Prof. André Aparecido da Silva

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1 Prof. André Aparecido da Silva
Medidas de dispersão: Desvio médio, Desvio-padrão Variância Estatística Aplicada 2º Ano – Ensino Subsequente Prof. André Aparecido da Silva

2 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância INTRODUÇÃO Há situações em que as medidas de tendência central - Média, Moda e Mediana - não são suficientes para caracterizar uma determinada coleta de dados.

3 INTRODUÇÃO (CONTINUAÇÃO)
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância INTRODUÇÃO (CONTINUAÇÃO) Nesse caso, é conveniente utilizar as medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância, pois expressam o grau de dispersão de um conjunto de dados.

4 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância MÉDIA ARITMÉTICA (MA) A média aritmética de um conjunto de dados numéricos é obtida somando-se os valores de todos os dados e dividindo-se essa soma pelo número de dados apresentados.

5 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância MÉDIA ARITMÉTICA (MA) Por exemplo: Qual a média aritmética entre os números: 2, 4, 6, 8 e 10?

6 SOLUÇÃO (MA) MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SOLUÇÃO (MA)

7 DESVIO MÉDIO, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância MEDIDAS DE DISPERSÃO DESVIO MÉDIO, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO

8 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância Para compreendermos melhor esses conceitos relativos à Estatística, vamos explicá-los a partir da seguinte situação-problema:

9 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SITUAÇÃO-PROBLEMA Considere a distribuição numérica cujos resultados constam na lista abaixo: 1, 6, 4, 10, 9

10 A média aritmética dessa distribuição 1, 6, 4, 10, 9 é:
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância MÉDIA ARITMÉTICA A média aritmética dessa distribuição 1, 6, 4, 10, 9 é: MA = ( )/5 MA = 30/5 MA = 6 A média aritmética é 6.

11 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância MÉDIA / DESVIO Chama-se DESVIO de cada valor apresentado a diferença entre esse valor e a média aritmética desses valores. Na situação anterior, a distribuição é 1, 6, 4, 10, 9, e a média aritmética é 6. Portanto, temos:

12 Os desvios, em relação à média, são: -5, 0, -2, 4 e 3.
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância DESVIO desvio do valor = -5 desvio do valor = 0 desvio do valor = -2 desvio do valor = 4 desvio do valor = 3 Os desvios, em relação à média, são: -5, 0, -2, 4 e 3.

13 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância A partir da situação com a distribuição dos números 1, 6, 4, 10, 9, considerando que a média aritmética entre eles é igual a 6 e que os desvios, em relação à média, são -5, 0, -2, 4 e 3...

14 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância ... vamos definir as medidas de dispersão: desvio médio, variância e desvio padrão.

15 DESVIO MÉDIO MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância DESVIO MÉDIO

16 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância Chama-se desvio médio (DM) de uma distribuição a média aritmética dos módulos dos desvios. No exemplo em análise, os desvios são -5, 0 -2, 4 e 3, logo o desvio médio será:

17 Formula desvio médio MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância Formula desvio médio

18 DM = (-5 + 0 + -2 + 4 + 3) 5 DM = (5 + 0 + 2 + 4 + 3)
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância DM = (-5 + 0 + -2 + 4 + 3) 5 DM = ( ) DM = 14 DM = 2,8 O desvio médio é 2,8.

19 O módulo garante que o valor seja positivo. EX: +3 = 3 -3 = 3
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância O módulo garante que o valor seja positivo. EX: +3 = 3 -3 = 3

20 VARIÂNCIA MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância VARIÂNCIA

21 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância Chama-se variância (V) de uma distribuição a média aritmética dos quadrados dos desvios dessa distribuição. Na situação em análise, os desvios são -5, 0 -2, 4 e 3, logo a variância será:

22 V = ((-5)² + (0)² + (-2)² + (4)² + (3)²) . 5
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância V = ((-5)² + (0)² + (-2)² + (4)² + (3)²) V = ( ) 5 V = V = 10,8 A variância é 10,8.

