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Sistemas de Apoio à Decisão 1 Modelos de decisão.

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Apresentação em tema: "Sistemas de Apoio à Decisão 1 Modelos de decisão."— Transcrição da apresentação:

1 Sistemas de Apoio à Decisão 1 Modelos de decisão

2 Sistemas de Apoio à Decisão 2 Modelos de decisão Um modelo é uma representação simplificada da realidade. A realidade é demasiado complexa para poder ser representada na sua totalidade. Parte dessa complexidade é irrevelante para a resolução do problema especifico. A maior característica de um SAD é a inclusão de modelos.

3 Sistemas de Apoio à Decisão 3 Modelos de decisão Descreve Explica Prevê Objectivo Função Estado Forma Porque é que o sistema existe? Como é que funciona? O que está a fazer? Qual é o seu aspecto?

4 Sistemas de Apoio à Decisão 4 Modelos de decisão Um modelo é um mecanismo para prever o resultado de saída de um sistema real, sob determinadas condições especificadas pelos dados de entrada do modelo, sem que se tenha que usar o próprio sistema real. A estrutura do modelo descreve a forma do sistema e o comportamento do modelo explica o seu funcionamento.

5 Sistemas de Apoio à Decisão 5 Modelos de decisão De acordo com o seu grau de abstracção, os modelos podem ser classificados em 3 grupos diferentes: Icónicos Analógicos Matemáticos ou quantitativos Abstracção

6 Sistemas de Apoio à Decisão 6 Modelos de decisão Icónicos - os menos abstractos - constituem uma réplica física do sistema, normalmente a uma escala diferente da original. Exemplos: 3D (um automóvel, uma maquete de um edifício) e 2D (fotografias). Analógicos - não se parecem com o sistema real, mas comportam-se da mesma forma. São mais abstractos e constituem representações simbólicas da realidade. Exemplos: gráficos de barras, organogramas, mapas. Matemáticos ou quantitativos - a complexidade das relações existentes entre as diversas componentes de um sistema não pode muitas vezes ser representadas através de imagens, sendo necessárias formas mais abstractas de representação matemática. A maior parte dos SADs usam modelos matemáticos.

7 Sistemas de Apoio à Decisão 7 Vantagens do uso de modelos Permitem a compressão do tempo - actividades que em tempo real demorariam anos podem ser simuladas em alguns minutos. Os custos de uma análise do modelo são muito reduzidos em relação aos custos de uma experiência similar conduzida no sistema real. Os custos dos erros produzidos durante as experiências são mais reduzidos quando se usam modelos, evitando as mudanças irreversiveis. Permitem uma manipulação mais fácil e segura do sistema. Permitem o cálculo do risco, devido à incerteza, envolvido em certas acções. Permitem a análise de um número quase infinito de possíveis soluções. Favorecem a aprendizagem.

8 Sistemas de Apoio à Decisão 8 Modelos quantitativos Componentes básicas: Variáveis de decisão, Parâmetros, Resultados ou variáveis de saída. As variáveis de decisão descrevem as possíveis alternativas. Os parâmetros representam factores que influenciam os resultados, mas que estão fora do controlo do decisor, pois são determinados por factores externos ao sistema. Exemplo: manufactura - Custo total ou lucro, Quanto produzir?, capacidade da máquinas e preço das matérias primas.

9 Sistemas de Apoio à Decisão 9 Modelos quantitativos Os componentes dos modelos quantitativos estão relacionados por relações matemáticas expressas por equações ou inequações. Exemplos: Modelo financeiro Lucro = Ganhos – Custos Modelos de programação linear...

10 Sistemas de Apoio à Decisão 10 Modelos quantitativos Componentes básicas dos modelos de investigação operacional: Variáveis de decisão – cujos valores, que descrevem as possíveis alternativas, se pretende determinar. Função objectivo – que corresponde a uma função matemática das variáveis de decisão e que mede a performance de cada alternativa. Restrições – funções matemáticas que restringem os valores que cada variável de decisão pode tomar. Parâmetros – correspondem às contantes existentes nas expressões matemáticas das restrições ou da função objectivo e representam factores que influenciam os resultados, mas que podem estar fora do controlo do decisor, pois são determinados por factores externos ao sistema.

11 Sistemas de Apoio à Decisão 11 Modelos quantitativos Ao utilizar um modelo matemático de investigação operacional na resolução de um problema, este resume-se a escolher um conjunto de valores para as variáveis de decisão que maximize (minimize) o valor da função objectivo, respeitando as restrições impostas.

12 Sistemas de Apoio à Decisão 12 Programação linear A programação linear é uma técnica matemática que permite resolver problemas de alocação de recursos escassos entre actividades em competição por esses mesmos recursos. O problema consiste em encontrar o valor das variáveis de decisão que garantem a maximização (ou minimização) do resultado, estando sujeitas a algumas restrições (expressões lineares) que dependem de determinados parâmetros. As relações matemáticas entre estas variáveis são todas funções lineares. A palavra programação, neste contexto, significa planeamento. Processo de resolução: Método simplex (George Dantzig, 1947).

13 Sistemas de Apoio à Decisão 13 Programação linear Exemplo: Uma fábrica pretende produzir dois produtos, o produto 1 e o produto 2. Ambos os produtos passam por três fases de desenvolvimento durante o processo de manufactura, cada uma das quais se realiza num departamento diferente. No próximo mês, cada um dos departamentos tem um determinado números disponível de horas por máquina, para ser utilizado na concepção destes dois produtos. Por sua vez, cada um dos produtos requer, por unidade, um dado tempo de utilização de cada máquina. Tempo disponível (h) Tempo requerido por unidade (h) Produto 1 Produto Departamentos 123 Para manter o problema simples, vamos assumir que os custos de produção de cada produto são constantes, independentemente da quantidade produzida. Supondo que o lucros, por unidade, de cada produto são de € 3 para o produto 1 e € 5 para o produto 2, queremos determinar qual o número de unidades de cada um dos produtos que a fábrica deve produzir, no próximo mês, de modo a obter o maior lucro possível.

14 Sistemas de Apoio à Decisão 14 Programação linear Formulação matemática do problema: Variáveis de decisão: x 1 e x 2 representam o número de unidades dos produtos 1 e 2 respectivamente, a serem produzidas. Função objectivo:MaximizarZ = 3x 1 + 5x 2 Restrições:x 1 <= 4 2x 2 <= 12 3x 1 + 2x 2 <= 18 x 1, x 2 >= 0

15 Sistemas de Apoio à Decisão 15 Programação linear Representação gráfica do problema x1x1 x2x x 1 = 4 2x 2 = 12 3x 1 + 2x 2 = 18

16 Sistemas de Apoio à Decisão 16 Programação linear Representação gráfica do problema x1x1 x2x Z = 10 = 3x 1 + 5x 2 Z = 20 = 3x 1 + 5x 2 Z = 36 = 3x 1 + 5x 2 (2, 6)

17 Sistemas de Apoio à Decisão 17 Programação linear Formulação standard Max Z = c 1 x 1 +c 2 x c n x n sujeito às restrições: a 11 x 1 +a 12 x a 1n x n  b 1 a 21 x 1 +a 22 x a 2n x n  b 2. a m1 x 1 +a m2 x a mn x n  b m e x 1  0,x 2  0,... x n  0 Restrições funcionais Restrições de não negatividade

18 Sistemas de Apoio à Decisão 18 Programação linear Outras formas 1.Minimização da função objectivo: Min Z = c 1 x 1 +c 2 x c n x n 2.Restrições funcionais da forma  a i1 x 1 +a i2 x a in x n  b i 3.Restrições funcionais de igualdade a i1 x 1 +a i2 x a in x n = b i 4.Inexistência de restrições de não-negatividade para algumas variáveis de decisão.

19 Sistemas de Apoio à Decisão 19 Programação linear Qualquer conjunto de valores assumidos pelas variáveis de decisão (x1, x2,...,xn) é considerado uma solução. Tipos de soluções Solução admissível – que satisfaz todas as restrições. Um problema pode não ter nenhuma solução admissível. Solução óptima – é a solução admissível que corresponde ao valor mais favorável da função objectivo. É possível existir mais do que uma solução óptima para o mesmo problema. (se no exemplo a função objectivo fosse alterada para Z = 3x 1 + 2x 2 ). Também pode acontecer que não exista nenhuma solução óptima (se não haver nenhuma solução admissível ou se as restrições não evitarem o crescimento infinito da função objectivo).

