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OS CONJUNTOS NUMÉRICOS CONJUNTOS NUMÉRICOS O conceito de número foi evoluindo ao longo dos tempos, tendo-se criado novos números para responder a problemas.

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2 OS CONJUNTOS NUMÉRICOS

3 CONJUNTOS NUMÉRICOS O conceito de número foi evoluindo ao longo dos tempos, tendo-se criado novos números para responder a problemas entretanto surgidos.

4 OS CONJUNTOS NUMÉRICOS NATURAIS RACIONAIS E...????? INTEIROS

5 NÚMEROS NATURAIS Estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, por isso são chamados de números naturais. Este universo é abordado de duas formas distintas: abordagem ordinal, em que os números indicam posições, e a abordagem cardinal, em que os números designam quantidades

6 NÚMEROS NATURAIS A formalização mais bem sucedida para o conjunto dos números naturais foi proposta pelo matemático Guiusepe Peano, no século XIX. Ele relacionou os conceitos ordinais e cardinais estabelecendo o conjunto N, cuja representação matemática é: N = { 0,1, 2, 3, 4, 5,... } Zero não é sucessor de nenhum número natural. Todo número natural possiu um único sucessor.

7 NÚMEROS NATURAIS A adição é a primeira operação aritmética que devemos compreender neste universo e se aplica a dois ou mais números naturais (parcelas) e produz um único resultado, que chamamos de soma ou total. O zero é elemento neutro da adição. São válidas as propriedades: Comutativas da adição: A + B = B + A Associativas da adição: ( A + B ) + C = A + ( B + C )

8 NÚMEROS NATURAIS A multiplicação é a próxima operação aritmética que devemos compreender no universo natural e se aplica a dois ou mais números naturais, agora chamados fatores, e também produz um único resultado, o qual chamamos de produto. O produto do número zero com qualquer outro número natural é igual ao número zero. O número um é elemento neutro da multiplicação.

9 NÚMEROS NATURAIS Aplica-se ainda a lei da multiplicação distributiva. À direita: (m + n ). p = mp + np À esquerda: p. (m + n ) = pm + pn

10 NÚMEROS NATURAIS São válidas as propriedades: Comutativas da multiplicação: A. B = B. A Associativas da multiplicação: ( A. B ). C = A. ( B. C) No universo dos naturais a potenciação pode ser definida por sucessivas multiplicações de fatores iguais e se aplica a dois números apenas, a base, que indica o valor destes fatores, e o expoente, que indica a quantidade de vezes que devemos multiplicar o número um pela base.

11 NÚMEROS NATURAIS A potenciação não possui propriedade comutativa nem associativa, e além disso as potências de expoentes dois e três costumam ser chamadas de quadrado e cubo, respectivamente, por estarem presentes nas expressões que calculam área e volume de figuras geométricas.

12 NÚMEROS NATURAIS A divisão no universo natural é uma operação aplicada apenas a dois números (dividendo e divisor), e que produz dois resultados chamados de quociente e resto. Sendo N e d dois números naturais, tais que N dividido por d produz um quociente q e um resto r, obedecendo as seguintes condições: N = q.d + r e 0 ≤ r < d

13 NÚMEROS NATURAIS *Fica comprovado aqui que não existe divisão em que o divisor é zero, pois, sendo d = 0, não existe número r que satisfaça a desigualdade 0 ≤ r < d. Então, dados os números N e d ≠ 0, o quociente da divisão de N por d será o maior número natural q, tal que o produto q.d não ultrapasse o valor de N, e o resto dessa divisão é igual a diferença entre o dividendo N e o produto q.d. Por exemplo: 17: 5 = Note que 3.5 < 17 e o resto é 2 = 17 – 3.5 =

14 NÚMEROS NATURAIS *Numa expressão aritmética as operações devem ser efetuadas necessariamente na seguinte ordem: 1)Potenciações; 2)Multiplicações e divisões; 3)Adições e subtrações.

15 NÚMEROS INTEIROS A subtração, ou a operação inversa da adição, é a primeira operação aritmética que devemos compreender neste universo e se aplica a dois ou mais números naturais produzindo um único resultado, que chamamos de diferença ou total. O cálculo: 3 – 4, no conjunto dos números naturais, era impossível (4 é chamado o subtraendo e 3 o minuendo), pois neste conjunto numérico para que a subtração tenha sentido é necessário que o minuendo seja maior que o subtraendo. A idéia do número negativo veio da necessidade de expandir o universo dos naturais e, aparece na Índia, associada a problemas comerciais que envolviam dívidas...surgem daí o conjunto dos números inteiros.

16 A abordagem cardinal e ordinal dos números naturais ganha orientação e o número zero se torna origem para contagem de posições feita no sentido definido arbitrariamente como positivo (+) e negativo (-). A representação matemática deste conjunto é: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} *Na prática aritmética omitimos o sinal dos números positivos e usamos o sinal negativo para indicar o oposto ou simétrico de um número em relação a origem. NÚMEROS INTEIROS

17 São válidas as seguintes propriedades: A - B = - B + A (a ordem das parcelas não altera o resultado) A – B - C = A - ( B + C ) A – ( B – C ) = A - B + C (futuramente será visto como um dos casos de fatoração: fator comum em evidência, no caso acima o número -1)

18 NÚMEROS INTEIROS A multiplicação no universo dos inteiros deve obedecer à seguinte regra de sinais: o produto entre dois números inteiros de mesmo sinal é positivo e o produto entre dois números inteiros de sinais opostos é negativo. ( + ). ( + ) = ( + ) ( + ). ( -- ) = ( -- ) ( -- ). ( + ) = ( -- ) ( -- ). ( -- ) = ( + )

19 NÚMEROS INTEIROS *Além disso, os fatores da multiplicação devem ser escritos entre parênteses para que os sinais dos números inteiros não sejam confundidos com os operadores de adição e subtração, só assim indicamos ao certo a base de uma potência negativa. O produto sucessivo de fatores negativos iguais ou a potenciação de um número negativo (cuja base representa um número menor que zero), apresenta a seguinte propriedade: Base < 0 e expoente par, resulta em um número (+) Base < 0 e expoente ímpar, resulta em um número (-)

20 NÚMEROS INTEIROS O resto da divisão no universo inteiro não pode ser negativo e o sinal do quociente obedece à mesma regra de sinais da multiplicação. Como o divisor d não pode ser negativo: N = q.d + r e 0 ≤ r < ǀ d ǀ Em que ǀ d ǀ indica o valor absoluto do divisor, ou seja, o número d sem seu sinal ou a distância do mesmo até a origem.

21 NÚMEROS INTEIROS Por exemplo: Dividindo-se (+17) por (-5) obtemos quociente (-3) e resto (+2), pois 17 = (-3).(-5) + 2 e 0 ≤ 2 < ǀ -5 ǀ. Dividindo-se (-17) por (+5) obtemos quociente (-4) e resto (+3), pois (-17) = (-4).(+5) + 3 e 0 ≤ 3 < 5. Dividindo-se (-17) por (-5) obtemos quociente (+4) e resto (+3), pois (-17) = (+4).(-5) + 3 e 0 ≤ 3 < ǀ -5 ǀ.

22 NÚMEROS INTEIROS Se na divisão de um número inteiro N por um número inteiro d o resto obtido for igual a zero, então dizemos que o número N é divisível pelo número d ou que N é múltiplo de d, e ainda que o número d é divisor do número N. Há duas operações básicas no universo dos números inteiros que não são indicadas por operadores simbólicos como: ( + ), ( -- ), (. ) ou ( : ), mas sim por siglas que designam seu significado. Essas operações são chamadas mínimo múltiplo comum (mmc) e máximo divisor comum (mdc), podem ser aplicadas a dois ou mais inteiros a têm propriedade associativa e multiplicativa.

23 O máximo divisor comum de dois ou mais números inteiros positivos é o maior número inteiro que divide todos esses números. Uma maneira prática de se determinar o mdc é dividindo sucessivamente e simultaneamente os números por números primos até que não seja mais possível a divisão simultânea. Dessa forma, o mdc é dado pelo produto desses números primos. O mdc de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente. mdc

24 O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números inteiros positivos é o menor número inteiro positivo que é divisível por todos esses números. Assim como o mdc é possível calcular o mmc. fazendo divisões sucessivas por números primos e depois multiplicando-se tais números primos. A diferença é que as divisões não param quando não existe mais um divisor primo que seja comum a todos. Observação: Dados dois números primos entre si, o mmc deles é o produto desses números. mmc

25 Sendo n um número inteiro, considere os conjuntos M(n) e D(n) dos múltiplos e dos divisores positivos do número n, respectivamente. Assim, temos por exemplo: M(6) = {6,12,18,24,30,...} M(8) = {8,16,24,32,40...} D(6) = {1,2,3,6} D(8) = {1,2,4,8} mmc(6,8) = 24 mdc(6,8) = 2 mmc e mdc

26 Exemplo: Sejam os números 24 e 36. D(24)={1;2;3;4;6;8;12;24} D(36)={1;2;3;4;6;9;12;18;36} O máximo divisor comum ou mdc entre 24 e 36 é 12.mdc(24,36)=12 mmc e mdc

27 M(24)={24;48;72;96;120;144;160;192;216;...} M(36)={36;72;108;144;180;216;...} Os múltiplos positivos comuns de 24 e 36 são: {72;144;216;...} O mínimo múltiplo comum ou mmc entre 24 e 36 é o 72.mmc(24,36)=72 mmc e mdc

28 Fatorando: mdc(24,36)=12=3.2² 24=2³. 3mdc(24,36)=12=3.2² mmc(24,36)=72=3².2³ 36=2². 3²mmc(24,36)=72=3².2³ mdc mdc: Separadamente, note que o máximo divisor comum (mdc) é o produto de todas as bases comuns a ambas as decomposições, com menor expoente. mmc mmc: Separadamente, note que o mínimo múltiplo comum (mmc) é o produto de todas os fatores de ambas decomposições (uma vez cada), e quando há repetição usa-se o de maior expoente.

29 RELAÇÃO ENTRE MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM mdc( a, b ). mmc( a, b ) = a. b

30 NÚMEROS INTEIROS Assim, definimos o mínimo múltiplo comum entre dois números inteiros a e b diferentes de zero, como sendo o menor elemento da interseção dos conjuntos M(a) e M(b), e o máximo divisor comum desses números como sendo o maior elemento da interseção dos cunjuntos D(a) e D(b). A única exceção a essa regra é para mmc entre zero e um número qualquer, isto é, mmc (0, n) = 0. *O resultado das operações mmc e mdc serão positivos mesmo quando essas operações são aplicadas a números negativos.

31 NÚMEROS RACIONAIS Há muito tempo transmitimos a idéia de quantidades concretas através de palavras como “metade”, “percentual”, “centavos” ou “dízimo”. É inegável que R$ 100,00 ou ¼ ou 30% são legítimas representações de quantidade, embora não compartilhem do mesmo sistema de representação. Frases como: “um terço da população”, “quatro de cada dez pessoas”, “um em um milhão” e outras, se fazem constantes em nosso cotidiano.

32 NÚMEROS RACIONAIS Entretanto... com o tempo surgiram outras questões que no conjunto dos números inteiros não tinham sentido. “ Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros? ” Para resolver problemas desse tipo foram criados os números fracionários e decimais. Estes números juntamente com os números inteiros formam o conjunto dos números racionais. Q = Z  { números fracionários e decimais } A representação matemática deste conjunto é:

33 O que são Números Racionas? Número Racional é todo o número que pode ser representado por uma razão (ou fração) entre dois números inteiros (com denominador diferente de zero), podendo apresentar ainda a forma decimal (casos em que não há resto). 1/4 = 0,25

34 Noções intuitivas de fração: Nota: Quando o numerador é menor que o denominador, a fração representa um número menor que 1, isto é, uma FRAÇÃO PRÓPRIA caso contrário ela é dita IMPRÓPRIA, e se o numerador é igual ao denominador essa fração representa o número 1.

35 NÚMERO MISTO As frações impróprias compõem o número misto. Por exemplo:

36 Nota: Outras frações bem conhecidas são as DECIMAIS, ou seja, frações cujo denominador é um múltiplo de DEZ, isto é, 10, 100, 1000… (potência de base 10).

37 Escreva a fração correspondente ao número de fatias que se comeu de cada bolo. Amêndoas : Chocolate: Noz: Conclusão: Em frações com o mesmo denominador, o maior número é aquele que tiver maior numerador. Comparando números fracionários com mesmo denominador

38 A mãe do André pôs-lhe um problema: tenho uma barra de chocolate para repartir por duas, três ou quatro crianças. Em que caso, ficará cada criança com mais chocolate? Conclusão: Em frações com o mesmo numerador, o maior número é aquele que tiver menor denominador. O André pensou, fez um esquema e depois respondeu: Comparando números fracionários com mesmo numerador

39 FRAÇÕES EQUIVALENTES OU PROPORÇÕES Paula deu a cada um dos meninos: Zezinho, Pedrinho e Joãozinho, uma folha A 4 para pintarem como se fosse uma parede. O Zezinho pintou da folha, o Pedrinho e o Joãozinho. Qual deles pintou mais? ZezinhoPedrinhoJoãozinho Afinal, pintaram todos a mesma porção de folha. Frações equivalentes são frações que representam o mesmo número.

40 Repare: x 2 x 4 x 2 x 4 : 2 : 4 : 2 : 4 ou Princípio de equivalência de frações: se multiplicarmos ou dividirmos ambos os termos de uma fração (numerador e denominador) pelo mesmo número inteiro, diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à dada.

41 Por exemplo: x 3 : 5 x 2

42 é maior ou menor que ? A forma fracionária deixa bastante claro como se deve obter a parte desejada, mas torna difícil a comparação entre os números. Logo: Conclusão: Podemos dividir o numerador pelo denominador e comparar os resultados, ou tornar o denominador o mesmo, através do princípio de equivalência das frações, e em seguida comparar. Já na forma decimal, a ordem crescente desses números se faz visível em pouco tempo, desde que sejam usadas o mesmo número de casas decimais. Comparando números fracionários com numerador e denominador diferentes

43 Simplificar uma fração é, obter uma fração equivalente com termos menores até que o mdc do numerador e denominador seja igual a um, chegando-se portanto a fração na forma irredutível. não se pode simplificar mais, chama-se FRAÇÃO IRREDUTÍVEL. ou : 2 : 12 : 3 SIMPLIFICAÇÃO

44 Adição e subtração em Z e Q

45 (+3)+(+2)=(+5) (-3)+(-2)=(-5) Sinais posicionais Sinais operacionais ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS COM O MESMO SINAL Da adição de dois números relativos com o mesmo sinal, resulta um número com o mesmo sinal e cujo valor absoluto é a soma dos valores absolutos desses números.

46 ( - 3) + ( + 2)=( - 1) Da adição de dois números relativos com sinais contrários, resulta um número com o sinal do que tiver maior valor absoluto. O seu valor absoluto é a diferença dos valores absolutos desses números. Sinais posicionais Sinais operacionais ( + 3) + ( - 2)=( + 1) ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS COM SINAIS CONTRÁRIOS

47 Será que só existem adições? Então e a subtração (+2) - (+4) ? Fácil! Nesse caso transforma-se a subtração em adição pelo seu simétrico ou oposto. (+2) + (- 4 ) = - 2 SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

48 A definição de adição de inteiros mantém-se para o conjunto dos números racionais relativos, a única diferença é que neste conjunto numérico é necessário que o denominador seja o mesmo, ou pelo princípio da equivalência de frações ou pelo cálculo do mmc entre os denominadores: E agora como vamos adicionar números racionais relativos na forma fracionária ?

