EXPERIMENTOS FATORIAIS FRACIONÁRIOS I

Apresentação em tema: "EXPERIMENTOS FATORIAIS FRACIONÁRIOS I"— Transcrição da apresentação:

1 EXPERIMENTOS FATORIAIS FRACIONÁRIOS I

2 estimar todos os possíveis efeitos principais
REDUNDÂNCIA Nos delineamentos fatoriais completos todas combinações de fatores e níveis são testadas, havendo réplicas. A análise dos resultados permite:  estimar todos os possíveis efeitos principais estimar todas as possíveis interações existentes concluir quais são estatisticamente significativos Contudo, havendo um número grande de fatores existem alguns problemas em termos de sua utilização: o tempo despendido na sua realização é longo o custo de execução é, por vezes, proibitivo a interferência na produção normal é grande É muito pouco provável (senão impossível) que todos os fatores e interações sejam significativos em um experimento. Assim, existe uma certa redundância (gasto desnecessário) na quantidade total de provas realizadas.

3 Planejamento fatorial 2k fracionário
Se o número de fatores é grande, mesmo cada fator tendo dois níveis, o número de tratamentos pode ser muito grande. k 2 4 5 6 8 tratamentos 16 32 64 256 Nesse caso, uma fração dos tratamentos pode ser usada com pouca ou nenhuma perda de informação sobre os efeitos principais e sobre as interações de ordem mais baixas. Assim, planejamentos fatoriais fracionários permitem o estudo de um número grande de fatores com poucas experiências (tratamentos). Num planejamento 2k fracionário interações de alta ordem, em geral, não são importantes.

4 Planejamento fatorial
2k fracionário Termos do modelo g.l. Efeitos principais 6 Interações de 2ª.ordem 15 Interações de 3ª.ordem 20 Interações de 4ª.ordem Interações de 5ª.ordem Interações de 6ª.ordem 1 Exemplo: Fatorial completo 26 42 g.l. (interações de 3 ou + fatores = 2/3 do total de g.l) Num delineamento 26 fracionário um subconjunto dos tratamentos é selecionado, de modo que a maioria dos g.l. para estimação dos efeitos dos fatores é usada para a estimação dos efeitos principais e efeitos de interações de ordem baixa, com pouca perda de informação sobre os efeitos de interações de ordem alta. Confundimento: Confundir os efeitos principais e os de interação de ordem baixa com os efeitos de interação de ordem alta.  2k fracionário torna-se eficiente em fornecer informação completa sobre os efeitos principais e os de interação de ordem baixa com poucas unidades experimentais (u.e.).

5 Planejamento fatorial
2k fracionário Exemplo: Micróbios (conceito de confundimento) Experimento completo  24 1 réplica: 16 u.e. Fatores: A - Temperatura de processo ; B - Agente (conservante) C - Umidade ; D - Acidez Suponha que foi determinado que somente ½ (metade) dos 16 tratamentos pudessem ser usados. Quais são os 8 escolhidos? Pesquisador decide descartar os tratamentos: 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14 e 15. Lembrar que: Tratamento Y 1 y0000 9 y0001 2 y1000 10 y1001 3 y0100 11 y0101 4 y1100 12 y1101 5 y0010 13 y0011 6 y1010 14 y1011 7 y0110 15 y0111 8 y1110 16 y1111

6 Planejamento fatorial 2k fracionário: Ex. Micróbios
volta Planejamento fatorial completo 24 Excluir: 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14 e 15  permanecem 1, 4, 5, 8, 9, 12, 13, 16. Trat Y I A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD ABCD 1 y0000 -1 2 y1000 3 y0100 4 y1100 5 y0010 6 y1010 7 y0110 8 y1110 9 y0001 10 y1001 11 y0101 12 y1101 13 y0011 14 y1011 15 y0111 16 y1111

7 Planejamento fatorial 2k fracionário: Ex. Micróbios
Planejamento fatorial 24 fracionário com ½ dos tratamentos Mantidos: 1, 4, 5, 8, 9, 12, 13, 16. Trat Y I A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD ABCD 1 y0000 -1 4 y1100 5 y0010 8 y1110 9 y0001 12 y1101 13 y0011 16 y1111 Escolha ruim!! colunas de A e B idênticas  os efeitos principais dos fatores A e B não poderão ser estimados separadamente. Se a análise dos dados mostrar que o efeito associado a A é ativo, não saberemos se esse resultado é devido ao efeito do fator A, do fator B ou da combinação de ambos. Dizemos que os fatores A e B estão confundidos no experimento.

8 Planejamento fatorial 2k fracionário: Ex. Micróbios
Fatorial 24 fracionário com ½ dos tratamentos com 1, 4, 5, 8, 9, 12, 13, 16 Trat Y I A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD ABCD 1 y0000 -1 4 y1100 5 y0010 8 y1110 9 y0001 12 y1101 13 y0011 16 y1111 Mas há outros 7 pares de colunas idênticas (total de 8 pares idênticos) A = B; C = ABC; D = ABD; AC = BC; AD = BD; BCD = ACD; ABCD = CD; AB = I (coluna “0”, para média geral). Consequentemente, os dois efeitos em cada par estão confundidos e não podem ser estimados separadamente. Essas relações definem um esquema de confundimento para este planejamento fatorial . Além disso, AB está confundido com o intercepto (I), então AB é geralmente chamado de não mensurável.