20 Sistemas de Apoio à Decisão 20 Programação linear Método simplex Estrutura algorítmica Inicialização Iteração Teste de optimização Fim Processo algébrico em que cada iteração envolve a resolução de um sistema de equações de modo a obter uma nova solução que será testada através do teste de optimização.

21 Sistemas de Apoio à Decisão 21 Programação linear Representação gráfica do problema Soluções admissíveis correspondentes a um vértice da região de soluções admissíveis: (0, 0), (0, 6), (2, 6), (4, 3) e (4, 0) Soluções não admissíveis correspondentes a um vértice fora da região de soluções admissíveis : (0, 9), (4, 6) e (6, 0) x1x1 x2x (4, 6) (4, 3) (0, 9) (6, 0) (4, 0) (2, 6) (0, 6) (0, 0) As soluções admissíveis correspondentes a um vértice da região de soluções admissíveis dizem-se adjacentes quando se podem ligar através de um único segmento de recta.

22 Sistemas de Apoio à Decisão 22 Programação linear Propriedades das soluções admissíveis correspondentes a vértices da região de soluções admissíveis: 1.Se houver uma solução óptima ela corresponde a um vértice da região de soluções admissíveis. 2.Se houver múltiplas soluções óptimas, então pelo menos duas correspondem a vértices adjacentes da região de soluções admissíveis. 3.Há apenas um número finito de vértices da região de soluções admissíveis (e, portanto das correspondentes soluções admissíveis). 4.Considerando um vértice da região de soluções admissíveis e a correspondente solução admissível, se a nenhum dos vértices a ele adjacentes corresponder uma solução melhor (medida através de Z), então não existe nenhuma solução melhor e, portanto esta é uma solução óptima.

23 Sistemas de Apoio à Decisão 23 Programação linear Propriedade 1 e 2 A busca da solução óptima resume-se à análise de apenas as soluções admissíveis correspondentes a vértices da região de soluções admissíveis. Propriedade 3 Portanto apenas existe um número finito de soluções a considerar. Propriedade 4 Fornece um conveniente teste de optimização.

24 Sistemas de Apoio à Decisão 24 Programação linear Método simplex Examina apenas um número relativamente pequeno de soluções admissíveis e pára assim que alguma satisfizer o teste de optimização expresso pela propriedade 4. 1.Inicialização: Começa por uma solução admissível correspondente a um vértice da região de soluções admissíveis. 2.Iteração: Passa para outra solução admissível correspondente a um vértice adjacente da região de soluções admissíveis. (Passo repetido até a solução corrente satisfazer o teste de optimização). 3.Teste de optimização: A solução corrente é uma solução óptima se nenhuma das soluções adjacentes for melhor.

25 Sistemas de Apoio à Decisão 25 Programação linear Percurso do método simplex para o exemplo: 1. Inicialização: Começa em (0, 0) 2a. Iteração 1: Passa para (0, 6) 2b. Iteração 2: Passa para (2, 6) 3. Teste: Nem (0, 6) nem (4, 3) são melhores que (2, 6). Pára. (2, 6) é solução óptima.

26 Sistemas de Apoio à Decisão 26 Método simplex Procedimento algébrico -Conversão de restrições de desigualdade em restrições de igualdade. - Introdução de variáveis de desvio X 1  4  X 1 + X 3 = 4 X 3 ≥ 0

27 Sistemas de Apoio à Decisão 27 Método simplex Forma aumentada MaximizarZ = 3x 1 + 5x 2 Restrições:x 1 + x 3 = 4 2x 2 + x 4 = 12 3x 1 + 2x 2 + x 5 = 18 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 >= 0

28 Sistemas de Apoio à Decisão 28 Uma solução aumentada é uma solução original à qual foram acrescentados os valores correspondentes às variáveis de desvio. Exemplo: Solução (3, 2) Solução aumentada (3, 2, 1, 8, 5) Uma solução aumentada correspondentes a um vértice dentro ou fora da região de soluções admissíveis designa-se solução básica. Exemplo: Solução (4, 3) Solução aumentada (4, 3, 0, 6, 0) Uma solução aumentada correspondente a um vértice dentro da região de soluções admissíveis designa-se solução básica admissível. Método simplex

