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Título do slide 1 EXPERIMENTOS FATORIAIS FRACIONÁRIOS I.

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1 Título do slide 1 EXPERIMENTOS FATORIAIS FRACIONÁRIOS I

2 Título do slide 2 Nos delineamentos fatoriais completos todas combinações de fatores e níveis são testadas, havendo réplicas. A análise dos resultados permite: estimar todos os possíveis efeitos principais estimar todas as possíveis interações existentes concluir quais são estatisticamente significativos REDUNDÂNCIA Contudo, havendo um número grande de fatores existem alguns problemas em termos de sua utilização: o tempo despendido na sua realização é longo o custo de execução é, por vezes, proibitivo a interferência na produção normal é grande É muito pouco provável (senão impossível) que todos os fatores e interações sejam significativos em um experimento. Assim, existe uma certa redundância (gasto desnecessário) na quantidade total de provas realizadas.

3 Título do slide 3 Se o número de fatores é grande, mesmo cada fator tendo dois níveis, o número de tratamentos pode ser muito grande. Planejamento fatorial 2 k fracionário Nesse caso, uma fração dos tratamentos pode ser usada com pouca ou nenhuma perda de informação sobre os efeitos principais e sobre as interações de ordem mais baixas. Assim, planejamentos fatoriais fracionários permitem o estudo de um número grande de fatores com poucas experiências (tratamentos). Num planejamento 2 k fracionário interações de alta ordem, em geral, não são importantes. k tratamentos

4 Título do slide 4 Exemplo: Fatorial completo 2 6 Num delineamento 2 6 fracionário um subconjunto dos tratamentos é selecionado, de modo que a maioria dos g.l. para estimação dos efeitos dos fatores é usada para a estimação dos efeitos principais e efeitos de interações de ordem baixa, com pouca perda de informação sobre os efeitos de interações de ordem alta. Termos do modelo g.l. Efeitos principais 6 Interações de 2ª.ordem15 Interações de 3ª.ordem20 Interações de 4ª.ordem15 Interações de 5ª.ordem 6 Interações de 6ª.ordem 1 42 g.l. (interações de 3 ou + fatores = 2/3 do total de g.l ) Confundimento: Confundir os efeitos principais e os de interação de ordem baixa com os efeitos de interação de ordem alta.  2 k fracionário torna-se eficiente em fornecer informação completa sobre os efeitos principais e os de interação de ordem baixa com poucas unidades experimentais ( u.e. ). Planejamento fatorial 2 k fracionário

5 Título do slide 5 Exemplo: Micróbios (conceito de confundimento) Lembrar que: Experimento completo  2 4  1 r é plica: 16 u.e. Tratamento Y Y 1 y y y y y y y y y y y y y y y y 1111 Planejamento fatorial 2 k fracionário Fatores: A - Temperatura de processo ; B - Agente (conservante) C - Umidade ; D - Acidez Suponha que foi determinado que somente ½ (metade) dos 16 tratamentos pudessem ser usados. Quais são os 8 escolhidos? Pesquisador decide descartar os tratamentos: 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14 e 15.

6 Título do slide 6 Trat YIABCDABACADBCBDCDABCABDACDBCDABCD 1 y y y y y y y y y y y y y y y y Planejamento fatorial completo 2 4 Excluir: 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14 e 15  permanecem 1, 4, 5, 8, 9, 12, 13, 16. Planejamento fatorial 2 k fracionário: Ex. Micróbios volta

7 Título do slide 7 Trat YIABCDABACADBCBDCDABCABDACDBCDABCD 1 y y y y y y y y Planejamento fatorial 2 4 fracionário com ½ dos tratamentos Mantidos: 1, 4, 5, 8, 9, 12, 13, 16. Escolha ruim!!  colunas de A e B idênticas  os efeitos principais dos fatores A e B não poderão ser estimados separadamente. Se a análise dos dados mostrar que o efeito associado a A é ativo, não saberemos se esse resultado é devido ao efeito do fator A, do fator B ou da combinação de ambos.  Dizemos que os fatores A e B estão confundidos no experimento. Planejamento fatorial 2 k fracionário: Ex. Micróbios

8 Título do slide 8 Trat YIABCDABACADBCBDCDABCABDACDBCDABCD 1 y y y y y y y y Fatorial 2 4 fracionário com ½ dos tratamentos com 1, 4, 5, 8, 9, 12, 13, 16 Mas há outros 7 pares de colunas idênticas (total de 8 pares idênticos) A = B ; C = ABC; D = ABD; AC = BC; AD = BD; BCD = ACD; ABCD = CD; AB = I (coluna “0”, para média geral). Consequentemente, os dois efeitos em cada par estão confundidos e não podem ser estimados separadamente. Essas relações definem um esquema de confundimento para este planejamento fatorial. Além disso, AB está confundido com o intercepto ( I ), então AB é geralmente chamado de não mensurável. Planejamento fatorial 2 k fracionário: Ex. Micróbios