9 Planejamento fatorial 2k fracionário: Ex. Micróbios
Outra escolha: manter os tratamentos 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16. Trat Y I A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD ABCD 1 y0000 -1 4 y1100 6 y1010 7 y0110 10 y1001 11 y0101 13 y0011 16 y1111 Com esta escolha, os 8 pares idênticos são: A = BCD; B = ACD; C = ABD; D = ABC; AB = CD; AC = BD; AD = BC; I = ABCD. Efeitos principais confundidos com efeitos de interação de 3ª. ordem. Efeitos de interação entre 2 fatores confundidos com outros de mesma ordem. Efeitos de interação entre os 4 fatores confundidos com a média geral.

10 Planejamento fatorial
2k fracionário Exemplo: Micróbios (conceito de confundimento) Se efeitos de interação entre 3 fatores ou mais são desprezíveis, este planejamento é muito útil. Por exemplo, se A + BCD é significante, pode-se concluir que o efeito observado é devido ao fator A e não à interação entre os fatores B, C e D. Nesta escolha, como os efeitos de interação entre dois fatores estão confundidos entre si, se são ativos, novos experimentos são necessários para separá-los.  Escolha dos tratamentos que são descartados/mantidos não pode ser arbitrária (tentativa e erro). É possível definir uma relação para o esquema de confundimento.

11 Delineamento fatorial
2k fracionário Nos delineamentos fatoriais fracionários somente uma parcela do total de possibilidades de todas as combinações é testada. Genericamente, para dois níveis, representamos o planejamento fracionário, por em que p  1. 2k-p = 2k 2p Por exemplo: para p = 1, devemos utilizar a metade (½ ) das experiências possíveis do 2k; para p = 2, utilizaremos ¼ das experiências possíveis; e, assim, por diante ..., ou seja, a fração de tratamentos que se pode considerar, em delineamentos fatoriais em dois níveis, é sempre de uma potência de 2.

12 Delineamento fatorial
2k fracionário Responda: Num planejamento fatorial completo com 5 fatores, em dois níveis (sem repetição), quantas experiências são feitas? 2) No planejamento anterior, se podemos ter duas repetições por tratamento, quantas observações teremos? 3) Se ficar decidido que no delineamento em (1) podemos realizar apenas metade das combinações possíveis (25-1), quantas experiências serão realizadas? 4) Como é representado o delineamento em (1) se pudermos realizar um quarto das experiências possíveis? Nesse caso, quantas experiências serão?

13 Delineamento fatorial
2k fracionário De uma maneira geral, é necessário definir uma relação para o esquema de confundimento. Exemplo: Micróbios Relação de definição: I = ABCD (gerador de confundimento) Para encontrar os efeitos principais e interações que estão confundidos, utilizaremos o produto módulo 2 (mostrado a seguir). O esquema de confundimento é definido multiplicando a coluna de cada lado da relação de definição, I = ABCD, por sucessivas colunas da tabela de contrastes. Como todas as colunas de contrastes são formadas por ”1” e “-1”, resultados das multiplicações das colunas são úteis.

14 Delineamento fatorial
2k fracionário Propriedades da multiplicação entre colunas: 1) I  I = I (pois todos elementos de I são iguais a “1”) Assim, I  I = I2 = I . 2) Colj  I = Colj (pois todos os elementos de I são iguais a “1”) 3) Colj  Colj = Colj 2 = I (12 = (-1)2 = 1) Estas propriedades caracterizam o chamado produto módulo 2 Voltando a relação de definição I = ABCD, temos A = BCD, pois multiplicando-se por A ambos os lados da relação, segue que AI = A e AABCD=A2BCD=BCD.

15 Delineamento fatorial
2k fracionário Continuando a multiplicar ambos os lados da relação de definição por colunas sucessivas, obtemos BI = BABCD = AB2CD = ACD (B = ACD) CI = CABCD = ABC2D = ABD (C = ABD) DI = DABCD = ABCD2 = ABC (D = ABC) ABI = ABABCD = A2B2CD = CD (AB = CD) ACI = ACABCD = A2BC2D = BD (AC = BD) ADI = ADABCD = A2BCD2 = BC (AD = BC) E mais nenhum outro produto é necessário, pois já foram obtidos todos os confundimentos. As operações acima reproduziram todo o esquema de confundimento. Estas relações foram baseadas na relação de definição (gerador de confundimento) I = ABCD.

16 Delineamento fatorial 2k-1
Delineamentos em fração ½ Definir o gerador de confundimento (relação de definição) Definir o esquema de confundimento O planejamento fatorial correspondente é construído: a) Construir a tabela de contraste para o plano com todos os fatores e interações. b) Escolher as linhas (tratamentos) para as quais a relação de definição ocorre. c) estimar os efeitos principais e interações exatamente como no caso do planejamento fatorial completo.