29 Sistemas de Apoio à Decisão 29 No exemplo, após a introdução das variáveis de desvio (forma aumentada): sistema de restrições funcionais - 5 variáveis e 3 equações 2 graus de liberdade na resolução do sistema de equações Simplex atribui o valor arbitrário 0 a essas variáveis (variáveis não-básicas). As restantes são chamadas variáveis básicas. A solução resultante da resolução do sistema de equações designa-se solução básica. Se todas as variáveis básicas forem não-negativas, a solução obtida chama-se solução básica admissível. Método simplex

30 Sistemas de Apoio à Decisão 30 Duas soluções básicas admissíveis são adjacentes se têm as mesmas variáveis não-básicas excepto uma (o mesmo se aplica às suas variáveis básicas). Assim, para passar de uma solução básica admissível para outra adjacente basta apenas trocar uma variável básica para não-básica e vice-versa em relação a outra variável. Método simplex

31 Sistemas de Apoio à Decisão 31 Exemplo: Soluções adjacentes(0, 0)(0, 6) Soluções básicas admissíveis correspondentes (0, 0, 4, 12, 18)(0, 6, 4, 0, 6) Variáveis não-básicas(x 1, x 2 )(x 1, x 4 ) Para passar de uma para outra basta trocar x 2 por x 4 como variavél não-básica e vice-versa. O número de variáveis não básicas numa solução básica é igual ao número de graus de liberdade de um sistema de equações. O número de variáveis básicas é igual ao número de restrições funcionais. Método simplex

32 Sistemas de Apoio à Decisão 32 Método simplex Inicialização Teoricamente, podemos começar por qualquer solução básica admíssível. Se o problema não se encontrar na forma standard, procede- se a alguns ajustamentos. Introduzem-se as variáveis de desvio. Seleccionam-se as variáveis originais como as variáveis não- básicas (=0) e as variáveis de desvio como as variáveis básicas para a solução inicial. Aplica-se o teste de optimização.

33 Sistemas de Apoio à Decisão 33 Iteração Passar para uma solução básica admissível adjacente que seja melhor em termos do valor da F.O. (Z). –Conversão de uma variável não-básica em básica (variável de entrada) –Conversão de uma variável básica em não-básica (variável de saída) Qual o critério para seleccionar a variável de entrada? Candidatas: Todas as váriáveis não-básicas da solução corrente. Método simplex

34 Sistemas de Apoio à Decisão 34 Importa escolher a que mais contribui para melhorar (maximizar) o valor de Z. –Aquela que possui o maior coeficiente positivo na expressão da F.O. Exemplo: Z = 3x 1 + 5x 2 Variáveis não-básicas: x 1 e x 2. x 2 tem o maior coeficiente positivo  variável de entrada. Método simplex

35 Sistemas de Apoio à Decisão 35 Como identificar a variável de saída? Ignorando as variáveis de desvio, incrementando x 2 e deixando x 1 =0, significa que nos estamos a deslocar ao longo do eixo x 2. A solução admissível correspondente ao vértice da região de soluções admissíveis encontrado será (0, 6) que se alcança ao atingir a recta da restrição 2x 2 =12. Solução básica admissível adjacente é alcançada quando a 1ª variável básica (variável de saída) atinge o valor 0. Parar para evitar sair da região de soluções admissíveis (por incumprimento das restrições de não-negatividade). A variável de saída não se escolhe. Método simplex

36 Sistemas de Apoio à Decisão 36 Exemplo: Candidatas: x 3, x 4 e x 5. mínimo X3X3 x 3 = 4 – x 1 Não limita X4X4 x 4 = x 2 x 2 = 12/2 = 6 X5X5 x 5 = 18 – 3x 1 -2x 2 x 2 = 18/2 = 9 Quando x 4 = 0, x 2 =6 Quando x 5 = 0, x 2 =9 Limite superior para x 2 = 6x 4 – variável de saída Método simplex

37 Sistemas de Apoio à Decisão 37 Como identificar a nova solução básica admissível? Sabendo o valor da nova variável não-básica (x 4 = 0) e da nova variável básica (x 2 = 6), basta resolver o sistema de equações e obtemos os valores das restantes variáveis. No entanto, para que o sistema fique preparado para a próxima iteração, devemos mante-lo na forma inicial: 1 variável básica com coeficiente = 1 em cada equação e que não aparece em nenhuma outra equação. Método simplex

38 Sistemas de Apoio à Decisão 38 Operações algébricas para resolver o sistema de equações lineares: Multiplicar (ou dividir) uma equação por uma constante não- negativa. Adicionar (ou subtrair) um múltiplo de uma equação a outra equação. Método simplex

