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Coloração Anjolina Grisi de Oliveira Obs: vários slides cedidos por Adolfo Almeida Duran.

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Apresentação em tema: "Coloração Anjolina Grisi de Oliveira Obs: vários slides cedidos por Adolfo Almeida Duran."— Transcrição da apresentação:

1 Coloração Anjolina Grisi de Oliveira Obs: vários slides cedidos por Adolfo Almeida Duran

2 Matemática Discreta/ GrafosCIn/UFPE433 Quantas cores são necessárias para colorir o mapa do Brasil, sendo que estados adjacentes não podem ter a mesma cor?

3 Matemática Discreta/ GrafosCIn/UFPE434 Colorir vértices de forma que vértices adjacentes possuam cores diferentes Relacionar a coloração de vértices com a coloração de mapas Coloração de Grafos

4 Matemática Discreta/ GrafosCIn/UFPE435 Colorindo vértices Se G é um grafo simples, então uma coloração para G é uma atribuição de cores para cada vértice de forma que vértices adjacentes tenham diferentes cores Dizemos que G é k-colorível se podemos atribuir uma das k cores para colorir G O número cromático de um grafo G é o menor número de cores que é necessário para colorir G. Seja c o número cromático de G, escrevemos crom(G)=c

5 Matemática Discreta/ GrafosCIn/UFPE436 Colorindo vértices Grafo G crom(G) = 4

6 Matemática Discreta/ GrafosCIn/UFPE437 Colorindo vértices Podemos assumir que todos os grafos, para fins de coloração, são simples e conectados, já que arestas múltiplas e vértices isolados são irrelevantes para coloração de vértices

7 Matemática Discreta/ GrafosCIn/UFPE438 Colorindo vértices Está claro que crom(K n ) = n, então existem grafos com número cromático arbitrariamente grande K 4 crom(K 4 ) = 4 K 6 crom(K 6 ) = 6

8 Matemática Discreta/ GrafosCIn/UFPE439 Colorindo vértices No outro final da escala, crom(G) = 1 se e somente se G é um grafo nulo. E crom(G) = 2 se e somente se G é um grafo bipartido não nulo N 4 crom(N 4 ) = 1 K 3,3 crom(K 3,3 ) =

9 Matemática Discreta/ GrafosCIn/UFPE440 Colorindo vértices Não se sabe quais são os grafos 3-cromáticos, embora seja fácil dar exemplo deles C n, com n ímpar Grafo de Petersen W n com n ímpar

10 Matemática Discreta/ GrafosCIn/UFPE441 Colorindo vértices 3-cromáticos C5C5 Grafo de Petersen W7W7

11 Matemática Discreta/ GrafosCIn/UFPE442 Colorindo vértices Os grafos roda com número par de vértices são 4-cromáticos W6W6

12 Matemática Discreta/ GrafosCIn/UFPE443 Colorindo vértices Pouco se pode dizer sobre o número cromático de um grafo arbitrário Se o grafo tem n vértices, então seu número cromático é  n Se o grafo contém K r como subgrafo, então o número cromático  r

13 Matemática Discreta/ GrafosCIn/UFPE444 Colorindo vértices(o problema das 4 cores) Se restringimos a atenção a grafos planares, obtemos melhores resultados Teorema Todo grafo planar simples é 6-colorível Esse teorema foi estendido... Teorema das 5 cores Todo grafo planar simples é 5-colorível

14 Matemática Discreta/ GrafosCIn/UFPE445 Colorindo vértices Um dos maiores problemas ‘’insolúveis’’ da matemática foi a questão: ‘’se o teorema das 5 cores poderia ser fortalecido’’ Esse problema ficou conhecido como: Problema das 4 cores Ele foi primeiro proposto em 1852 e finalmente resolvido em 1976 por K. Appel e W. Haken. Teorema das 4 cores (Appel e Haken, 1976) O número cromático de um grafo planar não é maior que 4

15 Matemática Discreta/ GrafosCIn/UFPE446 Colorindo mapas O problema das 4 cores surgiu historicamente em conexão com a coloração de mapas. Dado um mapa contendo diversos países, podemos questionar quantas cores são necessárias para colorir todos os países de forma que os países que fazem fronteira entre si possuam cores diferentes. Provavelmente a forma mais familiar do teorema das 4 cores é a sentença que diz que todo mapa pode ser colorido com apenas 4 cores

16 Matemática Discreta/ GrafosCIn/UFPE447 Colorindo mapas A figura a seguir mostra um mapa colorido com 4 cores

17 Matemática Discreta/ GrafosCIn/UFPE448 Colorindo mapas Para deixar essa sentença clara, devemos explicar como usar grafos para representar mapas. Cada mapa no plano pode ser representado por um grafo que é chamado de grafo dual. Cada região do mapa é representada por um vértice. As arestas ligam os vértices que representam regiões que fazem fronteira entre si.

18 Matemática Discreta/ GrafosCIn/UFPE449 Colorindo mapas C A B E D C A B D E

19 Matemática Discreta/ GrafosCIn/UFPE450 Aplicação de coloração de vértices Horário da prova final – Como podemos definir os horários da prova final das disciplinas de um curso de forma que não haja um aluno com duas provas no mesmo horário? Modelo de grafos: os nós representam as disciplinas. Existe uma aresta entre dois nós se a disciplina possui um aluno em comum. Assim, cada cor define o horário para as provas.

20 Matemática Discreta/ GrafosCIn/UFPE451 Aplicação de coloração de vértices Exemplo: existem 7 disciplinas. A seguinte tabela mostra a existência de alunos em comum: onde há * na célula ij, existe um aluno matriculado na disciplina i e na disciplina j. - 7 *- 6 * - * * * 7 * * * *- 4 -*- 3 ***- 2 -*** A matriz é simétrica :a parte abaixo da diagonal principal não foi preenchida Horário Disc. 1 1 e e e 5 4 2

21 Matemática Discreta/ GrafosCIn/UFPE452 Solução Exemplo: existem 7 disciplinas. A seguinte tabela mostra a existência de alunos em comum: onde há * na célula ij, existe um aluno matriculado na disciplina i e na disciplina j. - 7 *- 6 * - * * * 7 * * * *- 4 -*- 3 ***- 2 -*** A matriz é simétrica :a parte abaixo da diagonal principal não foi preenchida Horário Disc. 1 1 e e e 5 4 2


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