23 DESVIO PADRÃO MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância DESVIO PADRÃO

24 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância Chama-se desvio padrão (DP) de uma distribuição a raiz quadrada da variância:

25 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância No exemplo em análise, temos que a variância é 10,8, portanto o desvio padrão será: DP = 10,8  3,28. O desvio padrão é  3,28.

26 O desvio padrão... MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância O desvio padrão...

27 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância OBSERVAÇÕES: Quando todos os valores de uma distribuição forem iguais, o desvio padrão será igual a zero;

28 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância OBSERVAÇÕES: Quanto mais próximo de zero for o desvio padrão, mais homogênea será a distribuição dos valores;

29 o desvio padrão é expresso na mesma unidade dos valores distribuídos.
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância OBSERVAÇÕES: o desvio padrão é expresso na mesma unidade dos valores distribuídos.

30 1º) Considerando a distribuição dos números 2, 4, 6 e 10, determine:
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1º) Considerando a distribuição dos números 2, 4, 6 e 10, determine: o desvio médio; a variância; o desvio padrão.

31 A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então temos:
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SOLUÇÃO - MÉDIA A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então temos: MA = ( ) MA = M = 6

32 SOLUÇÃO (DESVIO MÉDIO)
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SOLUÇÃO (DESVIO MÉDIO) A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então temos: DM = (2-6 + 4-6 + 6-6 + 12-6) DM = |-4|+|2|+|0|+|6| =

33 SOLUÇÃO (DESVIO MÉDIO)
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SOLUÇÃO (DESVIO MÉDIO) Tirando do módulo teremos: DM = DM = 12 DM = 3

34 A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então temos:
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância VARIÂNCIA - SOLUÇÃO A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então temos: V = ((2-6)² + (4-6)² + (6-6)² + (12-6)²) 4 V = (-4)² + (2)² + 0² + 6²

35 Continuando V = (-4)² + (2)² + 0² + 6² 4
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância VARIÂNCIA - SOLUÇÃO Continuando V = (-4)² + (2)² + 0² + 6² 4 V = V= V = 14

36 SOLUÇÃO – DESVIO PADRÃO
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SOLUÇÃO – DESVIO PADRÃO A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então temos: c) DP = 14 = 3,74

37 a média aritmética; o desvio médio; a variância; o desvio padrão.
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 2º) Em um jogo de arremessos, coletaram-se os dados da tabela a seguir. Dessa forma, em relação aos acertos, determine: a média aritmética; o desvio médio; a variância; o desvio padrão.

38 10 arremessos de cada jogador
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO JOGADORES LANÇAMENTOS ACERTOS MÁRCIO 10 arremessos de cada jogador 6 MURIEL 4 JONAS 8 EDSON 2 ROMUALDO 7

39 b) DM = (6-5,4 + 4-5,4 + 8-5,4 + 2-5,4 + 7-5,4)/5 DM = 1,92
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SOLUÇÃO a) MA = ( )/5 = 27/5 = 5,4 b) DM = (6-5,4 + 4-5,4 + 8-5,4 + 2-5,4 + 7-5,4)/5 DM = 1,92 c) V = ((6-5,4)² + (4-5,4)² + (8-5,4)² + (2-5,4)² + (7-5,4)²)/5 V = 4,64 d) DP = 4,64 = 2,15

40 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 3º) No quadro a seguir, está representado o consumo diário de gasolina, em litros, dos carros de três taxistas, em um período de quatro dias. Determine o desvio padrão do consumo dos carros desses taxistas.  Taxistas segunda terça quarta quinta I 10 9 23 12 II 16 18 8 32 III 25 17 30

41 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SOLUÇÃO Para determinarmos o desvio padrão, precisaremos, antes, calcular a média aritmética e a variância. Calculando a média aritmética de consumo dos carros dos três taxistas, temos: MAI = ( )/4 = 13,5 MAII = ( )/4 = 18,5 MAIII = ( )/4 = 20,5