17 Delineamento fatorial 2k-1
slide7 Exemplo: Micróbios Gerador de confundimento: I = ABCD (relação de definição) Esquema de confundimento: Manter os tratamentos (linha l) para os quais I(l)= ABCD(l)  Isto ocorre para os tratamentos 1, 4, 6, 7, 10 11, 13, 16 (em cinza no quadro). A = BCD B = ACD C = ABD D = ABC AB = CD AC = BD AD = BC A0 A1 B0 B1 C0 D0 (1) (3) (2) (4) D1 (5) (7) (6) (8) C1 (9) (11) (10) (12) (13) (15) (14) (16) Obs.: Este delineamento é denominado Caso geral: , Sendo k no. de fatores e p: fração

18 Delineamento fatorial 2k-1
 Outra forma de obter os tratamentos que são mantidos Exp . Tratamento A B C 1 A0B0C0 -1 2 A1B0C0 3 A0B1C0 4 A1B1C0 5 A0B0C1 6 A1B0C1 7 A0B1C1 8 A1B1C1 Etapas: a) escrever a tabela de contrastes do fatorial completo 23 = 24-1, sem incluir o último fator (acidez, no caso). b) Completar a tabela com o último fator (D), atribuindo-lhe os contrastes da interação mais alta (ABC, no caso); c) Nessa conformação, identificar os contrastes de um fatorial completo 24. d) Calcular os efeitos principais e interações como de um fatorial completo;   e) Analisar os resultados, avaliando se os mesmos são estatisticamente significativos; Exp. A B C D 1 -1 2 3 4 5 6 7 8 (1) (10) (11) (4) (13) (6) (7) (16)

19 Delineamento fatorial 2k-1
volta Exemplo: Micróbios Delineamento fracionário 24-1 e o gerador de confundimento foi I = ABCD, que produziu o esquema de confundimento AB = CD AC = BD AD = BC A = BCD B = ACD C = ABD D = ABC resultando que os tratamentos que devem ser realizados são: 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16 A0 A1 B0 B1 C0 D0 (1) (3) (2) (4) D1 (5) (7) (6) (8) C1 (9) (11) (10) (12) (13) (15) (14) (16)

20 Delineamento fatorial 2k-1
volta Observação: Para este delineamento 24-1 podemos ainda realizar os tratamentos 2, 3, 5, 8, 9, 12, 14, 15, que são resultantes da relação de definição I = -ABCD, produzindo o esquema de confundimento AB = - CD AC = - BD AD = - BC A = - BCD B = - ACD C = - ABD D = - ABC ou seja, é o mesmo esquema obtido anteriormente, porém com sinal contrário, e estas experiências são a outra fração ½ do delineamento fatorial completo. A0 A1 B0 B1 C0 D0 (1) (3) (2) (4) D1 (5) (7) (6) (8) C1 (9) (11) (10) (12) (13) (15) (14) (16)

21 Delineamento fatorial 2k-1
Exercício: Considere um delineamento fatorial fracionado 25-1, em que I = ABCDE é o gerador de confundimento. Obter todos os confundimentos para este planejamento.

22 Delineamento fatorial 2k-1
Análise Estatística dos Resultados A avaliação quanto a significância estatística dos efeitos (principais e interações) pode ser feita pela análise de variância (ANOVA), que requerer um número de réplicas maior do que um (r >1), por experiência. Quando não há repetições (r=1), utilizando os procedimentos gráficos vistos para delineamentos fatoriais completos (Diagrama de Pareto e Papel de Probabilidade Normal), é possível verificar a significância estatística dos efeitos principais e interações. Observações: Nos experimentos fracionários, como haverá relações de confundimento, a verificação de significância estatística será para a relação confundida e não para o efeito isoladamente. Se a relação de confundimento envolve um efeito principal e uma interação de ordem alta e esta, em geral, pode ser considerada desprezível, a conclusão será para o efeito principal envolvido na relação.

23 Delineamento fatorial 2k-1
slide20 Exemplo: Micróbios (mantidos 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16) Confundimento estimativas A = BCD -0,025 B = ACD -2,99 C = ABD 2,45 D = ABC -0,01 AB = CD -0,48 AC = BD 0,365 AD = BC -3,15 Confundimento estimativas P PPN  (ordenados) Conclusão?

24 ANEXO - PERCENTIS PARA PAPEL DE
PROBABILIDADE NORMAL Ordem (i) Fatores (k) 3 4 5 1 7,14 3,33 1,61 2 21,43 10,00 4,84 35,71 16,67 8,06 50,00 23,33 11,29 64,29 30,00 14,52 6 78,57 36,67 17,74 7 92,86 43,33 20,97 8 24,19 9 56,67 27,42 10 63,33 30,65 11 70,00 33,87 12 76,67 37,10 13 83,33 40,32 14 90,00 43,55 15 96,67 46,77 16 17 53,23 18 56,52 19 59,77 20 62,90 21 66,13 22 69,35 23 72,58 24 75,81 25 79,03 26 82,26 27 85,48 28 88,71 29 91,94 30 95,16 31 98,39