Chapter 8Design and Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 1 O Experimento fatorial Fracionado: 2 k-p Capítulo 8 Motivação: a medida que o número de.

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1 Chapter 8Design and Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 1 O Experimento fatorial Fracionado: 2 k-p Capítulo 8 Motivação: a medida que o número de fatores “interessantes” torna-se suficientemente grande, o tamanho do experimento cresce rapidamente. Ênfase deve ser dada à técnica factor screening (filtragem, peneiramento de fatores) para identificar os fatores com grandes efeitos Quase sempre os experimentos fatoriais são realizados sem replicação.

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3 Chapter 8Design and Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 3 Por que os Experimentos Fatoriais Fracionados funcionam? Princípio dos efeitos esparsos –Podem existir muitos fatores, mas poucos são importantes. –Sistema é dominado por efeitos principais e interações de baixa ordem. Propriedade da projeção –Todo fatorial fracionado contém fatoriais completos em menos fatores. Experimentação sequencial - Permite adicionar realizações a um fatorial fracionado para resolver dificuldades de interpretação.

4 Chapter 8Design and Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 4 A meia fração (1/2) do 2 k :2 k-1 Como o experimento tem 2 k /2 realizações, ele é referido como um 2 k-1. Vamos considerar uma situação bem simples: o 2 3-1

5 A meia fração do 2 3 Observe que a relação que define a fração é I =ABC (as vezes esse termo é chamado “palavra”). Fração principal: o contraste para estimar o efeito principal A é exatamente o mesmo contraste usado para estimar o efeito de interação BC. Esse fenômeno é chamado aliasing e ele ocorre em todo experimento fracionado. Aliases podem ser encontrados diretamente das colunas na tabela de sinais + and -

6 Aliasing na meia fração do 2 3-1 Chapter 8Design and Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 6 Não é possível diferenciar entre A e BC entre B e AC e entre C e AB. Dois ou mais efeitos com essa propriedade são chamados aliased. Na prática, quando estimamos A, B ou C estamos estimando A+BC, B+AC, C+AB, respectivamente.

7 Chapter 8Design and Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 7 Aliasing na meia fração do 2 3-1 A = BC, B = AC, C = AB Aliases podem ser encontrados a partir da relação de definição I = ABC por multiplicação: A. I = A.(ABC) = A 2 BC = BC B. I =B.(ABC) = AC C. I = C(ABC) = AB Notação do livro para efeitos aliased:

8 Chapter 8Design and Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 8 A fração alternativa do 2 3-1 I = -ABC é a relação de definição Implica em aliases ligeiramente diferentes: A = -BC, B= -AC, and C = -AB Nesse caso valerá

9 Aliasing na meia fração do 2 3-1 Ambos planos pertencem à mesma família, definida por I =  ABC. Suponha que depois de rodar a fração principal, a fração alternativa também seja rodada Os dois grupos de realizações podem ser combinados para forma um fatorial completo – exemplo de experimentação sequencial. Na prática não importa que fração é de fato usada. Ambas pertencem à mesma família I =  ABC, isto é, as duas juntas formam um fatorial 2 3 completo. Chapter 8Design and Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 9

10 Chapter 8Design and Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 10 Resolução do Planejamento Planejamentos de resolução III: –“Main effect = two-factors interaction “ –Notação: –O exemplo apresentado é de resolução III e pode ser denotado por Planejamentos de resolução IV: –“Two-factor interaction=two-factors interacion “ –Notação: Planejamentos de resolução V: –“Two-factors interaction = three factors interaction” –Notação:

11 Construção de uma meia fração Uma meia fração do experimento 2 k de maior resolução pode ser construída escrevendo-se um planejamento básico consistindo de corridas para um fatorial completo 2 k-1 e então adicionando o k-ésimo fator identificando seus níveis + ou – da interação de maior ordem. Portanto, o fatorial fracionado 2 3-1 de resolução III é obtido escrevendo-se o fatorial completo 2 2 como o planejamento básico e então igualando o fator C à interação AB. A fração alternativa poderia ser obtida igualando o fator C à interação – AB. Chapter 8Design and Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 11

12 Chapter 8Design and Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 12 Exemplo da construção de uma meia fração O planejamento básico; o planejamento gerador

13 Chapter 8Design and Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 13 Projeção dos Fatoriais Fracionados Todo fatorial fracionado contem fatoriais completos em menos fatores Uma meia fração projetará num fatorial completo em qualquer subconjuntos de k – 1 fatores originais.