39 Sistemas de Apoio à Decisão 39 Exemplo: Z -3x 1 -5x 2 = 0 x 1 +x 3 = 4 2x 2 +x 4 = 12 3x 1 +2x 2 + x 5 = 18 x 2 +1/2x 4 = 6 Para colocar o coeficiente de x2 = 1: Div 2 Método simplex

40 Sistemas de Apoio à Decisão 40 Exemplo: x 2 precisa ainda ser eliminado das outras equações em que aparece: Z -3x 1 -5x 2, 0 +5 ( x 2 +1/2x 4, 6) Z -3x 1 +5/2 x 4, 30) 3x 1 +2x 2, ( x 2 +1/2x 4, 6) 3x 1 -x 4 +x 5, 6) Método simplex

41 Sistemas de Apoio à Decisão 41 Exemplo: Resultado da iteração: Z -3x 1 +5/2x 4 = 30 x 1 +x 3 = 4 x 2 +1/2x 4 = 6 3x 1 - x 4 + x 5 = 6 Nova solução = (0, 6, 4, 0, 6) Variáveis não-básicas = 0 Variáveis básicas = lado direito da respectiva restrição. Método simplex

42 Sistemas de Apoio à Decisão 42 Teste de optimização Z = x 1 -5/2x 4 Como x 1 tem coeficiente positivo, se aumentarmoso seu valor é possível aumentar o valor de Z e atingir outra solução básica admissível adjacente melhor. Portanto, esta não é uma solução óptima. Uma solução básica admissível é óptima se e só se todas as variáveis não-básicas tiverem coeficientes não-positivos ( ≤ 0) na forma corrente da F.O. (resolvida em função de Z). Método simplex

43 Sistemas de Apoio à Decisão 43 Forma tabular Coeficientes das variáveis Constantes lado direito das restrições Variáveis básicas de cada equação Var. básicas Eq. Nº Coeficientes Lado direito Zx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 X5X5 Z X3X X4X X5X Método simplex

44 Sistemas de Apoio à Decisão 44 A solução básica admissível corrente é óptima se e só se todos os coeficientes da F.O. forem não–negativos ( ≥0). Variáveis não-básicas (x 1 e x 2 ) têm coeficientes negativos na F.O., logo a solução inicial não se trata de uma solução óptima. Método simplex

45 Sistemas de Apoio à Decisão 45 Iteração 1 1.Variável de entrada: variável não-básica com coeficiente negativo de maior valor absoluto – x 2. Var. básicas Eq. Nº Coeficientes Lado direito Zx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 X5X5 Z X3X X4X X5X Coluna pivot Método simplex

46 Sistemas de Apoio à Decisão 46 Iteração 1 2.Variável de saída: Seleccionar os coeficientes positivos ( >0 )da coluna pivot; Dividir cada um deles pelo lado direito da respectiva linha da tabela; Identificar a equação com o menor valor obtido; Seleccionar a variável básica correspondente a essa equação: x 4. Var. básicas Eq. Nº Coeficientes Lado direito Zx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 X5X5 Z X3X X4X X5X Coluna pivot Linha pivot Número pivot 12/2 = 6 18/2 = 9 Método simplex

47 Sistemas de Apoio à Decisão 47 Iteração 1 3.Nova solução básica admissível (1): Para modificar o coeficiente da nova variável básica na linha pivot para 1, divide-se toda a linha pelo nº pivot. Var. básicas Eq. Nº Coeficientes Lado direito Zx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 X5X5 Z01 X3X X2X ½ 06 X5X5 30 nova linha pivot = linha pivot antiga número pivot Método simplex

48 Sistemas de Apoio à Decisão 48 Iteração 1 3.Nova solução básica admissível (2): Falta ainda colocar os coeficientes da nova variável básica (x 2 ) a 0 nas outras equações. linha 0 : coeficiente da coluna pivot = -5 linha 3: coeficiente da linha pivot = 2 nova linha = linha antiga – (coeficiente linha pivot * nova linha pivot) linha 0: ,0 +5 ( 01 01/2 0,6) -3005/20,30) Método simplex

