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Grafos Planares Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes Abril - 2009.

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1 Grafos Planares Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes Abril

2 Grafos Planares Um grafo planar é um grafo que admite uma representação gráfica na qual as arestas só se encontrem (possivelmente) nos vértices aos quais são incidentes.

3 Grafos Planares Exemplos clássicos de grafos planares são dados pelos grafos que representam os poliedros. Abaixo um poliedro regular, o cubo e o grafo que o representa (um grafo regular):

4 Grafos Planares Para compreender melhor como se passa de um sólido a um grafo, imagine que o sólido seja muito flexível e que você o segure de modo a esticar uma de suas faces, com suas arestas, sobre um plano. Todas as outras faces e arestas do sólido formarão um desenho no interior dessa primeira face.

5 Grafos Planares Quantas arestas pode ter, no máximo, um grafo planar? Uma representação gráfica de um grafo com pelo menos um ciclo separa o plano em regiões (no mínimo uma dentro do ciclo e outra fora dele; no caso das árvores, que não possuem ciclos, temos uma única região: toda árvore é planar) Essas regiões são chamadas faces; não devemos nos esquecer de que uma das faces é tudo que sobra do plano – é a face ilimitada.

6 Grafos Planares A figura a seguir mostra duas representações do mesmo grafo, ilustrando que qualquer face pode ser colocada como face ilimitada. g f e d a b c d c f g a e b

7 Grafos Planares O número de faces de um grafo será designado por f. A representação gráfica de um grafo planar na qual as arestas só se encontram uma com outra nos vértices não é única. Um grafo planar sempre a possui e ela se chama forma topológica ou grafo plano.

8 Grafos Planares Veja, porém, que podemos representar K 4 pelo menos de duas maneiras, a primeira admitindo cruzamento de arestas e a segunda não:

9 Grafos Planares Para grafos planares, vale a relação de Euler, já conhecida do estudo dos poliedros convexos: Teorema 1: Em um grafo planar conexo vale f - m + n = 2

10 Grafos Planares Teorema 2: Em um 1-grafo planar conexo G vale m 3n – 6; a igualdade vale se G é planar maximal Demostração: Se formos contar as arestas de cada face, contaremos duas vezes cada aresta do grafo. Como cada face tem no mínimo 3 arestas (a igualdade valendo para as triangulares), temos ao menos 3f/2 arestas no grafo. Mas o grafo possui m arestas, logo 3f 2m

11 Grafos Planares A igualdade se verifica se todas as faces forem triangulares (grafo maximal planar). Tomando a fórmula de Euler f - + n = 2 E substituindo, temos 3f – 3m + 3n = 6 2m – 3m + 3n 6 m 3n – 6.

12 Grafos Planares Este teorema nos mostra que K 5 não é planar. De fato, K 5 (e de resto todos os grafos completos com mais do que 4 vértices) não obedece ao teorema, pois teremos 10 > (3x5) - 6

13 Grafos Planares Porém há grafos não planares para os quais a relação m 3n – 6 também vale: a condição é necessária, mas não é suficiente. K 3,3 : 9< (3x6) – 6 e K 3,3 não é planar. Em um grafo planar bipartido conexo G vale m 2n – 4.

14 Grafos Planares K 3,3 não é planar, pois 9 > (2x6) – 4.

15 Grafos Planares O problema das 4 cores Em 1852, Frederick Guthrie, aluno de Augustus de Morgan (que formulou suas famosas leis vinculadas à união e interdeção de conjuntos), trouxe a este um problema proposto por seu irmão Francis Guthrie. Na verdade tratava-se de uma conjectura, hoje um teorema. Todo mapa pode ser colorido com 4 cores.

16 Grafos Planares Colorir um mapa é colorir as regiões de maneira que regiões fronteiriças não sejam coloridas com a mesma cor.

17 Exercício Construa um grafo com a sequência de graus (4, 4, 3, 3, 3, 3): a) Que não seja planar b) B) que seja planar

18 Referência Boaventura Neto, P.O., Jurkiewicz, S. Grafos: Introdução e Prática. São Paulo: Editora Blucher, 2009.


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