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Um pouco de história  Matemático escocês John Napier (1550- 1617) e pelo matemático suiço Jost Bürgi (1552-1632) em princípios do século XVII.

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2 Um pouco de história  Matemático escocês John Napier ( ) e pelo matemático suiço Jost Bürgi ( ) em princípios do século XVII.

3 Um pequeno desafio! Alguém sabe como simplificar ?

4 Outro pequeno desafio! Qual é o valor de 128 x 256 ? Algoritmo da multiplicaçãoIdeias de Napier e Bürgi Os logaritmos, portanto, surgiram para realizar simplificações, uma vez que transformam multiplicações e divisões nas operações mais simples de soma e subtração.

5 Tábuas de logaritmos Posteriormente, Napier, juntamente com Briggs, elaboraram tábuas de logaritmos mais úteis de modo que o logaritmo de 1 fosse 0 e o logaritmo de 10 fosse uma potência conveniente de 10, nascendo assim os logaritmos briggsianos ou comuns, ou seja, os logaritmos dos dias de hoje. Recentemente, no século XX, com o desenvolvimento da Teoria da Informação, Shannon descobriu que a velocidade máxima C máx - em bits por segundo - com que sinais de potência S watts podem passar por um canal de comunicação, que permite a passagem, sem distorção, dos sinais de freqüência até B hertz, produzindo um ruído de potência máxima N watts, é dada por: Dessa forma, os logaritmos claramente assumem um papel fundamental, pois constituem uma ferramenta essencial no contexto da moderna tecnologia.

6 Aplicações!  A escala de acidez e os logaritmos. O pH é uma escala em Química para expressar o grau de acidez ou basicidade de uma solução aquosa. Os valores do pH variam de 0 a 14. Para o cálculo do pH usa-se a expressão: pH = - log[H + ]  Quando 0 ≤ pH < 7 ( solução ácida )  Quando pH = 7 ( solução neutra )  Quando 7 ≤ pH < 14 ( solução básica )

7 Aplicações! A escala de Richter foi desenvolvida em 1935 pelos sismólogos Charles Francis Richter e Beno Gutenberg, ambos membros do California Institute of Technology (Caltech), que estudavam sismos no sul da Califórnia, utilizando um equipamento específico - o sismógrafo Wood-Anderson. Após recolher dados de inúmeras ondas sísmicas liberadas por terremotos, criaram um sistema para calcular as magnitudes dessas ondas. A história não conservou o nome de Beno Gutenberg. No princípio, esta escala estava destinada a medir unicamente os tremores que se produziram na Califórnia (oeste dos Estados Unidos). Apesar do surgimento de vários outros tipos de escalas para medir terremotos, a escala Richter continua sendo largamente utilizada. A fórmula utilizada é M L = logA - logA 0.

8 Aplicações!  “Os impactos ambientais aumentaram muito a partir do séc. XVIII, como consequência da revolução industrial e do avanço das tecnologias de exploração e transformação da natureza. Além disso, houve um crescimento exponencial da população do planeta, composto de pobres em sua maioria” Sene, Eustáquio de. Espaço geográfico mundial e globalizado, 8º série pág São Paulo: Scipione, 2000.

9 Aplicações!  A reprodução de peixe:

10 Aplicações!  AGRICULTURA: p ara calcular o rendimento V de uma floresta podemos usar a fórmula: em que V dá-nos o valor em metros cúbicos de madeira por are (100m²), em função da idade da floresta, t.

11 Aplicações!  ASTRONOMIA: desde tempos antigos, que se tem classificado as estrelas de acordo com o seu brilho detectado a olho nú. As estrelas que mais brilhavam eram chamadas "estrelas de 1ª magnitude", aquelas que brilhavam um pouco menos eram chamadas " estrelas de 2ª magnitude" e assim sucessivamente. Atualmente o brilho de uma estrela pode ser medido exatamente, e a classificação da sua magnitude é baseada no cálculo do logaritmo do brilho atual. Assim, a fórmula que relaciona a magnitude e o brilho é

12 Aplicações!  INTENSIDADE SONORA:

13 Aplicações! Um pouco de diversão! Só LOG, Só LOG...

14  Definição: Sendo a e b números reais e positivos, com a≠1, chama-se logaritmo de b na base a o expoente x ao qual se deve elevar a base a de modo que a potência a x seja igual a b. Log a b = x a x = b

15 1. Log c (A.B) = log c A + log c B 2. Log c (A/B) = log c A – log c B 3. Log c A n = n. (log c A) 4. Log c A = (Log x A)/(Log x C) 5. Colog c A = Log c (1/A) = - Log c A

16  Tudo o que foi visto continua válido  A base deixa de ser 10 e passa a ser e (Euler)  Pode-se simplificar a escrita utilizando-se a nomenclatura: ln = log e

17  (Puccamp - Sp) A invenção dos logaritmos teve como resultado imediato o aparecimento de tabelas, cujas cálculos eram feitos um a um. O projeto do Inglês Charles Babbage (séc. XIX), “pai dos computadores modernos”, era construir uma máquina para a montagem dessas tabelas, como por exemplo:  Usando a tabela, determine o valor que se obtém para log 450 xLog x 20,30 30,47 40,60 50,70 60,78...

18  (PUC MG) As indicações R 1 e R 2 de dois terremotos, na escala Richter, estão relacionadas pela fórmula, em que E 1 e E 2 medem as respectivas energias, liberadas pelos terremotos em forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Nessas condições, se R1 = 8,5 e R2 = 7,0, é CORRETO afirmar que a razão entre E 1 e E 2, nessa ordem, é igual a: a)0,5 b)1,5 c)10 0,5 d)10 1,5

19  (UFRRJ) O pH de uma solução é definido por, sendo H + a concentração de hidrogênio em íons-grama por litro de solução. Calcule o pH de uma solução que tem íons-grama por litro.

20  (UFG GO) Um capital aplicado é acrescido de 25% ao final de cada mês. Quantos meses são necessários para que o montante atinja, no mínimo, cinco vezes o capital inicial?(Use a aproximação de 0,3010 para log 10 2)

21  (UFOP MG) Resolva a equação 3 x + 3 x + 1 = 8, sabendo que log2 = 0,3010 e log3 = 0,4771.

22  (UEPB) Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma tendência natural de se desintegrarem, diminuindo, portanto, sua quantidade original com o passar do tempo. Suponha que certa quantidade de um elemento radioativo, com massa inicial m 0 (gramas), com m 0 ≠ 0, decomponha-se conforme o modelo matemático,em que m(t) é a quantidade de massa radioativa restante no tempo t(anos). Usando a aproximação log 10 2=0,3, a quantidade de anos para que esse elemento se decomponha até atingir 1/8 da massa inicial será: a)60 b)62 c)64 d)63 e)70

23  Prof. Paulo Murillo  Site:


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