9 Título do slide 9 Outra escolha: manter os tratamentos 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16. Com esta escolha, os 8 pares idênticos são: A = BCD ; B = ACD; C = ABD; D = ABC; AB = CD; AC = BD; AD = BC; I = ABCD.  Efeitos principais confundidos com efeitos de interação de 3ª. ordem.  Efeitos de interação entre 2 fatores confundidos com outros de mesma ordem.  Efeitos de interação entre os 4 fatores confundidos com a média geral. Planejamento fatorial 2 k fracionário: Ex. Micróbios Trat YIABCDABACADBCBDCDABCABDACDBCDABCD 1 y y y y y y y y

10 Título do slide 10 Se efeitos de interação entre 3 fatores ou mais são desprezíveis, este planejamento é muito útil. Por exemplo, se A + BCD é significante, pode- se concluir que o efeito observado é devido ao fator A e não à interação entre os fatores B, C e D. Nesta escolha, como os efeitos de interação entre dois fatores estão confundidos entre si, se são ativos, novos experimentos são necessários para separá-los.  Escolha dos tratamentos que são descartados/mantidos não pode ser arbitrária (tentativa e erro). É possível definir uma relação para o esquema de confundimento. Planejamento fatorial 2 k fracionário Exemplo: Micróbios (conceito de confundimento)

11 Título do slide 11 Nos delineamentos fatoriais fracionários somente uma parcela do total de possibilidades de todas as combinações é testada. Genericamente, para dois níveis, representamos o planejamento fracionário, por em que p  1. Delineamento fatorial 2 k fracionário Por exemplo: para p = 1, devemos utilizar a metade (½ ) das experiências possíveis do 2 k ; para p = 2, utilizaremos ¼ das experiências possíveis; e, assim, por diante..., ou seja, a fração de tratamentos que se pode considerar, em delineamentos fatoriais em dois níveis, é sempre de uma potência de 2. 2 k - p = 2 k 2 p

12 Título do slide 12 Delineamento fatorial 2 k fracionário Responda: 1) Num planejamento fatorial completo com 5 fatores, em dois níveis (sem repetição), quantas experiências são feitas? 2) No planejamento anterior, se podemos ter duas repetições por tratamento, quantas observações teremos? 3) Se ficar decidido que no delineamento em (1) podemos realizar apenas metade das combinações possíveis (2 5-1 ), quantas experiências serão realizadas? 4) Como é representado o delineamento em (1) se pudermos realizar um quarto das experiências possíveis? Nesse caso, quantas experiências serão?

13 Título do slide 13 Delineamento fatorial 2 k fracionário De uma maneira geral, é necessário definir uma relação para o esquema de confundimento. Exemplo: Micróbios Relação de definição: I = ABCD (gerador de confundimento) Para encontrar os efeitos principais e interações que estão confundidos, utilizaremos o produto módulo 2 (mostrado a seguir). O esquema de confundimento é definido multiplicando a coluna de cada lado da relação de definição, I = ABCD, por sucessivas colunas da tabela de contrastes. Como todas as colunas de contrastes são formadas por ”1” e “-1”, resultados das multiplicações das colunas são úteis.

14 Título do slide 14 Delineamento fatorial 2 k fracionário Propriedades da multiplicação entre colunas: 1) I  I = I (pois todos elementos de I são iguais a “1”) Assim, I  I = I 2 = I. 2) Col j  I = Col j (pois todos os elementos de I são iguais a “1”) 3) Col j  Col j = Col j 2 = I (1 2 = (-1) 2 = 1) Estas propriedades caracterizam o chamado produto módulo 2 Voltando a relação de definição I = ABCD, temos A = BCD, pois multiplicando-se por A ambos os lados da relação, segue que A  I = A e A  ABCD = A 2 BCD = BCD.

15 Título do slide 15 Delineamento fatorial 2 k fracionário Continuando a multiplicar ambos os lados da relação de definição por colunas sucessivas, obtemos B  I = B  ABCD = AB 2 CD = ACD ( B = ACD ) C  I = C  ABCD = ABC 2 D = ABD (C = ABD) D  I = D  ABCD = ABCD 2 = ABC (D = ABC) AB  I = AB  ABCD = A 2 B 2 CD = CD (AB = CD) AC  I = AC  ABCD = A 2 BC 2 D = BD (AC = BD) AD  I = AD  ABCD = A 2 BCD 2 = BC (AD = BC) E mais nenhum outro produto é necessário, pois já foram obtidos todos os confundimentos. As operações acima reproduziram todo o esquema de confundimento. Estas relações foram baseadas na relação de definição (gerador de confundimento) I = ABCD.

16 Título do slide 16 Delineamento fatorial 2 k-1 Delineamentos em fração ½ 1)Definir o gerador de confundimento (relação de definição) 2)Definir o esquema de confundimento 3)O planejamento fatorial correspondente é construído: a) Construir a tabela de contraste para o plano com todos os fatores e interações. b) Escolher as linhas (tratamentos) para as quais a relação de definição ocorre. c) estimar os efeitos principais e interações exatamente como no caso do planejamento fatorial completo.