42 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SOLUÇÃO Agora, vamos calcular a variância para o consumo dos carros dos três taxistas. VI = [(10-13,5)²+(9-13,5)²+(23-13,5)²+(12-13,5)²]/4  31,25 VII = [(16-18,5)²+(18-18,5)²+(8-18,5)²+(32-18,5)²]/4  74,75 VIII = [(25-20,5)²+(17-20,5)²+(30-20,5)²+(10-20,5)²]/4  58,25 Observando a variância, notamos que o carro do taxista II tem a maior dispersão em relação aos demais, e o carro do taxista I tem a menor dispersão.

43 SOLUÇÃO Finalmente, vamos calcular o desvio padrão e analisar o
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SOLUÇÃO Finalmente, vamos calcular o desvio padrão e analisar o consumo dos carros dos três taxistas. DPI = 31,25  5,59 litros DPII = 74,75  8,64 litros DPIII = 58,25  7,63 litros Pela análise do desvio padrão, verifica-se que o carro do taxista I teve o consumo mais regular em torno da média, pois seu desvio padrão é o menor.

44 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 4º) Ao procurar emprego, um rapaz teve que optar por duas ofertas dispostas em um jornal, como mostra a tabela a seguir. Qual das ofertas representa a melhor opção? Por quê? Oferta 1 Oferta 2 Média Salarial 890,00 950,00 Mediana 800,00 700,00 Desvio Padrão 32,00 38,00

45 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SOLUÇÃO Pela definição do desvio padrão, sabemos que quanto menor o DP, mais homogêneos serão os valores, ou seja, a diferença entre eles é mínima. Dessa forma, a oferta 1 é a mais vantajosa, por ter o menor desvio padrão.

46 DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – TABELA VOTOS E PERCENTUAIS
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – TABELA VOTOS E PERCENTUAIS REGIÃO AÉCIO % % Acumulado NORDESTE 15,66% Norte 6,63% 22,29% Centro-Oeste 8,62% 30,92% Sul 19,03% 49,95% Sudeste 50,05% 100,00% Total de eleitores

47 DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – DESVIO MÉDIO
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – DESVIO MÉDIO DESVIO MÉDIO - AÉCIO REGIÃO AÉCIO Desvio Médio Valores NORDESTE | |+ Norte | |+ Centro-Oeste | |+ Sul | |+ Sudeste | Total Média Desvios

48 DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – VARIÂNCIA
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – VARIÂNCIA Variância REGIÃO AÉCIO Desvio Médio Valores NORDESTE | |^2+ Norte | |^2+ Centro-Oeste | |^2+ Sul | |^2+ Sudeste | |^2+ TOTAL Variancia Desvio Padrão

49 DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – TABELA
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – TABELA REGIÃO DILMA % % Acumulado NORDESTE 37,05% Norte 8,07% 45,12% Centro-Oeste 5,98% 51,10% Sul 12,41% 63,51% Sudeste 36,49% 100,00% Total de eleitores Média por Região Desvio Médio ,4

50 DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – DESVIO MÉDIO
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – DESVIO MÉDIO REGIÃO DILMA Desvio Médio NORDESTE | |+ Norte | |+ Centro-Oeste | |+ Sul | | + Sudeste | | Total de eleitores Média por Região Total ,4 Desvio médio

51 Variância REGIÃO DILMA VARIANCIA Valores NORDESTE | |^2+ Norte | |^2+ Centro-Oeste | |^2+ Sul | |^2+ Sudeste |^2+ TOTAL Variancia Desvio Padrão

52 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo, 2005. IEZZI, Gelson... [et al], Matemática: ciência e aplicações, 1ª série, Ensino Médio. Atual, São Paulo, 2004. GUELLI, Oscar. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo, 2003. PAIVA, Manoel. Matemática, volume único. 1ª edição, Moderna. São Paulo, 1999.

53 www.oxnar.com.br Disponível em: MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância Disponível em: