Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Apresentação em tema: "Instituto Tecnológico de Aeronáutica"— Transcrição da apresentação:

1 Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Modelagem de Escoamento Reativo Prof.: Cristiane Andraus Aluno: Gylles Ricardo Ströher

2 Utilizados pelo Programa Chemkin 3.7
Métodos Numéricos Utilizados pelo Programa Chemkin 3.7 Solução Transiente: DASPK Solução S.S.: Twopnt

3 Twopnt T(r,z) cc1 p/ z cc2 p/z T = T(r,z) Resumo:
Twopnt é um programa que encontra a solução em regime permanente para um sistema de equações diferencias, usualmente, problemas unidimensionais. As equações dos modelos são equações do tipo two point boundary value problems, donde surge o nome do programa Twopnt. T(r,z) cc1 p/ z cc2 p/z T = T(r,z) O problema é solucionado marchando-se das condições de contorno iniciais até onde exista interesse em obtê-la.

4 u1,1 u1,2 ... u1,p u2,1 u2,2 ... u2,p x1 x2 ... xp Introdução:
As simulações são construídas em três passos. Cada passo engloba/realiza algum dos quatro erros de Neumann O que Twopnt faz: Twopnt nunca vê a equação diferencial, porque recebe as equações discretizadas. Para two point boundary value problems, o twopnt aguarda o simulador fornecer o grid (malha) de p números: x x xp Em cada ponto do grid, o Twopnt procura valores para solução c. u1,1 u1, u1,p u2,1 u2, u2,p x1 x xp

5 x1 x xp u1,1 u1, u1,p u2,1 u2, u2,p c = 50 e p = 100 são comuns em simulações de escoamento reativo: As equações discretizadas podem substituir as equações diferenciais. Há três principais métodos: df, ef e vf. Entretanto por qualquer método, as variáveis desconhecidas uk,n se transforma em variáveis em sistema de equações não diferencias.

6 Método Diferenças Finitas

7 Método Elementos Finitos
Função de interpolação Há muitas formas de formular as equações em elementos finitos. Uma das mais simples é o método de Galerkin o qual a idéia básica é produto interno do residual R da forma da equação problema com a função de interpolação (teste)

8 Método Volume de Controle
O Domínio é subdivido em vários volumes de controle. As equações diferenciais são integradas sobre cada volume de controle: w e W P E xe xw

9 Método diferenças finitas:
1. Fácil de formular 2. A geometria deve ser transformada em sistema cartesiano. Método elementos finitos: Princípios fundamentais e a formulação requer grande rigor matemático. Geometrias complexas são facilmente acomodadas sem a necessidade de mudar o sistema de coordenadas. Método de volume finitos: Formulação pode ser baseada em DF e EF A integral de volume garante a conservação em cada volume de controle

10 1º Erro: Erro da aproximação de John Von Neumann
Este ocorre porque as equações diferenciais são aproximadas, e além disto, somente em poucos pontos. u X Twopnt pode adicionar pontos para melhorar a aproximação. Os valores encontrados para o primeiro grid sugere pontos adicionais para o próximo grid e assim por diante. Assim, o Twopnt tem facilidade para resolver equações não diferenciais repetidamente, para as variáveis desconhecidas com sucessivos grids.

11 Twopnt supõe que todas as equações tenham sidas “quebrado de um lado”, assim elas podem ser escritas simbolicamente como: f(v) = 0 em que v é um vetor de todas os valores desconhecidos f(v) é vetor de todas as equações. Seja v* uma estimativa f(v*)  0  vetor residual f(v*) Twopnt procura valores, v*, com resíduo zero,  f(v**)=0 Twopnt resolve as equações por sucessivas aproximações usando o Método de Newton (iterativo) que constrói uma interminável seqüência de aproximações melhoradas: V0, v1, ... vn ... Depois razoáveis números de passos, o Twopnt assume uma “solução aproximada” vn em lugar do v** tornando-se o resultado da simulação. Aceitar vn no lugar de v** é o segundo erro da aproximação John von Neumann.

12 A principal dificuldade com o método de Newton, é que uma boa estimativa inicial v0 não garante convergência da solução. Quando o Newton falha, o código automaticamente condiciona a estimativa da sol. através da integração da versão dependentes do tempo das equações sobre um número fixado de saltos de tempo. Este procedimento fornece uma nova estimativa para o algort. de Newton que esta perto da sol. em em RP, mas se isto falha, o twopnt introduz passos de tempo adicionais sobre a solução transiente para promover uma melhor iteração inicial. Finalmente o processo de Newton Converge sobre a sol. s.s.