49 Sistemas de Apoio à Decisão 49 Iteração 1 3.Nova solução básica admissível (3): linha 3: ,19 -2 (01 01/2 0, 6) , 6) Var. básicas Eq. Nº Coeficientes Lado direito Zx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 X5X5 Z /2 030 X3X X2X ½06 X5X Nova solução básica admissível = (0, 6, 4, 0, 6) Método simplex

50 Sistemas de Apoio à Decisão 50 Iteração 2 Variável de entrada = x 1 Variável de saída = x 5 Número pivot = 3 Solução = (2, 6, 2, 0, 0)  Z = 36 Solução óptima - nenhum dos coeficientes da F.O. é negativo. Var. básicas Eq. Nº Coeficientes Lado direito Zx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 X5X5 Z /2 136 X3X /3-1/3 2 X2X ½06 X1X /3 2 Método simplex

51 Sistemas de Apoio à Decisão 51 Múltiplas soluções (1) Se a função objectivo do nosso exemplo fosse Z = 3 x x 2 todos os pontos do segmento de recta entre (2, 6) e (4, 3) correspondiam a soluções óptimas. F. O. e a restrição 3 correspondiam a rectas paralelas. O método pára assim que encontra a 1ª solução óptima. Em certos casos pode ser importante conhecer e poder optar entre soluções óptimas alternativas. Método simplex

52 Sistemas de Apoio à Decisão 52 Múltiplas soluções (2) Quando um problema tem mais do que 1 solução óptima, pelo menos 1 das variáveis não-básicas tem coeficiente = 0 na equação da F.O. final. Assim, incrementando essa variável, o valor de Z não é alterado. Outras soluções óptimas podem ser alcançadas executando iterações adicionais do método simplex e escolhendo de cada vez uma variável não-básica com coeficiente = 0 como variável de entrada. Em geral, podemos identificar 2 soluções óptimas. As restantes podem ser identificadas usando a média ponderada destas duas:  (sol1) + (1-  ) (sol2)0 ≤  ≤ 1 Se ignorarmos as variáveis de desvio, esta é a fórmula do segmento de recta definido entre (2, 6) e (4, 3). Método simplex

53 Sistemas de Apoio à Decisão 53 Outras formas Quando o problema não se encontra na forma standard (restrições =, ≥ ou b i ≤ 0) temos que proceder a alguns ajustamentos, na fase de inicialização, de forma a que o resto do método simplex possa prosseguir como usualmente. a i1 x 1 +a i2 x a in x n = b i a i1 x 1 +a i2 x a in x n  b i a i1 x 1 +a i2 x a in x n ≥ b i Para evitar aumentar o número de restrições utilizam-se variáveis artificiais. Método simplex

54 Sistemas de Apoio à Decisão 54 Outras formas (restrições de igualdade) Supondo que a 3ª restrição do nosso exemplo era 3 x x 2 = 18: A região de soluções admissíveis passa a ser apenas o segmento de recta entre (2, 6) e (4, 3). Como não precisamos adicionar nenhuma variável de desvio para a equação 3, a solução inicial deixa de ser óbvia (na solução inicial as variáveis de decisão tomam valor 0 e as variáveis de desvio ficam iguais ao lado direito das restrições). Introduz-se uma variável artificial ( ), tal como se fosse uma variável de desvio, e a respectiva restrição de não-negatividade. ( x 1, x 2, x 3, x 4, ) = (0, 0, 4, 12, 18) A variável artificial alarga a região de soluções admissíveis. Método simplex

55 Sistemas de Apoio à Decisão 55 Outras formas (restrições de igualdade) As soluções admissíveis para o problema revisto também são soluções admissíveis para o problema original desde que as variáveis artificiais tomem o valor 0. Para garantir que a variável artificial ( ) é 0 na solução óptima, temos que introduzi-la na F.O. com um coeficiente negativo extremamente elevado, de modo a que um aumento em provoque uma diminuição enorme no valor de Z. Assim, Z = 3 x x 2 – M Método simplex

56 Sistemas de Apoio à Decisão 56 Outras formas (restrições de igualdade) Agora há que eliminar o coeficiente M de na equação da F.O.: M,0 -M ( ,18) (-3M-3) (-2M-5) 000,-18M Para determinar a variável de entrada compara-se o factor multiplicativo de M (uma vez que o factor aditivo pode ser desprezado, por M ser tão grande). Neste caso, a variável de entrada seria x 1. Método simplex

