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NOÇÕES DE LÓGICA O aprendizado da Lógica nos auxilia no raciocínio, na compreensão de conceitos básicos, na verificação formal de programas e melhor nos.

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2 NOÇÕES DE LÓGICA O aprendizado da Lógica nos auxilia no raciocínio, na compreensão de conceitos básicos, na verificação formal de programas e melhor nos prepara para o entendimento do conteúdo de tópicos mais avançados. Nossa introdução na lógica terá como objetivo principal a investigação da validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO e os demais PREMISSAS. Os argumentos estão tradicionalmente divididos em DEDUTIVOS e INDUTIVOS. ARGUMENTO DEDUTIVO: é válido quando suas premissas, se verdadeiras, tem a conclusão também verdadeira. Premissa : “Todos os homens são mortais.” Premissa : “Os gregos são homens.” Conclusão : “Os gregos são mortais.” Esses argumentos serão objeto de estudo neste roteiro.

3 1ª premissa: O Sol é uma estrela. 2ª premissa: Toda estrela possui luz própria. Conclusão: CÁLCULO PROPOSICIONAL Como primeira e indispensável parte da Lógica Matemática temos o CÁLCULO PROPOSICIONAL ou CÁLCULO SENTENCIAL ou ainda CÁLCULO DAS SENTENÇAS. PROPOSIÇÃO PROPOSIÇÃO : sentenças declarativas afirmativas (expressão de uma linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa. A bola é redonda. A reta tem extremidade. O espaço é infinito. OBS.: Não usaremos sentenças INTERROGATIVAS ou EXCLAMATIVAS. O Sol possui luz própria.

4 SÍMBOLOS PARA O CÁLCULO PROPOSICIONAL VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,.... para indicar as proposições (fórmulas atômicas). Exemplos: A bola é redonda: p A reta tem extremidade : q CONECTIVOS LÓGICOS: As fórmulas atômicas podem ser combinadas entre si e, para representar tais combinações usaremos os conectivos lógicos :

5 Se Joana é graciosa, então Fátima não é tímida. É falso que Joana não é graciosa ou Fátima é tímida. Joana é graciosa e Fátima não é tímida.

6 SÍMBOLOS AUXILIARES SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ), parênteses que servem para denotar o "alcance" dos conectivos Os parênteses serão usados segundo a seguinte ordem dos conectivos: A TABELAS VERDADE Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo. Princípio da Contradição: Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da outra), uma delas é falsa. Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras ou falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos; daí dizer que a lógica clássica é bivalente. Para determinar o valor lógico(verdade ou falsidade) das proposições compostas, conhecidos os valores das proposições simples que as compõem usaremos tabelas-verdade :

7 1.Tabela verdade da "negação" : ~p é verdadeira (falsa) se e somente se p é falsa (verdadeira). p~p VF FV 2. Tabela verdade da "conjunção" : a conjunção é verdadeira se e somente as proposições são verdadeiras. pqp ۸ q VVV VFF FVF FFF

8 3. Tabela verdade da "disjunção" : a disjunção é falsa se, e somente, as proposições são falsas. pqP ۷ q VVV VFV FVV FFF 4. Tabela verdade da "implicação” : a implicação é falsa se, e somente se, o antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso. pqp → q VVV VFF FVV FFV A proposição p → q = ~ q → ~ p

9 5. Tabela verdade da "bi-implicação": a bi-implicação é verdadeira se, e somente se seus componentes são ou ambos verdadeiros ou ambos falsos. pqP ↔ q VVV VFF FVF FFV Exemplo: Construir a tabela verdade da fórmula: p q ~ p V V V F F V F F V V V F F F V V F F V V V F F F F F V V

10 V ˄ V = V V ˅ F = V F ˄ F = F V ˄ F = F F ↔ F = VV ↔ F = F

11 p = V, q = V, r = F e s = F a) V → F = F b) V ↔ V = V c) F → V = V d) (V ˅ F) ↔ V = V ↔ V = V e) V → (V → F) = V → F = F f) V → (V ˄ F) = V → F = F g) F ↔ F = V h) F ↔ F = V i)(F ˄ F) ˅ (F → V) = F ˅ V = V Para que p → (r ˅ s) seja falsa, é necessário que p seja (V) e (r ˅ s) seja (F). Logo, se (r ˅ s) é (F), então r é (F) e s também é (F). Para que (q ˄ ~ s) ↔ p seja verdadeira, é necessário que as duas tenha valores lógicos iguais. Como p já é (V), então (q ˄ ~ s) tem que ser (V). Logo, para (q ˄ ~ s) ser (V), os dois tem que ser (V), então q é (V).

12 NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE : Cada proposição simples tem dois valores V ou F, que se excluem. Para n proposições distintas, há tantas possibilidades quantos são os arranjos com repetição de 2 (V e F) elementos n a n. Segue-se que o número de linhas da tabela verdade é 2 n. Assim, para duas proposições são 2 2 = 4 linhas; para 3 proposições são 2 3 = 8 ; etc. Exemplo: a tabela - verdade da fórmula terá 8 linhas como segue : p q (p ۸ q) r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F V V V V V V V V V F F F F F F F

13 Proposição composta do tipo P(p, q, r)

14 Proposição composta do tipo P(p, q, r, s) A tabela-verdade possui 2 4 = 16 linhas e é formada igualmente as anteriores. Proposição composta do tipo P(p1, p2, p3,..., pn) A tabela-verdade possui 2 n linhas e é formada igualmente as anteriores.

15 Exemplo Veja como se procede a construção de uma tabela-verdade da proposição composta P(p, q) = ((p ⋁ q) → (~p)) → (p ⋀ q), onde p e q são duas proposições simples. Resolução: Uma tabela-verdade de uma proposição do tipo P(p, q) possui 2 2 = 4 linhas, logo:

16 TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTIGÊNCIA Tautologia - A origem do termo vem do grego tautó, que significa "o mesmo", mais logos, que significa "assunto". Portanto, tautologia é dizer sempre a mesma coisa em termos diferentes. É uma proposição cujo valor lógico é sempre verdadeiro. Exemplo 1 A proposição p (~p) é uma tautologia. Vamos verificar através da tabela verdade. Exemplo 2 A proposição (p q) → (p ↔ q) é uma tautologia, pois a última coluna da tabela-verdade só possui V. p q (p q) (p ↔ q)(p q) → (p ↔ q) V V V V V V F F F V F V F F V F F F V V

17 Contradição Contradição é uma proposição cujo valor lógico é sempre falso. Exemplo 1 A proposição p (~ p) é uma contradição, pois o seu valor lógico é sempre F conforme a tabela-verdade. Que significa que uma proposição não pode ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo, isto é, o principio da não contradição. Exemplo 2 A proposição ~(p q) (p q) é contraválida, pois a última coluna da tabela-verdade só possui F. p q p q ~ (p q) p q ~ (p q) (p q ) V V V F V F V F V F F F F V V F F F F F F V F F

18 Contingência Quando uma proposição não é tautológica nem contraválida, a chamamos de contingência ou proposição contingente ou proposição indeterminada. Aliás, essa é muito grande. Não acham? Então vamos fazer somente a montagem da tabela. Ok?

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20 QUANTIFICADORES Nas sentenças abertas (ORAÇÕES QUE CONTÊM VARIÁVEIS), existem duas maneiras de transformá-las em proposições: atribuir valor às variáveis utilizar QUANTIFICADORES Quantificador universal É indicado pelo símbolo, que se lê: “qualquer que seja”, “para todo” ou “para cada”. Exemplos 1) p: ( x) (x + 1 = 7) = F 2) q: ( x) (x 3 = 2x 2 ) = F 3) r: ( x) (x > 0) = V

21 Quantificador existencial É indicado pelo símbolo, que se lê: “existe”, “existe pelo menos um” ou “existe um”. Exemplos 1) p: ( x) (x + 1 = 7) = V 2) q: ( x) (x 3 = 2x 2 ) = V 3) r: ( x) (x > 0) = V Algumas vezes utilizamos outro quantificador:, que se lê: “existe um único”, “existe somente um”. Exemplo 1) (x + 1 = 7) = V 2) ( x + 2 > 3) = F

22 NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES Negação de uma conjunção ~ (p ˄ q) = ~ p ˅ ~ q Negação de uma disjunção ~ (p ˅ q) = ~ p ˄ ~ q Negação de uma implicação ~ (p → q) = p ˄ ~ q Negação de proposições quantificadas

23 NEGAÇÃO DE ALGUNS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS


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