13 Método de Newton modificado
Método para solução de sistemas de eq. não lineares Método de Newton para o cálculo de zeros de uma função: Amortecimento (0...1) x1 x2 x0

14 Método de Newton modificado
Pode-se ver a analogia que existe com o método de Newton para uma só equação em que usava a tangente a curva, agora usa-se um plano tangente a uma superfície. O cálculo da Matriz Jacobiana requer muito tempo computacional, então Twopnt usa duas estratégias: 1 - Guarda/retém a matrix Jacobiana de várias iterações. Assim o jacobiano usado na iteracao atual, J(n), pode ser baseada sobre a sol. de muitas velhas iterações. 2 – Fator de amortecimento

15 Twopnt gera um novo Jacobiano sempre que a convergência com o antigo Jacobiano falha.
O twopnt não calcula a inversa da matrix jacobiana (para evitar este cálculo "pesado" ), preferencialmente resolve o sistema de eq. linear No cálculo da Matrix Jacobiana é realizado através de um artifício: Aproximação por diferenças finitas, esta abordagem é justificada pois a alta qualidade dos valores desta matriz não são necessários para o método de Modificado de Newton

16 Tolerância absoluta 0.001-0.0001 ATOL
O Twopnt determina a parâmetro de amortecimento e a necessidade de um novo Jacobiano baseado sobre vários critérios definidos para manter a iteração estável dentro dos limites da solução. Para aceitar uma nova solução iterativa Twopnt requer que Critério de convergência: Tolerância absoluta ATOL Tolerância relativa RTOL Se o amortecimento não produz uma correção adequada para o vetor, twopnt calcula um novo Jacobiano. No caso quando o novo jacobiano e o amortecimento não produz uma correção adequado, o Twopnt começa adotar passos de tempo (The time-stepping procedure).

17 Time-Stepping Procedure
Devido a sua robustez, é aplicado este procedimento para estimativa da solução nos casos em que o método de Newton não converge. Quando a o método de Newton falha, o Twopnt resolve as eqs. transientes para um dado número de passos no tempo como uma nova iteração. Esta solução será próxima da solução s.s. e assim é mais provável a convergência O Sist. de eq. diferenciais é resolvido usando o método de backward-Euler, neste método as derivadas no tempo são aproximadas diferenças finitas:

18 Para resolver o Sist. de Eq
Para resolver o Sist. de Eq. para cada tempo usa-se o método de Newton como feito em problemas S.S. A convergência ocorre em um tempo bastante pequeno, pode-se fazer a escolha do passo de tempo (TIME, TIM2) Depois de resolver alguns específicos saltos de tempo. O Twopnt tenta novamente resolver o problema S.S. usando o método de Newton. Se posteriormente o método de Newton falha. O Twopnt novamente usa o time-stepping, começando do último time-stepping procedure.

19 DASPK Método de Solução Numérica para o Caso Transiente
O Sistema de equações diferenciais obtidos nos problemas reativos são geralmente do tipo Stiff: Stiff: - Se o tamanho do passo requerido para se ter estabilidade é tão pequeno que os erros de arredondamento tornam-se significantes; Se contém alguns transientes que decaem rapidamente comparados com os transientes de maior interesse Sist. Reativos: Grande diferença de escalas do tempo para a evolução de diferentes espécies no reator Solução Exata:

20 Duas diferentes escalas no tempo:
Rápida variação no tempo associado a exponencial Lenta variação no tempo Para pequenos valores de tempo y(t) é dominado pela exponencial; Para grandes valores de tempo y(t) é dominado pelo termo t+2; Assim o erro é controlado pelo t e estabilidade por αt y 2 2 0,005 t 1 3 0,010 2

21 Duas Formas Integração no tempo: Explicita e Implícita (Daspk)
f = 0 Explicito f = 1 Implícito Explicito: Implícito: 1 2 3 4 t =0,05 t =0,1 t =0,0025 t =0,0020 t =0,0005 0,0005 0,001

22 Conclusões: No método implícito não há limite de tamanho do passo do tempo estável, assim o t pode ser relativamente grande. Entretanto não como t é grande não fornecerá bons resultados nos instantes iniciais, assim é indicado em problemas em que o regime transitório é lento e quando o interesse é a solução após um grande período de tempo. No método explicito há limite de estabilidade, t < Cte

23 Utilizando: Discretização por diferenças finitas para trás Integração implícita no tempo Tem-se o sist. de equação não linear: Cte que varia com o passo de tempo Vetor que depende sobre a solução nos tempos passados que é resolvido para cada passo de tempo O Daspk resolve esta equação pelo Método modificado de Newton A matriz de iteração uma vez calculada é utilizada para vários passos de tempo quanto possível

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