17 Título do slide 17 Delineamento fatorial 2 k-1 Exemplo: Micróbios Gerador de confundimento: I = ABCD (relação de definição) Esquema de confundimento: Manter os tratamentos (linha l ) para os quais I (l) = ABCD (l)  Isto ocorre para os tratamentos 1, 4, 6, 7, 10 11, 13, 16 (em cinza no quadro). A0A0 A1A1 B0B0 B1B1 B0B0 B1B1 C0C0 D0D0 (1)(3)(2)(4) D1D1 (5)(7)(6)(8) C1C1 D0D0 (9)(11)(10)(12) D1D1 (13)(15)(14)(16) slide7 A = BCD B = ACD C = ABD D = ABC AB = CD AC = BD AD = BC  Obs.: Este delineamento é denominado Caso geral:, Sendo k n o. de fatores e p : fração

18 Título do slide 18 Delineamento fatorial 2 k-1  Outra forma de obter os tratamentos que são mantidos Etapas: a) escrever a tabela de contrastes do fatorial completo 2 3 = 2 4-1, sem incluir o último fator (acidez, no caso). Exp.Tratamento ABC 1 A0B0C0A0B0C0 2 A1B0C0A1B0C0 1 3 A0B1C0A0B1C0 1 4 A1B1C0A1B1C A0B0C1A0B0C1 1 6 A1B0C1A1B0C A0B1C1A0B1C A1B1C1A1B1C1 111 Exp. ABCD b) Completar a tabela com o último fator ( D ), atribuindo-lhe os contrastes da interação mais alta ( ABC, no caso); c) Nessa conformação, identificar os contrastes de um fatorial completo 2 4. d) Calcular os efeitos principais e interações como de um fatorial completo; e) Analisar os resultados, avaliando se os mesmos são estatisticamente significativos; (1) (10) (11) (4) (13) (6) (7) (16)

19 Título do slide 19 Delineamento fatorial 2 k-1 Exemplo: Micróbios  Delineamento fracionário e o gerador de confundimento foi I = ABCD, que produziu o esquema de confundimento AB = CD AC = BD AD = BC A = BCD B = ACD C = ABD D = ABC volta A0A0 A1A1 B0B0 B1B1 B0B0 B1B1 C0C0 D0D0 (1)(3)(2)(4) D1D1 (5)(7)(6)(8) C1C1 D0D0 (9)(11)(10)(12) D1D1 (13)(15)(14)(16) resultando que os tratamentos que devem ser realizados são: 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16

20 Título do slide 20 Delineamento fatorial 2 k-1 Observação: Para este delineamento podemos ainda realizar os tratamentos 2, 3, 5, 8, 9, 12, 14, 15, que são resultantes da relação de definição I = -ABCD, produzindo o esquema de confundimento AB = - CD AC = - BD AD = - BC A = - BCD B = - ACD C = - ABD D = - ABC volta A0A0 A1A1 B0B0 B1B1 B0B0 B1B1 C0C0 D0D0 (1)(3)(2)(4) D1D1 (5)(7)(6)(8) C1C1 D0D0 (9)(11)(10)(12) D1D1 (13)(15)(14)(16) ou seja, é o mesmo esquema obtido anteriormente, porém com sinal contrário, e estas experiências são a outra fração ½ do delineamento fatorial completo.

21 Título do slide 21 Delineamento fatorial 2 k-1 Exercício: Considere um delineamento fatorial fracionado 2 5-1, em que I = ABCDE é o gerador de confundimento. Obter todos os confundimentos para este planejamento.

22 Título do slide 22 Delineamento fatorial 2 k-1 Análise Estatística dos Resultados A avaliação quanto a significância estatística dos efeitos (principais e interações) pode ser feita pela análise de variância (ANOVA), que requerer um número de réplicas maior do que um ( r >1), por experiência. Quando não há repetições (r = 1), utilizando os procedimentos gráficos vistos para delineamentos fatoriais completos (Diagrama de Pareto e Papel de Probabilidade Normal), é possível verificar a significância estatística dos efeitos principais e interações. Observações: 1) Nos experimentos fracionários, como haverá relações de confundimento, a verificação de significância estatística será para a relação confundida e não para o efeito isoladamente. 2) Se a relação de confundimento envolve um efeito principal e uma interação de ordem alta e esta, em geral, pode ser considerada desprezível, a conclusão será para o efeito principal envolvido na relação.

23 Título do slide 23 Delineamento fatorial 2 k-1 Exemplo: Micróbios (mantidos 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16) Confundimentoestimativas A = BCD -0,025 B = ACD -2,99 C = ABD 2,45 D = ABC -0,01 AB = CD -0,48 AC = BD 0,365 AD = BC -3,15 PPN  (ordenados) Confundimentoestimativas P Conclusão? slide20

24 Título do slide 24 ANEXO - PERCENTIS PARA PAPEL DE PROBABILIDADE NORMAL Ordem ( i ) Fatores ( k ) ,143,331,61 221,4310,004,84 335,7116,678,06 450,0023,3311,29 564,2930,0014,52 678,5736,6717,74 792,8643,3320,97 850,0024,19 956,6727, ,3330, ,0033, ,6737, ,3340, ,0043, ,6746, , , , , , , , , , , , , , , , ,39


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