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REVISÃO PROVA 2 Monitoria de Lógica. T EOREMA DE H ERBRAND Seja S um conjunto de cláusulas. S é INSATISFATÍVEL se e somente se EXISTE UM CONJUNTO FINITO.

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1 REVISÃO PROVA 2 Monitoria de Lógica

2 T EOREMA DE H ERBRAND Seja S um conjunto de cláusulas. S é INSATISFATÍVEL se e somente se EXISTE UM CONJUNTO FINITO DE INSTÂCIAS BÁSICAS das cláusulas de S que é INSATISFATÍVEL.

3 T EOREMA DA C OMPACCIDADE Seja G um conjunto de fórmulas da lógica proposicional. G é SATISFATÍVEL se e somente se TODO SUBCONJUNTO FINITO DE G É SATISFATÍVEL. O teorema é válido mesmo que G seja infinito.

4 T EOREMA DE L ÖWENHEIM -S KOLEM Para toda assinatura σ, toda σ-estrutura infinita M e todo cardinal infinito k > |σ| existe uma σ- estrutura N tal que |N| = k e Se k < |M| então N é uma subestrutura de M Se k > |M| então N é uma extensão de M

5 S ISTEMAS A XIOMÁTICOS É um conjunto qualquer de axiomas, que podem ser usados, todos ou só alguns, para a derivação lógica de teoremas.

6 A XIOMAS DE E UCLIDES Axioma I: Pode-se traçar uma única reta ligando quaisquer dois pontos. Axioma II: Pode-se continuar (de uma maneira única) qualquer reta finita continuamente em uma reta. Axioma III: Pode-se traçar um círculo com qualquer centro e com qualquer raio. Axioma IV: Todos os ângulos retos são iguais. Axioma V: Se uma reta, ao cortar outras duas, forma ângulos internos, no mesmo lado, cuja soma é menor do que dois ângulos retos, então estas duas retas encontrar-se-ão no lado onde estão os ângulos cuja soma é menor do que dois ângulos retos.

7 A XIOMAS DE H ILBERT Termos Indefinidos Axiomas de Incidência Axiomas de Ordem Axiomas de Congruência Axioma das Paralelas Axiomas de Continuidade Axiomas sobre Planos

8 FUNÇÕES RECURSIVAS Motivação Limites da computação O que é possível resolver com um computador? Todos os problemas, mais cedo ou mais tarde, se renderão aos computadores?

9 A RITMÉTICA DE P EANO Soma Multiplicação

10 FUNÇÕES COMPUTÁVEIS Como definir / delimitar o conjunto das funções naturais que sejam calculáveis por um algoritmo baseado nas operações aritméticas? F UNÇÕES SOBRE N F UNÇÕES CALCULÁVEIS

11 TIPOS DE FUNÇÕES 1. Iniciais 2. Recursivas Primitivas 3. Recursivas Parciais 4. Recursivas

12 1. FUNÇÕES INICIAIS 3 tipos: Constante Sucessor Projeção

13 2. R ECURSIVAS P RIMITIVAS É o menor conjunto de funções que: Contém as funções iniciais É fechado por Substituição Recursão primitiva

14 2. R ECURSIVAS P RIMITIVAS Substituição Recursão primitiva Se, onde

15 2. R ECURSIVAS P RIMITIVAS Será que as funções recursivas primitivas contém todas as funções computáveis? Não! Ex.: Função de Ackermann

16 FUNÇÃO DE ACKERMANN A(m,n) = n + 1 se m = 0 A(m-1, 1) se m > 0 e n = 0 A(m-1, A(m, n-1)) se m > 0 e n > 0

17 FUNÇÃO DE ACKERMANN Cresce rapidamente: Ex.: valor de A(4, 2) É computável Não é recursiva primitiva

18 FUNÇÃO DE ACKERMANN F UNÇÕES CALCULÁVEIS F UNÇÕES REC. PRIMITIVAS F UNÇÕES SOBRE N A(m, n)

19 3. FUNÇÕES RECURSIVAS PARCIAIS São as funções RECURSIVAS PRIMITIVAS estendidas com o operador μ: : representa o menor tal que

20 3. FUNÇÕES RECURSIVAS PARCIAIS Se não existir tal que seja verdadeiro? A função não para (loop infinito). As funções recursivas parciais correspondem ao conjunto de funções computáveis.

21 4. FUNÇÕES TOTAIS / RECURSIVAS Dada uma função recursiva PARCIAL f. Se f sempre para, dizemos que f é uma FUNÇÃO TOTAL. Ou então, dizemos que f é uma FUNÇÃO RECURSIVA.

22 4. FUNÇÕES TOTAIS / RECURSIVAS Toda função recursiva primitiva é TOTAL / RECURSIVA. A função de Ackermann é TOTAL / RECURSIVA.

23 R ESUMO F UNÇÕES CALCULÁVEIS = PARCIAIS F UNÇÕES REC. PRIMITIVAS F UNÇÕES SOBRE N A(m, n) F UNÇÕES TOTAIS S, C, P

24 C ORRETUDE /C OMPLETUDE Corretude Se toda sentença demonstrável é verdadeira Completude Se toda sentença verdadeira é demonstrável Existe Sistema Axiomático Correto e Completo?

25 MÉTODO DA DIAGONALIZAÇÃO Gera Paradoxos Paradoxos de Russel Paradoxo do mentiroso Paradoxo do condenado The “Salting” Problem Paradoxo do Barbeiro

26 T EOREMA DA I NCOMPLETUDE DE G ÖDEL Não existe Sistema Axiomático Correto e Completo Seja uma sentença de PROP definida como = eu não sou demonstrável Se é verdadeiro então é falso Se é falso então é verdadeiro

27 REVISÃO PROVA 2 Obrigado!


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