Relações Sejam cursos-CIn = {graduação, mestrado,
extensão, doutorado} alunos = {Maria, João, Ana, Paulo, Mônica} e a relação cursa, tal que Maria cursa graduação João cursa graduação Ana cursa mestrado Paulo cursa doutorado

3 Exemplo descrito formalmente
cursa: alunoscursos-CIn cursa = {Maria graduação, João graduação, Ana mestrado, Paulo doutorado}     ou cursa: (alunoscursos-CIn)  a:alunos; c:cursos-CIn  a cursa c(a=Maria  c=graduação)  (a=João  c=graduação)  (a=Ana  c=mestrado)  (a=Paulo  c=doutorado) P [

4 Alguns conceitos Em R: XY, X é o tipo fonte (source) de R e Y é o tipo destino (target) de R. Um elemento x do tipo X pertence ao domínio de R se existe yY tal que x R y. Neste caso, y pertence a imagem (range) de R.

5 Domínio [X, Y] dom _ : (XY)  X
 R: XY  dom R = {x:X | y:Y  x R y} P [ Alguns exemplos: dom {} = {} dom {x y} = {x} dom cursa = {Maria, João, Ana, Paulo} 

6 Teoremas sobre domínio
dom (S  T) = dom S  dom T Mas CUIDADO com a interseção! podem ser diferentes dom (S  T) dom S  dom T Exemplos: dom ({1 2}  {1 3}) = dom {} = {} dom {1 2}  dom {1 3} = {1}  {1} = {1}    

7 Imagem [X, Y] ran _ : (XY)  Y
 R: XY  ran R = {y:Y | x:X  x R y} P [ Alguns exemplos: dom {} = {} dom {x y} = {y} dom cursa = {graduação, mestrado, doutorado} 

8 Teoremas sobre imagem ran (S  T) = ran S  ran T
Mas CUIDADO com a interseção! podem ser diferentes ran (S  T) ran S  ran T Exemplos: ran ({1 2}  {3 2}) = ran {} = {} ran {1 2}  ran {3 2} = {2}  {2} = {2}    

9 Restrição de domínio S R denota a relação formada a partir de R, restringindo-se seu domínio ao conjunto S. Alguns exemplos: {Maria, Ana} cursa = {Maria graduação, Ana mestrado} {Monica} cursa = {}  

10 Definição formal [X, Y] _ _ : X  (XY)  (XY)  S: X; R: XY  P
S R = {x:X; y:Y | xS  x R y  x y} P [ P [  Teoremas ( S R )  R T (S R) = (T  S ) R

11 Restrição de imagem R S denota a relação formada a partir de R, restringindo-se sua imagem ao conjunto S. Alguns exemplos: cursa {graduação} = {Maria graduação, João graduação} cursa {extensão} = {}  

12 Definição formal [X, Y] _ _ : (XY)  X  (XY)  S: X; R: XY  P
R S = {x:X; y:Y | yS  x R y  x y} P [ P [  Teoremas (R S)  R (R S) T = R (S  T) (S R) T = S (R T)

13 Subtração de domínio S R denota uma relação com todos os pares de R cujo 1o elemento não pertence ao conjunto S Alguns exemplos: {Maria, Ana} cursa = {João graduação, Paulo doutorado} {Monica} cursa = cursa  

14 Definição formal [X, Y] _ _ : X  (XY)  (XY)  S: X; R: XY  P
S R = {x:X; y:Y | xS  x R y  x y} P [ P [  Teoremas dom (S R) = (dom R) \ S S R = (X \ S) R R = (S R)  (S R)

15 Subtração de imagem R S denota uma relação com todos os pares de R cujo 2o elemento não pertence ao conjunto S. Alguns exemplos: cursa {graduação} = {Ana mestrado, Paulo doutorado} cursa {extensão} = cursa  

16 Definição formal [X, Y] _ _ : (XY)  X  (XY)  S: X; R: XY  P
R S = {x:X; y:Y | yS  x R y  x y} P [ P [  Teoremas ran (R S) = (ran R) \ S R S = R (Y \ S) R = (R S)  (R S)