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REVISÃO PROVA 2 Monitoria de Lógica
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Teorema de Herbrand Seja S um conjunto de cláusulas. S é INSATISFATÍVEL se e somente se EXISTE UM CONJUNTO FINITO DE INSTÂCIAS BÁSICAS das cláusulas de S que é INSATISFATÍVEL.
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Teorema da Compaccidade
Seja G um conjunto de fórmulas da lógica proposicional. G é SATISFATÍVEL se e somente se TODO SUBCONJUNTO FINITO DE G É SATISFATÍVEL. O teorema é válido mesmo que G seja infinito.
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Teorema de Löwenheim-Skolem
Para toda assinatura σ, toda σ-estrutura infinita M e todo cardinal infinito k > |σ| existe uma σ- estrutura N tal que |N| = k e Se k < |M| então N é uma subestrutura de M Se k > |M| então N é uma extensão de M
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Sistemas Axiomáticos É um conjunto qualquer de axiomas, que podem ser usados, todos ou só alguns, para a derivação lógica de teoremas.
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Axiomas de Euclides Axioma I: Pode-se traçar uma única reta ligando quaisquer dois pontos. Axioma II: Pode-se continuar (de uma maneira única) qualquer reta finita continuamente em uma reta. Axioma III: Pode-se traçar um círculo com qualquer centro e com qualquer raio. Axioma IV: Todos os ângulos retos são iguais. Axioma V: Se uma reta, ao cortar outras duas, forma ângulos internos, no mesmo lado, cuja soma é menor do que dois ângulos retos, então estas duas retas encontrar-se-ão no lado onde estão os ângulos cuja soma é menor do que dois ângulos retos.
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Axiomas de Hilbert Termos Indefinidos Axiomas de Incidência
Axiomas de Ordem Axiomas de Congruência Axioma das Paralelas Axiomas de Continuidade Axiomas sobre Planos
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FUNÇÕES RECURSIVAS Motivação Limites da computação
O que é possível resolver com um computador? Todos os problemas, mais cedo ou mais tarde, se renderão aos computadores?
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Aritmética de Peano Soma Multiplicação
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FUNÇÕES COMPUTÁVEIS Como definir / delimitar o conjunto das funções naturais que sejam calculáveis por um algoritmo baseado nas operações aritméticas? FUNÇÕES SOBRE N FUNÇÕES CALCULÁVEIS
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TIPOS DE FUNÇÕES 1. Iniciais 2. Recursivas Primitivas
3. Recursivas Parciais 4. Recursivas
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1. FUNÇÕES INICIAIS 3 tipos: Constante Sucessor Projeção
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2. Recursivas Primitivas
É o menor conjunto de funções que: Contém as funções iniciais É fechado por Substituição Recursão primitiva
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2. Recursivas Primitivas
Substituição Recursão primitiva Se , onde
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2. Recursivas Primitivas
Será que as funções recursivas primitivas contém todas as funções computáveis? Não! Ex.: Função de Ackermann
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FUNÇÃO DE ACKERMANN n + 1 se m = 0 A(m-1, 1) se m > 0 e n = 0
A(m,n) = n se m = 0 A(m-1, 1) se m > 0 e n = 0 A(m-1, A(m, n-1)) se m > 0 e n > 0
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FUNÇÃO DE ACKERMANN Cresce rapidamente: É computável
Ex.: valor de A(4, 2) É computável Não é recursiva primitiva
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FUNÇÃO DE ACKERMANN A(m, n) FUNÇÕES SOBRE N FUNÇÕES CALCULÁVEIS
FUNÇÕES REC. PRIMITIVAS A(m, n)
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3. FUNÇÕES RECURSIVAS PARCIAIS
São as funções RECURSIVAS PRIMITIVAS estendidas com o operador μ: : representa o menor tal que
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3. FUNÇÕES RECURSIVAS PARCIAIS
Se não existir tal que seja verdadeiro? A função não para (loop infinito). As funções recursivas parciais correspondem ao conjunto de funções computáveis.
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4. FUNÇÕES TOTAIS / RECURSIVAS
Dada uma função recursiva PARCIAL f. Se f sempre para, dizemos que f é uma FUNÇÃO TOTAL. Ou então, dizemos que f é uma FUNÇÃO RECURSIVA.
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4. FUNÇÕES TOTAIS / RECURSIVAS
Toda função recursiva primitiva é TOTAL / RECURSIVA. A função de Ackermann é TOTAL / RECURSIVA.
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Resumo A(m, n) FUNÇÕES SOBRE N FUNÇÕES CALCULÁVEIS = PARCIAIS
FUNÇÕES TOTAIS FUNÇÕES REC. PRIMITIVAS A(m, n) S, C, P
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Corretude/Completude
Se toda sentença demonstrável é verdadeira Completude Se toda sentença verdadeira é demonstrável Existe Sistema Axiomático Correto e Completo?
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MÉTODO DA DIAGONALIZAÇÃO
Gera Paradoxos Paradoxos de Russel Paradoxo do mentiroso Paradoxo do condenado The “Salting” Problem Paradoxo do Barbeiro
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Teorema da Incompletude de Gödel
Não existe Sistema Axiomático Correto e Completo Seja ᵩ uma sentença de PROP definida como ᵩ = eu não sou demonstrável Se é verdadeiro então é falso Se é falso então é verdadeiro
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REVISÃO PROVA 2 Obrigado!
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