14 Exemplo 6.2 de um Fatorial sem replicação 2 k A 2 4 factorial was used to investigate the effects of four factors on the filtration rate of a resin The factors are A = temperature, B = pressure, C = mole ratio, D= stirring rate Experiment was performed in a pilot plant

15 The Resin Plant Experiment

16 Exemplo 8.1: dados do exemplo 6.2 (pfat2a4sr.txt) Chapter 8Design and Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 16 Considere o experimento da taxa de filtragem no exemplo 6.2 que é um 2 4 sem replicação. Nesse exemplo vimos que os efeitos principais A, C e D e as interações AC e AD são significativas. Retornaremos a esse experimento e estudaremos o que acontecerá se uma meia fração do 2 4 for realizada em vez do fatorial completo. Usaremos I= ABCD pois essa escolha de gerador resultará em um experimento de maior resolução possível: resolução IV. Para construir o planejamento, primeiro escrevemos o planejamento básico (um 2 3 completo), como na tabela a seguir.

17 Chapter 8Design and Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 17 Exemplo 8.1

18 Chapter 8Design and Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 18 Exemplo 8.1 Interpretação dos resultados em geral leva a fazer algumas suposições: Ockham’s razor Confirmação do experimento pode ser importante. Uma possibilidade é usar a fração alternativa.

19 Ockham’s razor A Navalha de Ockham é um princípio lógico atribuído ao lógico e frade franciscano inglês William de Ockham (século XIV). O princípio afirma que a explicação para qualquer fenômeno deve assumir apenas as premissas estritamente necessárias à explicação do fenômeno e eliminar todas as que não causariam qualquer diferença aparente nas predições da hipótese ou teoria. O princípio é costuma ser designado como princípio da parcimônia: as entidades não devem ser multiplicadas além da necessidade. Esta formulação é muitas vezes parafraseada como "Se em tudo o mais forem idênticas as várias explicações de um fenômeno, a mais simples é a melhor". Chapter 8Design and Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 19

20 Chapter 8Design and Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 20 Confirmação do experimento para esse exemplo Uma possibilidade é usar o modelo para prever a resposta em uma combinação de interesse do planejamento. Rode essa combinação – compare o valor previsto e o observado. Para esse exemplo, considere o ponto +, +, -, +. A resposta estimada é A resposta observada é 104.

21 8.3 A FRAÇÃO ¼ DO 2 k Chapter 8Design and Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 21 Se P e Q representa os geradores escolhidos, então I=P e I=Q são chamadas as relações de definição. Os sinais de P e Q (+ ou -) determinam quais das frações ¼ é produzida. Quando ambos são positivos tem-se a fração principal. A relação de definição completa do plano consiste de todas as colunas que são iguais à coluna identidade. Isso consistirá das colunas P, Q e PQ nas relações de definição. Os aliases de qualquer efeito são produzidos pela multiplicação da coluna por cada efeito da relação de definição. Cuidado deve ser tomado para evitar que efeitos importantes sejam aliased.

22 Chapter 8Design and Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 22 8.3 A FRAÇÃO ¼ DO 2 k

23 Chapter 8Design and Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 23 The One-Quarter Fraction of the 2 6-2 Complete defining relation: I = ABCE = BCDF = ADEF

24 Chapter 8Design and Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 24 The One-Quarter Fraction of the 2 6-2 Uses of the alternate fractions Projection of the design into subsets of the original six variables Any subset of the original six variables that is not a word in the complete defining relation will result in a full factorial design –Consider ABCD (full factorial) –Consider ABCE (replicated half fraction) –Consider ABCF (full factorial)

25 Chapter 8Design and Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 25 A One-Quarter Fraction of the 2 6-2 : Example 8.4, Page 305 Injection molding process with six factors Design matrix, page 305 Calculation of effects, normal probability plot of effects Two factors (A, B) and the AB interaction are important Residual analysis indicates there are some dispersion effects (see page 307)

26 Chapter 8Design and Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 26 8.4 O Planejamento Fatorial Fracionado Geral: 2 k-p 2 k-1 = meia fração, 2 k-2 = um quarto, 2 k-3 = um oitavo, …, 2 k-p = 1/ 2 p Adicone p colunas ao planejamento básico; selecione p geradores independentes; Importante: selecionar geradores de modo a maximizar a resolução, veja tabela 8.14. Projeção – um planejamento de resolução R contém fatoriais completos em quaisquer de R – 1 fatores Blocagem

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