57 Sistemas de Apoio à Decisão 57 Exemplo 2: Função objectivo:MinimizarZ = o.4x x 2 Restrições:0.3x x 2 ≤ x x 2 = 6 0.6x x 2 ≥ 6 x1, x2 >= 0 MinimizarZ = o.4x x 2 + M x 4 0.3x x 2 + x 3 ≤ x x 2 + x 4 = 6 0.6x x 2 ≥ 6 x 1, x 2, x 3, x 4 >= 0 Método simplex

58 Sistemas de Apoio à Decisão 58 Exemplo 2: Método simplex x1x1 x2x (6, 6) (7.5, 4.5) 0.5x x 2 = x x 2 ≥ 6 0.3x x 2 ≤ 2.7 (8, 3)

59 Sistemas de Apoio à Decisão 59 Caso das restrições ≥ Multiplicam-se ambos os lados da inequação por -1: 0.6x x 2 ≥ x x 2 ≤ x x 2 + x 5 = - 6 Método simplex

60 Sistemas de Apoio à Decisão 60 Lados direitos da restrições < x x 2 + x 5 = - 6 No caso de x 1, x 2 = 0 (solução básica admissível inicial) x 5 = -6, o que não estaria de acordo com as restrições de não-negatividade. Se voltarmos a multiplicar ambos os lados da equação por -1: 0.6x x 2 – x 5 = 6 Torna o lado direito positivo, mas continuamos a ter x 5 negativo para o caso de x 1, x 2 = 0. A equação agora pode ser vista como uma restrição de igualdade e aplicar- se as técnicas das variáveis artificiais: 0.6x x 2 – x 5 + x 6 = 6 Onde x 6 seria usada como variável básica inicial. Método simplex

61 Sistemas de Apoio à Decisão 61 Exemplo 2: Função objectivo:MinimizarZ = o.4x x 2 Restrições:0.3x x 2 ≤ x x 2 = 6 0.6x x 2 ≥ 6 x1, x2 >= 0 MinimizarZ = o.4x x 2 + M x 4 + M x 6 0.3x x 2 + x 3 ≤ x x 2 + x 4 = 6 0.6x x 2 - x 5 + x 6 ≥ 6 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 >= 0 Método simplex

62 Sistemas de Apoio à Decisão 62 Minimização Minimizar Z = Maximizar- Z = Exemplo: Max- Z = - 0.4x x 2 – M - M Método simplex

63 Sistemas de Apoio à Decisão 63 Minimização As variáveis básicas (x 3,, ) necessitam ainda de ser eliminadas da F.O. e têm coeficientes M M0M,0 -M ( ,6) -M ( ,6) (-1.1M+0.4) (-0.9M+0.5) 000M,-12M Método simplex

64 Sistemas de Apoio à Decisão 64 Inexistência de soluções admissíveis A escolha de solução básica admissível inicial pode não ser óbvia pelo facto do problema não possuir nenhuma solução admissível. Pela técnica das variáveis artificiais: Se o problema original não tiver nenhuma solução admissível, então na solução final existe pelo menos uma variável artificial > 0. De outro modo todas serão 0 na solução final. Método simplex

65 Sistemas de Apoio à Decisão 65 Variáveis que podem tomar valores negativos x i >= L i L i < 0 x i ’ = x i – L i x i ’ ≥ 0 (x i ’ + L i ) será substituido por x i em todo o modelo, de modo a que x i ’ não possa ser negativo. Método simplex

66 Sistemas de Apoio à Decisão 66 Variáveis que podem tomar valores negativos Exemplo: x 1 ≥ -10 x 1 = x 1 ’ - 10 Método simplex Z = 3x 1 + 5x 2 x 1 ≤ 4 2x 2 ≤ 12 3x 1 + 2x 2 ≤ 18 x 1 ≥ -10, x 2 ≥ 0 Z = 3(x 1 ’ - 10) + 5x 2 (x 1 ’ – 10) ≤ 4 2x 2 ≤ 12 3(x 1 ’ - 10) + 2x 2 ≤ 18 (x 1 ’ - 10) ≥ -10, x 2 ≥ 0 Z = x 1 ’ + 5x 2 x 1 ’≤ 14 2x 2 ≤ 12 3x 1 ’ + 2x 2 ≤ 48 x 1 ’ ≥ 0, x 2 ≥ 0


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