49 E SE OS SINAIS FOREM DIFERENTES? A expressão é o mesmo que: Logo: E agora como vamos subtrair números racionais relativos na forma fracionária ? A definição de subtração de inteiros mantém-se para o conjunto dos números racionais, de forma análoga a anterior.

50 A definição de adição e subtração de inteiros mantém-se para o conjunto dos números racionais relativos na forma decimal, o único cuidado é que estas operações devem ser executadas alinhando-se os termos com o mesmo número de casas decimais. Exemplos: 1, ,5 = 4,375 0,12 + 0,3 = ,5 -12,34 = ,34 – 0,045 = 295 E se os números racionais relativos estiverem na forma decimal?

51 Divisão e Multiplicação em Q

52 JÁ SABEMOS QUE NO CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS: 21 : 3 = 7 18 : 2 = 9 Ou seja: Dividendo : Divisor = Quociente porque Quociente × Divisor = Dividendo porque 7 × 3 = 21 porque 9 × 2 = 18

53 Não há nenhum número que multiplicado por 0 dê 6! A divisão por zero é impossível! 6 : 0 = ?

54 para se obter o quociente N : d no universo racional Sendo N e d números inteiros, tal que N não é múltiplo de d, então para se obter o quociente N : d no universo racional, devemos primeiro executar a divisão no universo inteiro. Depois disso, escrevemos uma vírgula no quociente e acrescentamos zeros ao resto, continuando a divisão até que não haja resto ou que algum resto se repita (neste caso a forma decimal do quociente é uma dízima periódica e será discutida no decorrer do curso). Divisão de números racionais

55 (- 30) : (+ 5) = - 6 porque (- 6)  (+5) = - 30 porque  3 5 += : =+ 5 6 Como descobrir este número? E agora? Como vamos dividir números racionais relativos na forma fracionária? divisão A definição de divisão mantém-se para o conjunto dos números racionais relativos:

56 Agora já é fácil descobrir o número: : =  =+ 5 6 Para descobrir este número existe uma regra! Para dividir dois números racionais, multiplica-se o dividendo pelo inverso do divisor (DIVISOR  0).

57 A definição de divisão de inteiros mantém-se para o conjunto dos números racionais relativos na forma decimal, esta operação pode ser ser executada ignorando-se as vírgulas do dividendo e divisor através do princípio de equivalência de frações ou transformando os mesmos em frações decimais e depois dividindo-os. Por exemplo: 0,15 : 2,40 = 15 : 240 Daí: = 0,0625 No caso da trasformação para fração decimal, tem-se: 15/100 : 24/10 = 15/ /24 = 0,0625 E se os números racionais relativos estiverem na forma decimal?

58 regras operatórias da multiplicação em QDivisão (multiplica-se a primeira fração pelo inverso da segunda fração) Multiplicação (multiplica-se os numeradores e denominadores entre si) :+– + – +–+ – + – – + = –+ + – REGRA DE SINAIS regras operatórias da divisão em Q

59 A definição de multiplicação de inteiros mantém- se para o conjunto dos números racionais relativos na forma decimal, esta operação pode ser ser executada ignorando-se a vírgula de todos os fatores e definindo posteriormente seu devido lugar ou transformando os fatores em frações decimais e depois em números decimais. Por exemplo: 0,15. 2,4 = / 1000 (duas casas decimais) (uma casa decimal) (três casas decimais) Daí: 0,15. 2,4 = 0,360 No caso da trasformação para fração decimal, Tem-se: 15/ /10 = 360/1000 = 0,360 E se os números racionais relativos estiverem na forma decimal?

60 RECORDA QUE: - 4 : 5 = ? - 4 : 5 = 1 5 = OU - 4 : 5 = = 5  b a : b = a em que b  0

61 - a- a b a - b- b a b - 7 : (- 4) = ? 7 : (- 4) = = OU 7 : (- 4) = = CONCLUSÃO: = 7  =

62 FIM FIM!


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