ANÁLISE DE PROCESSOS RESUMO

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1 ANÁLISE DE PROCESSOS RESUMO
24 DE SETEMBRO DE 2008

2 ENGENHARIA DE PROCESSOS PROJETO DE PROCESSOS QUÍMICOS
Seqüência de etapas responsáveis pela transformação de matérias primas em produtos de interesse industrial. ENGENHARIA DE PROCESSOS Área da Engenharia Química dedicada ao Projeto de Processos Químicos PROJETO DE PROCESSOS QUÍMICOS É o conjunto de ações desenvolvidas Desde A decisão de se produzir um determinado produto químico Até Um plano bem definido para a construção e a operação da instalação industrial. 

3 A Engenharia de Processos surgiu com a “Fertilização” da Eng
A Engenharia de Processos surgiu com a “Fertilização” da Eng. Química tradicional com elementos de: Engenharia de Sistemas: No tratamento de conjuntos complexos de elementos interdependentes Resultando: Utilização mais organizada e mais eficiente dos conhecimento específicos da Engenharia Química no Projeto de Processos: - Projeto mais rápido e mais eficiente. Processos mais econômicos, seguros e limpos. Inteligência Artificial: Na resolução de problemas combinatórios

4 1.3 SISTEMAS 1.3.1 Conceito Sistema: denominação genérica aplicada a organismos, dispositivos ou instalações, com as seguintes características: (a) são conjuntos de elementos interdependentes (através de conexões), cada qual capaz de executar uma ação específica. 2 1 3 4 5 7 6 (b ) cuja finalidade é executar uma ação complexa resultante da combinação das ações dos seus elementos.

5 O Processo Químico é um SISTEMA
Um conjunto de elementos especializados (equipamentos) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 extrato água vapor EVAPORADOR EXTRATOR CONDENSADOR RESFRIADOR MISTURADOR alimentação bomba DECANTADOR 20 HP rafinado produto W11 T11 W6 T6 W4 T4 f14 f24 x14 W7 T7 T3 W1 T1 x11 f11 f21 T2 f12 Ar Ae Vl t r f32 f23 Ac W8 T8 W15 T15 W13 T13 W14 T14 W12 T12 W10 T10 W9 T9 W5 T5 f13 e interdependentes (através das correntes) reunidos para um determinado fim (produção de um produto).

6 Engenharia de Sistema de Processos PSE: Process System Engineering
ENGENHARIA DE SISTEMAS Campo do conhecimento que estuda Sistemas de uma forma genérica, independentemente da finalidade e da natureza dos seus elementos. Vantagem em considerar Processos como Sistemas: Poder utilizar o arsenal de procedimentos da Engenharia de Sistemas para estudar os Processos Químicos É a base da Engenharia de Processos e do surgimento da área: Engenharia de Sistema de Processos PSE: Process System Engineering

7 Exemplos de Estruturas de Sistemas
1.3.2 Estrutura de Sistemas É a forma como as conexões interligam os elementos do sistema. Exemplos de Estruturas de Sistemas com bifurcação 1 2 1 2 com convergência 1 2 cíclica 1 2 acíclica 2 1 3 4 5 7 6 complexa

8 1.3.3 Projeto de Sistemas Denominação genérica atribuída ao conjunto numeroso e diversificado de atividades associadas à criação de um sistema. Esse conjunto compreende dois sub-conjuntos que interagem: SÍNTESE (a) escolha de um elemento para cada tarefa. (b) definição da estrutura do sistema. ANÁLISE (a) previsão do desempenho do sistema. (b) avaliação do desempenho do sistema. PROJETO = SÍNTESE  ANÁLISE

9 1.3.4 Síntese Genericamente: síntese significa compor um todo a partir de suas partes No Projeto: é a etapa criativa (a) escolha de um elemento para cada tarefa. (b) definição da estrutura do sistema.

10 SÍNTESE: responsável por disponibilizar todas as soluções.
Equipamentos disponíveis para a geração de fluxograma de um determinado Processo Ilustrativo RM Reator de mistura RT Reator tubular DS Coluna de destilação simples DE Coluna de destilação extrativa A Aquecedor R Resfriador T Trocador de Integração A Síntese consiste em combinar esses equipamentos formando todos os fluxogramas plausíveis em busca do melhor. SÍNTESE: responsável por disponibilizar todas as soluções.

11 Fluxogramas Plausíveis para a Processo Ilustrativo
Gerados ao Acaso Um problema com multiplicidade de soluções

12 EXPLOSÃO COMBINATÓRIA !!!

13 1.3.5 Análise Genericamente análise significa: decompor um todo em suas partes, compreender o comportamento das partes e, a partir daí, compreender o comportamento do todo. Para cada solução alternativa gerada na Síntese: (a) previsão do desempenho do sistema. (b) avaliação do desempenho do sistema.

14 No caso de processos químicos:
Principais dimensões dos equipamentos Consumo de utilidades matérias primas e insumos Modelo Matemático  previsão Especificações de projeto Principais dimensões dos equipamentos Consumo de utilidades matérias primas e insumos Modelo Econômico  avaliação Lucro ANÁLISE: responsável pela avaliação de cada solução.

15 MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES NA ANÁLISE
Cada par (x1,x2) é uma solução viável MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES NA ANÁLISE

16 À luz desses conceitos, as atividades do Projeto ficam melhor organizadas

17 Calcular as dimensões dos equipamentos
Calcular o consumo de matéria prima Calcular o consumo de utilidades Calcular o consumo dos insumos Calcular a vazão das correntes intermediárias Avaliar a lucratividade do processo Estabelecer o número e o tipo dos reatores Definir o número e o tipo dos separadores Definir o número e o tipo de trocadores de calor Estabelecer malhas de controle Definir o fluxograma do processo Investigar mercado para o produto Investigar disponibilidade das matérias primas Definir as condições das reações e identificar os sub-produtos gerados Investigar reagentes plausíveis SELEÇÃO DE ROTAS QUÍMICAS SÍNTESE ANÁLISE

18 Multiplicidade de Soluções Solução Ótima Otimização
Exige a busca da  através da  Multiplicidade de Soluções Solução Ótima Otimização O Projeto de Processos é um problema complexo de otimização. Fonte da complexidade: multiplicidade de soluções nos níveis tecnológico, estrutural e paramétrico. Nível Tecnológico: determinar a melhor rota química. Nível Estrutural (Síntese): determinar a estrutura ótima. Nível Paramétrico (Análise): determinar as dimensões ótimas de equipamentos e correntes.

19 INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL ! Decomposição e Representação
Como resolver eficientemente um problema tão complexo? INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL ! Ramo da Ciência da Computação que estuda a forma como o homem utiliza intuitivamente Inteligência e Raciocínio na solução de problemas complexos, implementando-as em máquinas. Estratégias básicas: Decomposição e Representação

20 Essas duas estratégias são aplicadas ao Projeto de Processos
decomposição: - decompor um problema complexo em sub-problemas mais simples. - obter a solução do problema complexo resolvendo os problemas mais simples de forma coordenada. Exemplo: o problema de projeto pode ser decomposto nos sub-problemas tecnológico (rotas químicas), estrutural (síntese) e paramétrico (análise). (b) representação Organizar as soluções segundo uma representação que oriente a sua a resolução. Exemplo: representação de problemas por Árvore de Estados. Essas duas estratégias são aplicadas ao Projeto de Processos

21 Decomposição e Representação do Problema de Projeto por
Árvore de Estados Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? P ? ? ? D+E P+F D,E P,F ?? A+B P+C A,B P,C Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? 1 P A B C x ? T D 2 3 E F M 4 Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? L x 6 8 x o = 3 x* 10 x o = 4 x o = 6 7 x o = 5 Nível Paramétrico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro. Problema Complexo de Otimização em 3 Níveis: Busca orientada

22 A partir de elementos de
ENGENHARIA DE SISTEMAS Projeto, Síntese, Análise e Otimização INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL Decomposição e Representação de problemas É possível sistematizar o Projeto !

23 INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA
ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA AVALIAÇÃO ECONÔMICA PRELIMINAR 4 5 ANÁLISE INTRODUÇÃO À SÍNTESE DE PROCESSOS 8 6 SÍNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAÇÃO 7 SÍNTESE SÍNTESE DE SISTEMAS DE INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 2 OBJETIVO DA ANÁLISE Prever e Avaliar o desempenho físico e econômico de um processo já existente (em operação) ou ainda inexistente (em fase de projeto)

24 Prever e Avaliar o desempenho FÍSICO
(a) prever as dimensões dos principais equipamentos e as condições das correntes, necessárias para atender às especificações técnicas estabelecidas para o projeto. (b) avaliar o comportamento de um processo dimensionado para certas especificações, quando submetido a outras condições operacionais. Base Modelo Matemático Prever e Avaliar o desempenho ECONÔMICO Verificar se o processo atende aos critérios econômicos de lucratividade de forma a justificar a sua montagem e a sua operação. Base Modelo Econômico

25 A Análise se inicia com as seguintes etapas preparatórias:
(a) reconhecimento do processo (b) modelagem matemática (c) seleção de métodos para a estimativa das propriedades e dos parâmetros físicos e econômicos. Seguidas das etapas executivas ligadas aos objetivos da análise: Dimensionamento Simulação

26 Consiste em identificar
2.1.1 Reconhecimento do Processo Consiste em identificar equipamentos (tipo, condições operacionais, ...) correntes (origem e destino, vazão, temperatura, composição...) - fluxograma do processo (estrutura: “by-passes”, reciclos, etc.).

27 Modelos dos Equipamentos:
2.2.2 Modelagem Matemática O Modelo do Processo é constituído pelos modelos dos equipamentos e pelo modelo do fluxograma. Modelos dos Equipamentos: Sistemas de equações algébricas: - balanços de massa e energia - relações de equilíbrio de fase - expressões para a estimativa de propriedades, taxas e coeficientes - equações de dimensionamento - restrições nas correntes multicomponentes Modelo do Fluxograma: matriz de conexões.

28 2.2.2 Propriedades Físicas e Coeficientes Técnicos
Devem ser incluídas equações para a estimativa das propriedades físicas e dos coeficientes técnicos.

29 2.3 DIMENSIONAMENTO E SIMULAÇÃO
Dimensionamento: fixam-se as metas estabelecidas para o equipamento/processo (saídas especificadas); determinam-se as dimensões e as vazões de entrada capazes de satisfazer as metas. Simulação: fixam-se as dimensões que satisfazem as metas e alteram-se as vazões das entradas. As saídas terão valores diferentes das metas.

30 2.3.1 Informações Relevantes
(a) Condições Conhecidas Em todo problema de dimensionamento e de simulação algumas condições de correntes, especialmente de entrada, devem ser conhecidas. No caso do dimensionamento, devem ser conhecidas: - a produção desejada ou a disponibilidade de matérias primas. - as condições da alimentação, das utilidades e dos insumos. No caso da simulação, devem ser conhecidas as dimensões dos equipamentos, as vazões e as condições de todas as correntes de entrada (b) Metas de Projeto e de Operação Algumas variáveis têm os seus valores impostos por especificações de ordem técnica ou por restrições ambientais. Normalmente são condições de saída.

31 Fluxograma do Processo Dimensionamento: condições conhecidas
W6 T*6 W10 T10 W13 T13 W11 T*11 W8 T*8 W*1 x*1,1 T*1 f1,1 f3,1 W7 T7 W5 T5 W3 x1,3 T3 f1,3 f2,3 W4 x1,4 T4 f1,4 f2,4 W12 T12 W9 T9 W14 T*14 W2 x1,2 T2 f1,2 f3,2 EXTRATOR Extrato Rafinado EVAPORADOR CONDENSADOR RESFRIADOR MISTURADOR BOMBA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Vd Ae Ac Ar  r Alimentação Vapor Água Benzeno Produto Condensado W15 T15

32 Fluxograma do Processo Simulação: condições conhecidas
W*6 T*6 W10 T10 W13 T13 W*11 T*11 W*8 T*8 W*1 x*1,1 T*1 f1,1 f3,1 W7 T7 W5 T5 W3 x1,3 T3 f1,3 f2,3 W4 x1,4 T4 f1,4 f2,4 W12 T12 W9 T9 W*14 T*14 W2 x1,2 T2 f1,2 f3,2 EXTRATOR Extrato Rafinado EVAPORADOR CONDENSADOR RESFRIADOR MISTURADOR BOMBA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 V*d A*e A*r  r Alimentação Produto Condensado Vapor Água Benzeno W15 T15

33 Fluxograma do Processo Dimensionamento: metas de projeto
W6 T6 W10 T10 W13 T13 W11 T11 W8 T8 W1 x1,1 T1 f1,1 f3,1 W7 T7 W5 T*5 W3 x1,3 T3 f1,3 f2,3 W4 x*1,4 T4 f1,4 f2,4 W12 T*12 W9 T*9 W14 T14 W2 x1,2 T*2 f1,2 f3,2 EXTRATOR Extrato Rafinado EVAPORADOR CONDENSADOR RESFRIADOR MISTURADOR BOMBA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Vd Ae Ac Ar * r* Benzeno Alimentação Produto Vapor Água W15 T15 Condensado

34 Fluxograma do Processo
Dimensionamento: condições conhecidas + metas de projeto W6 T*6 W10 T10 W13 T13 W11 T*11 W8 T*8 W*1 x*1,1 T*1 f1,1 f3,1 W7 T7 W5 T*5 W3 x1,3 T3 f1,3 f2,3 W4 x*1,4 T4 f1,4 f2,4 W12 T*12 W9 T*9 W14 T*14 W2 x12 T*2 f12 f32 EXTRATOR Extrato Rafinado EVAPORADOR CONDENSADOR RESFRIADOR MISTURADOR BOMBA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Vd Ae Ac Ar * r* Alimentação Produto Vapor Benzeno Água W15 T15 Condensado

35 2.3.2 Balanço de Informação O Balanço de Informação consiste no cálculo dos Graus de Liberdade do problema: G = V – N - E (E = C + M). Em função dos Graus de Liberdade, o problema pode ser: - inconsistente (G < 0 : sem solução) - consistente - determinado (G = 0 : solução única) - indeterminado (G > 0 : infinidade de soluções  otimização) Problemas de dimensionamento podem ser determinados (G = 0) ou indeterminados (G > 0, otimização). Problemas de simulação são determinados (G = 0). (se impomos as entradas, a natureza não nos dá liberdade de escolha das saídas).

36 2.3.3 Execução (a) Dimensionamento G = 0 (solução única)
W1 x1,1,x1,4 T1,T2,T5,T6,T8,T9,T11,T12,T14, r,  VARIÁVEIS ESPECIFICADAS W4,W6,W8,W11,W14 MODELO MATEMÁTICO Vd,Ae,Ac,Ar AVALIAÇÃO INCÓGNITAS ECONÔMICA PARÂMETROS L

37 Dimensionamento com G > 0
(b) Otimização Dimensionamento com G > 0 W1 x11,x14 T1,T2,T5,T6,T8,T11,T14, t variáveis especificadas W4,W6,W8,W11,W14 MODELO MATEMÁTICO Vd,Ae,Ac,Ar AVALIAÇÃO incógnitas ECONÔMICA r, T9, T12 ? r,T9,T12 L OTIMIZAÇÃO variáveis de projeto

38 (c) Simulação G = 0 L W1,T1,x11,T5,W6,T6,W8,T8,W11,T11,W14,T14
Vd,Ae,Ac,Ar VARIÁVEIS ESPECIFICADAS MODELO MATEMÁTICO T2, W4, T4, x14, T9, T12, r,  AVALIAÇÃO INCÓGNITAS ECONÔMICA PARÂMETROS L

39 2.3.4 Módulos Computacionais
A análise de um processo exige três ações: - resolução do modelo matemático do processo - avaliação econômica - otimização que devem ser executadas por módulos computacionais integrados num programa de computador. Essas ações serão detalhadas nos próximos Capítulos. VARIÁVEIS ESPECIFICADAS INCÓGNITAS L AVALIAÇÃO ECONÔMICA VARIÁVEIS DE PROJETO r,T9,T12 OTIMIZAÇÃO MODELO MATEMÁTICO

40 Em geral, os modelos de processos são muito complexos.
Fontes de complexidade: (a) grande número de equações e de variáveis (b) não-linearidades em muitas equações (c) presença de reciclos nos processos Desafio: como viabilizar a resolução de modelos tão complexos, e como fazê-lo da forma mais eficiente possível? A complexidade dos modelos exige o estabelecimento prévio de uma Estratégia de Cálculo

41 Objetivo de uma Estratégia de Cálculo
minimizar o esforço computacional envolvido na resolução dos modelos (problemas de dimensionamento, simulação e otimização de processos). MODELO FÍSICO MODELO ECONÔMICO OTIMIZAÇÃO Variáveis Especificadas Variáveis de Projeto Parâmetros Econômicos Parâmetros Físicos Dimensões Calculadas Lucro

42 Aproximações Sucessivas ex: Método da Substituição Direta
3.1.2 Resolução de equações não-lineares Há duas famílias importantes de métodos numéricos para a resolução de equações não-lineares. Métodos de Redução de Intervalos Métodos de Aproximações Sucessivas Partem de um intervalo inicial. (limites inferior e superior) Partem de um valor inicial. Por diferentes raciocínios lógicos, promovem a redução do intervalo até que se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida. Por diferentes raciocínios lógicos, testam novos valores até que a diferença relativa entre valores sucessivos se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida. ex: Método da Bisseção ex: Método da Substituição Direta

43 Estrutura Cíclica Estrutura Acíclica
3.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 3.2.1 Estrutura e Representação 1 2 3 x Estrutura Cíclica 1 2 3 x Estrutura Acíclica Estrutura acíclica: resolução trivial por encadeamento sucessivo a partir que qualquer variável conhecida (xo, por exemplo). Estrutura cíclica: solução somente por tentativas (exemplo: conhecida xo, o cálculo de x1 depende de x3 ainda não calculada).

44 Representação Matricial
Estrutura Representação Matricial X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 2 3 4 5 6 7 8 Matriz Incidência (Numérica) 1. f1(xo*,x1) = 0 2. f2(x1,x2) = 0 3. f3(x2,x3,x6) = 0 4. f4(x3,x4) = 0 5. f5(x4,x5) = 0 6. f6(x5,x6) = 0 7. f7(x6,x7) = 0 8. f8(x7,x8) = 0 X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 * 2 3 4 5 6 7 8 Matriz Incidência (Gráfica) Matrizes Esparsas !

45 Representação Gráfica (Grafo)
Estrutura Representação Gráfica (Grafo) 1. f1(xo*,x1) = 0 2. f2(x1,x2) = 0 3. f3(x2,x3,x6) = 0 4. f4(x3,x4) = 0 5. f5(x4,x5) = 0 6. f6(x5,x6) = 0 7. f7(x6,x7) = 0 8. f8(x7,x8) = 0 Ciclo ! x 1 2 3 4 5 6 7 8 o

46 Os sistemas de equações podem ser resolvidos por - métodos simultâneos
3.2.2 Resolução Os sistemas de equações podem ser resolvidos por - métodos simultâneos Todas as variáveis são alteradas simultaneamente. Exemplo: Newton-Raphson, Wegstein, ... - método seqüencial Aproveita-se do conhecimento da estrutura do sistema para minimizar o esforço computacional. Elementos importantes do método seqüencial: (a) Partição (b) Abertura (c) Algoritmo de Ordenação de Equações

47 Decomposição em sub-sistemas
1. f1(xo,x1) = 0 2. f2(x1,x2) = 0 3. f3(x2,x3,x6) = 0 4. f4(x3,x4) = 0 5. f5(x4,x5) = 0 6. f6(x5,x6) = 0 7. f7(x6,x7) = 0 8. f8(x7,x8) = 0 Uma estratégia para resolver o Sistema PARTIÇÃO Decomposição em sub-sistemas Resolução seqüencial dos sub-sistemas  solução do Sistema x x* 1 2 3 4 5 6 7 8 o 1, 2 [ 3, 4 , 5 ,6 7, 8 [ ] Parte Cíclica Parte Acíclica xo* x2 x6 x8

48 Algoritmo de Ordenação de Equações (A.O.E.) Propriedades do Algoritmo
É um algoritmo de atribuição de tarefas: a cada equação é atribuída a tarefa de calcular uma das variáveis do sistema. Propriedades do Algoritmo 1. Organiza as equações segundo a seqüência lógica, minimizando o esforço computacional  seqüência de cálculo. 2. Efetua naturalmente a partição do sistema em conjuntos cíclicos e acíclicos de equações, minimizando o número de equações envolvidas em cálculos iterativos. 3. Em problemas com graus de liberdade, indica as variáveis de projeto compatíveis com o esforço computacional mínimo. 4. Em problemas com ciclos, indica as variáveis de abertura.

49 ELEMENTOS BÁSICOS DO ALGORITMO
Equações de Incógnita Única (EIU) Equações em que todas as variáveis têm os seus valores conhecidos, menos uma! Pela lógica: as primeiras a serem resolvidas. Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Variáveis que pertencem a uma só equação. Pela lógica: só podem ser calculadas por esta equações e depois de todas que as antecedem. Ciclos Conjuntos cíclicos de equações em que cada variável vem a ser função dela mesma.

50 Algoritmo de Ordenação de Equações
Enquanto houver equações com incógnita única (EIU) (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação no primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável. Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária (VFU) (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação. Se ainda houver equações (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final). (b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c ) remover equação.

51 (b) Substituição Direta
Exemplo de esquemas de resolução do subsistema cíclico por abertura (a) Bisseção x6a 3 4 5 6 x2 x3 x4 x5 x6 BISS (b) Substituição Direta x6c 3 4 5 6 x2 x3 x4 x5 x6 SD x6a

52 Situações típicas que podem ocorrem ao aplicar o algoritmo de ordenação de equações em Sistemas de Engenharia de Processos.

53 Sol.única sem ciclo Otimização sem ciclo Sol.única com ciclo
PROCESSO * E x x x x x x x x AVALIAÇÃO LE Sol.única sem ciclo 4 3 2 1 1 2 3 4 4 3 2 1 ECONÔMICA PROCESSO OTIMIZAÇÃO * LE E x 1 3 2 4 5 AVALIAÇÃO ECONÔMICA Otimização sem ciclo PROCESSO * LE E x 1 4 3 2 AVALIAÇÃO ECONÔMICA Sol.única com ciclo PROCESSO OTIMIZAÇÃO * LE E x 1 3 2 4 5 AVALIAÇÃO ECONÔMICA Otimização com ciclo

54 REGRAS COMPLEMENTARES NA APLICAÇÃO DO
ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES - Variáveis discretas - Variáveis de cálculo direto e iterativo - Variáveis limitadas - Ciclos múltiplos - Variáveis de abertura e de projeto - Eliminação de ciclos.

55 Seus valores são limitados a um conjunto finito. Exemplos:
Variáveis Discretas Seus valores são limitados a um conjunto finito. Exemplos: - tipos de insumos: utilidades, solventes, catalisadores. - diâmetros comerciais de tubos. - número de estágios. Em problemas com G > 0 elas têm preferência como Variáveis de Projeto. Assim: - assumem apenas os valores viáveis atribuídos pelo otimizador. - não sendo calculadas, não há risco de assumirem valores inviáveis.

56 Variáveis de Cálculo Direto ou Iterativo
Variáveis de cálculo direto são aquelas que podem ser facilmente explicitadas numa equação e calculadas sem necessidade de iterações. Exemplo Nesta equação: -  é uma variável de cálculo direto (dadas as temperaturas) - qualquer T é de cálculo iterativo (dado  e as demais T’s) As variáveis de cálculo direto têm preferência para a condição de calculadas.

57 Varáveis Limitadas Os seus valores variam entre limites bem definidos. Exemplos: - frações mássicas ou molares - temperaturas em trocadores de calor Variáveis limitadas devem ter preferência para atuar como variáveis de abertura e de projeto. Durante a execução do Algoritmo, a atribuição deve ser postergada ao máximo para que essa preferência seja concretizada.

58 Ciclos Múltiplos em Seqüência
Primeira entrada de x3: eq. 1 Primeira entrada de x7: eq. 5 Fechar o ciclo com a final mais próxima x3 f 1 ( x o , 3 ) 2 4 5 7 6 = 1 2 4 5 6 1. x 2. x 3. final 4. x 5. x 6. x 7. final x7

59 Ciclos Múltiplos Aninhados
Primeira entrada de x4: eq. 4 Primeira entrada de x7: eq. 7 Fechar o ciclo com a final mais próxima X7 f x 1 o 7 2 6 3 5 4 ( , ) = 1. x1 4. x3 6. x5 3. x2 5. final 7. x6 2. final X4

60 Variáveis de Abertura e de Projeto Simultâneas
Em problemas com G > 0 e com ciclo, a variável de abertura deve ser aquela que fecha, com a Equação Final, um ciclo com o menor número de equações. (a) 1. x 1 2. x 2 4. x 4 6. x 6 3. x 3 x 7 5 5. final 7. x 8 Escolha Conveniente Ciclo com 3 equações 1. x 1 2. x 2 4. x 4 6. x 6 3. x 3 x 7 5 5. final (b) 7. x 8 Escolha Inconveniente Ciclo com 4 equações

61 Eliminação de Ciclos 31 = 1 - X 11 31. X 32 12 13 = k X / [1 + (k - 1) X ] 3 = W 1 X r / X 01. W 2 / X 02. W * - W = 0 32. X 23 = 03. W 15 T 07. W 06. T 05. V d 08. 04. X 33. X 31 = 1 - X 11 31. X 32 12 13 = k X / [1 + (k - 1) X ] 3 = W 1 X r / X 01. W 2 / X 32. X 23 = 03. W 15 T 02'.X = X (1 - r) / [X + (1 - r) 07. W 06. T 05. V d 08. 04. X 33. X Substituindo 01, 07, 04 e 32 em 02, esta fica só com x12 como incógnita. Explicitando x12, resulta 02’, localizada logo depois de 31. A seqüência fica sem ciclo.

62 3.4 DIMENSIONAMENTO E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS
Existem duas estratégias básicas: - Estratégia Global Todas as equações são consideradas simultaneamente, independentemente dos equipamentos e que pertencem. O Algoritmo de Ordenação de Equações é executado como se fosse para um equipamento isolado. É a estratégia mais indicada para dimensionamento. - Estratégia Modular Utiliza módulos criados previamente para cada equipamento. Cada módulo contém as equações já ordenadas para dimensionamento ou simulação. Os módulos são seqüenciados convenientemente segundo o fluxograma material do processo. Reciclos  correntes de abertura. A estratégia é indicada para simulação.

63 Simulação do Processo Ilustrativo - Estratégia Modular
W45 T14 RESFRIADOR CONDENSADOR 24. W W12 25'. Qr 28. T T r W10 T10 18. W Qc 19. c 22'. T9 21. W8 17. W9 W13 T13 MISTURADOR 29. W T15 W15 T15 W5a Repetição até convergir : |W5c – W5a| / W5a   T5 SS W5c W1 T1 x11 f11 f31 EXTRATOR EVAPORADOR 02. f f f f T2 07.  06. T3 01' f f r 09. f T4 16. e 15. Qe 12. W6 14. W5 10. f W7 33. W4 34. x14 f13 f23 T3 T2 f12 f32 W4 T4 x14 f14 f24

64 Simulação de Processos com Estrutura Complexa
1 2 3 4 5 6 7 8 1* 9 10 11 12 13 14 Procedimento: (a) identificação dos ciclos. (b) seleção das correntes de abertura (c) construção do algoritmo de simulação

65 (a) Identificação dos Ciclos
O procedimento é o de Traçado de Percursos (labirinto) Trabalha-se com uma Lista Dupla: corrente e equipamento de destino. O resultado é lançado na Matriz Ciclo-Corrente (correntes que participam de cada ciclo). Corrente: Destino : 1 2 3 4 5 6 7 8 1* 9 10 11 12 13 14

66 3 4 5 6 7 1 1* 2 8 9 10 11 12 13 14 7 C: D: 13 2 7 C: D: 13 2 C: D: 7 6 5 7 6 5 8 6 8 6 1 1 2 2 3 3 5 4 1 2 2 3 3 5 4 1 C: D: C: D: 13 2 13 2 C: D: 12 9 5 8 6 12 9 5 8 6 12 C: D: 12 C: D: 13 2 C: D: C: D: 13 2

67 (b) Seleção das Correntes de Abertura
Matriz Ciclo - Corrente A C ALGORITMO Calcular os elementos de C Repetir Identificar a corrente com o maior valor em C (pode ser a primeira encontrada) Inscrever a corrente em A Remover os ciclos abertos pela corrente (anular os elementos na linhas correspondentes) Atualizar C Até C = 0

68 C A C 3 A

69 C 3 A C 3 8 A

70 (c) Construção do Algoritmo de Simulação
Corrente 1: única conhecida 1 2 3 4 5 6 7 8 1* 9 10 11 12 13 14 Abrir C3 REPETIR Simular E3 (C4,C5) Simular E1 (C2) Abrir C8 REPETIR Simular E6 (C10,C11) Simular E4 (C6,C7 ) Simular E7 (C9, C12) Simular E5 (C8) ATÉ Convergir C8 Simular E8 (C13, C14) Simular E2 (C3) ATÉ Convergir C3

71 Análise de Sensibilidade
3.5 INCERTEZA E ANÁLISE DE SENSIBILIDADE A análise de processos é executada em ambiente de muita incerteza. Fontes de incerteza: modelos matemáticos: aproximações lineares, coeficientes constantes... (b) parâmetros físicos e econômicos: valores incertos (aproximados e variáveis). A avaliação dos efeitos da incerteza é efetuada através da Análise de Sensibilidade

72 A Análise de Sensibilidade consiste de dois questionamentos óbvios efetuados ao final do dimensionamento, realizado em ambiente de incerteza. (a) questionamento do próprio dimensionamento. Em que grau a incerteza nos parâmetros compromete o resultado do dimensionamento ? (b) questionamento do desempenho futuro Em que grau a incerteza nos parâmetros comprometerá as metas de projeto ?

73 Fazem parte da Análise de Sensibilidade:
as variáveis características do dimensionamento: dimensões. - as variáveis características do desempenho do processo: variáveis de saída (metas de projeto). - os parâmetros cujos valores são considerados incertos (variáveis conhecidas são aqui incorporadas ao conjunto dos parâmetros  Controle).

74 Análise de Sensibilidade com Variáveis Adimensionais
Conveniência: usar variáveis adimensionais F / F* e i / i* Vantagens: (a) os valores independem das dimensões das variáveis e dos parâmetros. (b) as Sensibilidades podem ser comparadas, permitindo verificar a qual parâmetro a variável de interesse é mais sensível, e em que grau. Sensibilidade Adimensional: : vetor dos parâmetros (físicos e econômicos) e das variáveis especificadas cujos valores são incertos. F: variável do processo cujo valor é incerto devido à incerteza nos parâmetros .

75 Cálculo aproximado da sensibilidade adimensional
diante de uma incerteza de 1% em i S(F/F*;i/ i*) estima a incerteza % em F diante de uma incerteza de 1% em i |S| > 1 : incerteza ampliada |S| < 1 : incerteza amortecida

76 Happel: Venture Profit  Lucro do Empreendimento (LE)
4. AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE PROCESSOS Objetivo: avaliação do desempenho econômico de um processo. Critério adotado (Rudd & Watson) Happel: Venture Profit  Lucro do Empreendimento (LE) É o Lucro Relativo ao proporcionado por um investimento “padrão”

77 Lucro do Empreendimento Lucro do Empreendimento: LE = L1 - L0
Sejam: L1: Lucro previsto para o processo, com: retorno estimado j ($/ano) / ($ investido) - com risco comercial. L0: Lucro proporcionado por um investimento com: retorno garantido i ($/a) /($ investido) sem risco comercial. Lucro do Empreendimento: LE = L1 - L0 O projeto é economicamente vantajoso se LE  0

78 Fluxograma Ilustrativo do Lucro do Empreendimento
Lucro do Empreendimento: LE = LB - (D + IR ) - RIR $/a Lucro do Empreendimento Lucro Líquido Após o Risco LL = LD - CR $/a h i Retorno garantido sobre o investimento RI = i Itotal $/a Compensação pelo Risco CR = h Itotal $/a Instalações Físicas Lucro Bruto Receita R $/a Custo Total LB = R - Ctotal $/a Lucro Líquido antes do I.R. LA = LB - D $/a Ctotal $/a e Depreciação D = e Idireto $/a Lucro Líquido Após o I.R. Imposto de Renda IR = t (LB - D) $/a t LD = LA - IR $/a Itotal $ Retorno sobre o Investimento + Risco RIR = (i + h) Itotal = im Itotal $/a RIR

79 4.2.1 ESTIMATIVA DOS CUSTOS LE = LB - D - IR – RIR $/a LB = R – Ctotal D = e Idireto IR = t (LB - D) RIR = RI + CR = (i + h) Itotal = im Itotal LE = (1- t) (R – Ctotal – e Idireto) – im Itotal $/a Ctotal ??? Idireto??? Itotal ??? Segue resumo adaptado de Peters & Timmerhaus, utilizando valores médios das faixas lá apresentadas. Detalhes: Tabela 4.3 do Livro.

80 Ctotal Ctotal = Cprod + Cgerais $/a Cprod = Cdiretos + Cfixos Cdiretos = (Cmatprim + Cutil) + Cmanut + Csupr + (Cmobra Cadm + Clab) + Croy Cdiretos = (Cmatprim + Cutil) + 0,046 Ifixo + 0,27Ctotal Cfixos = Cimpost + Csegur + Calug + Cjur Cfixos = 0,03 Ifixo Cprod = (Cmatprim + Cutil) + 0,076 Ifixo + 0,27 Ctotal Cgerais = 0,025 R Ctotal = (Cmatprim + Cutil) + 0,076 Ifixo + 0,27 Ctotal + 0,025 R $/a Ctotal = 1,37 (Cmatprim + Cutil) + 0,104 Ifixo + 0,034 R $/a

81 4.2.2 ESTIMATIVA DO INVESTIMENTO
Itotal = Ifixo + Igiro + Ipartida $ Ifixo = Idireto + Iindireto Idireto = ISBL + OSBL ISBL: custo instalado dos equipamentos diretamente envolvidos na produção ("Inside Battery Limits") OSBL = 0,45 ISBL (custo de investimento "Outside Battery Limits") Idireto = 1,45 ISBL Iindireto = 0,25 Idireto Ifixo = 1,81 ISBL Igiro = 0,15 Itotal Ipartida = 0,10 Ifixo Itotal = 2,34 ISBL $

82 Ifixo = 1,81 ISBL Idireto = 1,45 ISBL Itotal = 2,34 ISBL
LE = 0,48 R - 0,68 (Cmatprim + Cutil) - 0,05 Ifixo – 0,05 Idireto- 0,15 Itotal $/a Ifixo = 1,81 ISBL Idireto = 1,45 ISBL Itotal = 2,34 ISBL LE = 0,48 R - 0,68 (Cmatprim + Cutil) - 0,46 ISBL $/a Os coeficientes dependem das correlações utilizadas intermediariamente que dependem da experiência do avaliador e da região em que se desenvolve o projeto. Aproximação prática para a discriminação de muitos fluxogramas alternativos gerados na Síntese, com um mesmo nível de erro: LE = 0,5 R - 0,7 (Cmatprim + Cutil) - 0,5 ISBL $/a LE = 0,5 (R - Cmatprim - Cutil – ISBL) $/a ISBL ???

83 IEbi, Qbi, Mi: gráficos (Guthrie) e tabelas.
ISBL = fT fD fL IEi Q i: dimensão característica do equipamento i, calculada ou especificada. Qb i: valor-base da dimensão característica do equipamento i cujo custo de investimento IEbi é conhecido. Mi : fator de escala para o equipamento i, válido para uma faixa de valores de Qi IEi : custo de investimento do equipamento i para a dimensão Qi. IEbi, Qbi, Mi: gráficos (Guthrie) e tabelas.

84 ISBL = fT fD fL IEi fT, fD, fL : fatores empíricos. fT: transforma o preço de compra na região em que foi levantado no preço de compra na região em que será construída a planta (considera frete, armazenamento, alfândega, etc.) fD : transforma preço de compra levantado no ano A no preço de compra no ano em que está sendo executado o projeto (utiliza Índices de Preços. Ex.: Ch.Eng. Cost Index) f D = IC a / IC b (a: ano da avaliação; b: ano da tabela) Exemplo: em 1960: $ em 2000: x (IC2000 / IC1960) = (394/102) = $ fL (fator de Lang): transforma preço de compra em custo instalado. (inclui estrutura, pintura, instalação elétrica, instrumentação,...)

85 LE = aR - b(Cmatprim + Cutil) - c I
4.2 ESTIMATIVAS ECONÔMICAS Estimativa aproximada: correlações e fatores empíricos. Uso em estágios preliminares do projeto (erros até 35%). LE = aR - b(Cmatprim + Cutil) - c I - Receita (R) - Custos de matérias primas (Cmatprim), e de utilidades (Cutil) - Custos de Investimento (I)

86 5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
Todo problema de otimização exibe os seguintes elementos, qualquer que seja a sua área de aplicação. 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável

87 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)
São as variáveis manipuladas pelo método de otimização durante a busca da solução ótima. Na Engenharia de Processos são chamadas de Variáveis de Projeto. VARIÁVEIS DE PROJETO L r,T9,T12 OTIMIZAÇÃO INCÓGNITAS AVALIAÇÃO ECONÔMICA Vd,Ae,Ac,Ar W4,W6,W8,W11,W14 MODELO MATEMÁTICO VARIÁVEIS ESPECIFICADAS W1 x11,x14 T1,T2,T5,T6,T8,T11,T14,  Resultam da liberdade conferida ao projetista pela insuficiência de metas de projeto O módulo de Otimização arbitra sucessivos valores das variáveis de projeto até o Lucro alcançar o seu valor máximo.

88 Minimização do Custo (produção fixa  Receita constante)
A busca da solução ótima tem que ser norteada por um critério. O critério mais comum é econômico: 5.2.2 Critério 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 L 100 200 300 400 500 Maximização do Lucro x7o 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 L 100 200 300 400 500 R C Minimização do Custo (produção fixa  Receita constante) x7o

89 5.2.3 Função Objetivo É a expressão matemática do critério de otimização descrita em termos das variáveis físicas do problema. Pode assumir formas das mais simples às mais complexas. A sua caracterização é fundamental para a resolução do problema de otimização. Pode ser classificada quanto à: (a) Continuidade: contínua, contínua com descontinuidade na derivada, descontínua ou discreta. (b) Modalidade: unimodal, multimodal. (c ) Convexidade: côncava ou convexa.

90 Os Valores Característicos são as raízes desta equação.
5.2.3 Função Objetivo (c ) Convexidade (funções multivariáveis) Para funções multivariáveis, a convexidade encontra-se relacionada aos seus Valores Característicos, que são as raízes da sua Equação Característica. Exemplo: para uma função qualquer de duas variáveis, existem: Matriz Hessiana: Equação Característica: 2 – (f11 + f22)  + (f11f22 – f12f22) = 0 Os Valores Característicos são as raízes desta equação.

91 positiva semi-definida
estritamente convexa convexa estritamente côncava côncava ponto de sela  1 , 2 H ( x ) f ( > 0 , > 0 positiva definida = 0 positiva semi-definida < 0, < 0 negativa definida negativa semi-definida indefinida

92 5.2.3 Restrições São os limites impostos pelas leis naturais ou estabelecidos às variáveis do processo. Há dois tipos de restrições: (a) restrições de igualdade : h(x) = 0 São as equações do próprio modelo matemático. (b) restrições de desigualdade: g (x)  0 São os limites impostos às Variáveis de Projeto

93 Região do espaço delimitada pelas restrições de igualdade e de
5.2.4 Região Viável Região do espaço delimitada pelas restrições de igualdade e de desigualdade à qual se restringe a busca da solução ótima. h(x) = 0 g(x)  0 x1 x2 x3 Max f(x) {x} s.a.: h(x) = 0 g(x)  0 Busca restrita ao interior da elipse (restrição de desigualdade g(x)  0) que se encontra sobre o plano (restrição de igualdade h(x) = 0)

94 • Condição necessária de primeira ordem:
5.3 Localização da Solução Ótima Condição para a otimalidade SEM restrição: • Condição necessária de primeira ordem: Para que x* seja um mínimo (ou máximo) local da função f(x), diferenciável em x*, é necessário que: f(x*) = 0 • Condição necessária de segunda ordem: Para que x* seja um mínimo local da função f(x), duas vezes diferenciável em x*, é necessário que a condição de primeira ordem seja satisfeita e que a matriz Hessiana H(x*) = 2f(x*) seja positiva semi-definida (ou negativa semi-definida para máximo).

95 • Condição suficiente de segunda ordem:
Condição para a otimalidade SEM restrição: • Condição suficiente de segunda ordem: Seja f(x) duas vezes diferenciável em x* tal que: f(x*) = 0 e H(x*) seja positiva definida então x* é um mínimo local estrito de f (ou máximo se negativa definida).

96 • Condição necessária de primeira ordem de Karush-Kuhn-Tucker (KKT):
Condição para a otimalidade COM restrição: • Condição necessária de primeira ordem de Karush-Kuhn-Tucker (KKT): Para que x* seja um ótimo local do problema com restrições, com f(x), g(x), e h(x) diferenciáveis em x*, é necessário que: os gradientes das restrições de desigualdade ativas, g(x*), e das restrições de igualdade, h(x*), sejam linearmente independentes, e que as seguintes condições sejam satisfeitas: xL(x*, λ*, μ*) = S(x*) + (λ*)T h(x*) + (μ*)T g(x*) = 0 h(x*) = 0 g(x*) ≤ 0 μj* gj(x*) = 0 , j = 1, 2, ..., p (condições de complementaridade) μ* ≥ 0

97 • Condição necessária de segunda ordem de KKT:
Condição para a otimalidade COM restrição: • Condição necessária de segunda ordem de KKT: Para que x* seja um mínimo local do problema com restrições, com f(x), g(x), e h(x) duas vezes diferenciáveis em x*, é necessário que a condição de primeira ordem de KKT seja satisfeita e, que a matriz Hessiana da função de Lagrange, x2L(x*, λ*, μ*), seja positiva semi-definida para todo vetor não nulo d tal que: dT hi(x*) = 0 , i = 1, 2, ..., m dT gj(x*) = 0 para as gj(x*) ativas isto é, dT x2L(x*, λ*, μ*) d ≥ 0.

98 5.4 PROBLEMAS E MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO
À luz dos conceitos apresentados os problemas de otimização podem ser classificados: (a) Quanto ao número de variáveis: - Univariáveis ou Multivariáveis (b) Quanto à presença de restrições: - Irrestritos ou Restritos Os métodos de resolução podem ser classificados: (a) Quanto à natureza: - Analítico: localiza os pontos estacionários pelo cálculo das derivadas da função objetivo. - Numéricos: buscam os pontos estacionários por tentativas. (b) Quanto ao tipo de informação utilizada: - Diretos: utilizam apenas o valor da função objetivo. - Indiretos: utilizam, também, os valores das suas derivadas.

99 5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.1 Problemas univariáveis
Exemplo: dimensionamento do extrator W kg B/h Q = kgA/h rafinado y kg AB/kg B xo= 0,02 kg AB/kg A extrato x kgB/kgA Modelo Matemático: 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 (k = 4) Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 0 G = 1 (otimização) Avaliação Econômica: L = R - C R = pAB W y C = pB W pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB

100 Seqüência de Cálculo x y W 1 * * * 2 * * x y W 1 x x o 2 x o
1 * * * 2 * * x y W 1 x x o 2 x o 2. y = k x 1. W = Q (xo - x)/y  Restrições de Igualdade !!!

101 Incorporando a L às Restrições de Igualdade ordenadas :
Função Objetivo: L = R - C = pAB W y - pB W Incorporando a L às Restrições de Igualdade ordenadas : 2. y = k x 1. W = Q (xo - x)/y = + a Q p x k AB o B ( ) 105 b 4000 c Qx , 5 L = a - b x - c/x

102 Busca do ponto estacionário:
L = a - b x - c/x 60 Busca do ponto estacionário: x b dL dx c o = - + || 2 01118 , 50 Solução completa do problema: 40 R yo = 0,04472 kg AB/kg B; Wo = 1.972,3 kgB/h; Ro = 35,3 $/h; Co = 19,7 $/h; Lo = 15,6 $/h C L,R,C 30 $/a 20 L o = 15,6 Máximo! L 10 x o =0, 01118 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 0,022 x kgAB/kg A

103 5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.2 Problemas multivariáveis
Exemplo: dimensionamento de 2 extratores em série 1 2 Q = kgA/h x = 0,02 kgAB/kgA o W kgB/h y kgAB/kgB x kgAB/kgA Modelo Matemático 1. Q(xo - x1) - W1 y1 = 0 2. y1 - k x1 = 0 3. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 0 4. y2 - k x2 = 0 Avaliação Econômica L = R - C R = pAB (W1 y1 + W2 y2 ) C = pB (W1 + W2) pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB Balanço de Informação: V = 8; N = 4; C = 2; G = 2 (otimização)

104 5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.2 Problemas multivariáveis
W1 x1 y1 W2 x2 y * * * * * * * * * * * Modelo Matemático 1. Q (xo - x1) - W1 y1 = 0 2. y1 - k x1 = 0 3. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 0 4. y2 - k x2 = 0 Modelo Matemático 2. y1 = k x1 4. y2 = k x2 3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2 1. W1 = Q (xo - x1)/ y1 W1 x1 y1 W2 x2 y o x x x o x o x x x o

105 Incorporando as Restrições de Igualdade à Função Objetivo L
2. y1 = k x1 4. y2 = k x2 3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2 1. W1 = Q (xo - x1)/ y1 L = R – C R = pAB (W1 y1 + W2 y2 ) C = pB (W1 + W2) L = a – b/x1– cx2 – d x1/x2 a = pAB Q xo + 2 pB Q / k = 130; b = pB Q xo/ k = 0,5; c = pAB Q = 4000; d = pB Q / k = 25 Buscando o ponto estacionário: L/x1 = b/x12 – d/x2 = 0 x1o = (b2/cd)1/3 = 0,01357 x2o = (d/b) x12 = 0,00921 L/x2 = - c + dx1/x22 = 0 Solução completa: y1o = 0,05428 kgAB/kgB; W1o = kgB/h y2o = 0,03684 kgAB/kgB; W2o = kgB/h Co = 23,68 $/h; Ro = 43,15 $/h; Lo = 19,47 $/h

106 det(H - I) = 0  1 = -0,258106 e 2 = -1,011106
Analisando o ponto estacionário: L/x1 = b/x12 – d/x2 = 0 x1o = (b2/cd)1/3 = 0,01357 x2o = (d/b) x12 = 0,00921 L/x2 = - c + dx1/x22 = 0 det(H - I) = 0  1 = -0,258 e 2 = -1,011106 Máximo!

107 0,020 0,018 4,0 2,0 8,0 0,016 6,0 0,014 10 16 14 0,012 X 19,5 18 0,010 0,00921 2 0,008 0,006 12 0,004 0,01357 0,002 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 X 1

108 Problemas Restritos [hi(x) , gi(x)]
Método dos Multiplicadores de Lagrange 1. Formar o Lagrangeano do problema: L(x, , , ) = f(x) +  i hi (x) +  j [gj(x) + j2] i , j : multiplicadores de Lagrange (ou de Kuhn-Tucker) i : variável de folga (distância de um ponto interior à fronteira da restrição; transforma desigualdade em igualdade) 2. Localizar os pontos estacionários do Lagrangeano. 3. Analisar as soluções obtidas à luz das restrições.

109 Exemplo:. Min f(x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2. s. a
Exemplo: Min f(x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1) s.a.: g1 (x) = x12 + x22 – 0,25  g2 (x) = x1  g3 (x) = x2  0 0,5 restrição curvas de nível da função objetivo 1 x1 x2

110 Exemplo:. Min f (x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2. s. a
Exemplo: Min f (x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1) s.a.: g1 (x) = x12 + x22 – 0,25  g2 (x) = x1  g3 (x) = x2  0 Formar o Lagrangeano: Considerar apenas g1(x) e depois eliminar valores negativos de x1 e x2 L (x, , ) = f(x) +  i hi (x) +  j [gj(x) + j2] L (x, , ) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2 +  [x12 + x22 – 0,25 + 2]

111 x L (x, , ) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2 +  [x12 + x22 – 0,25 +  2]
L / x1 = 2 x1 –  x1 = 0  x1 = 1/(1 + ) (1) L / x2 = 2 x2 –  x2 = 0  x2 = 1/(1 + ) (2) L /  = x12 + x22 – 0,25 +  2 = (3) L /   = 2   = (4) A Eq. (4) é satisfeita para:  = 0 (solução irrestrita): (1)  x1 = 1 ; (2)  x2 = 1 (viola a restrição!)  = 0 (folga zero, fronteira da região): (1) e (2) em (3)  x1 = x2 = 0,35  = 0,74 x 1 2 curvas de nível da função objetivo 0,5 restrição

112 5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS São métodos de busca por tentativas. Os métodos podem ser: - Diretos: utilizam apenas o valor da Função Objetivo. - Indiretos: utilizam também o valor da(s) derivada(s) da Função Objetivo (menor números de tentativas mas o esforço computacional é maior). Os pesquisadores buscam desenvolver métodos que atendam às seguintes propriedades: - Eficiência: resolver o mesmo problema com menor esforço. - Robustez: resolver uma variedade maior de problemas.

113 Base: Retângulo Áureo (esteticamente perfeito, segundo os gregos)
Método da Seção Áurea Base: Retângulo Áureo (esteticamente perfeito, segundo os gregos) Propriedade: removendo um quadrado de lado igual ao lado menor, 1 e 1- resulta um outro retângulo com as mesmas proporções do retângulo original  Razão Áurea

114 Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto
Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto L s x i F L i x s F Problema de Mínimo Eliminação de Região Problema de Máximo Eliminação de Região Atualiza  Tolerância ? Novo Ponto F s Atualiza  Tolerância ? Novo Ponto L i s x F F i L i x s F L x x L i s i s Inicialização D = L - L s i x = L + 0,618 D i i 0,618 D x = L - 0,618 D s s 0,618 D

115 5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS 5.6.2 Problemas Multivariáveis Alguns métodos diretos: - Busca Aleatória - Busca por Malhas - Busca Secionada - Simplex (Poliedros Flexíveis) - Hooke & Jeeves Procedimento Geral: (a) seleção de um ponto inicial (base). (b) exploração da vizinhança da base para inferir uma direção de busca. (c) progressão na direção de busca até decisão em contrário. (d) finalização Os métodos diferem quanto à forma de executar a exploração e a progressão.

116 Método de Hooke & Jeeves
ALGORITMO Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável Escolher uma Base Repetir Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo) Se houve Sucesso em alguma direção Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso Senão (proximidade do ótimo): Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar Senão: reduzir os incrementos

117 ? + 2 ? - 1 ? + 1 Base ? - 2 Exploração
Testar a Função Objetivo em cada sentido (incrementos + i e - i) de cada direção (xi) ao redor da Base. Do resultado, depreender a direção provável do ótimo ? + 2 ? - 1 ? + 1 Base ? - 2 A Exploração não pode ser interrompida sem que todas as direções tenham sido testadas.

118 Funções unimodais: o sucesso num sentido dispensa o teste no outro.
Exploração Funções unimodais: o sucesso num sentido dispensa o teste no outro. S: Sucesso I: Insucesso S + 2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,1 0,3 0,5 y x S - 1 Sucesso Base I - 2 desnecessário buscando máximo

119 Exploração O Sucesso numa tentativa justifica a mudança da Base para a nova posição. A Exploração continua a partir desta melhor posição. S + 2 S - 1 Base I - 2

120 Progredir com duplo incremento até ocorrer um Insucesso
Método de Hooke & Jeeves : Fase de Progressão 22 Insucesso! Permanecer na Base (25) Progredir com duplo incremento até ocorrer um Insucesso x2 + 2 2 +2 1 Sucesso! Mover a Base. Continuar a Progressão 25 Exploração a partir da Base (25) com 1 e 2 . + 2 2 +2 1 15 +1 10 Base + 2 18 Resultado da Exploração x1

121 Senão: reduzir os incrementos Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar
A Base estará suficientemente próxima para ser declarada como o ótimo? Se todos os incrementos estiverem menores do que as tolerâncias, SIM!: Finalizar Se algum deles estiver maior, então este deve ser reduzido à metade. Inicia-se uma nova Exploração à volta da Base com os novos incrementos

122 Método dos poliedros flexíveis
É um método de busca multivariável (J.A. Nelder e R. Mead, 1964, também chamado de Simplex), onde o pior vértice de um poliedro com n + 1 vértices é substituído por um novo vértice colinear com o vértice antigo e o centróide. Centróide: onde xh,j é o pior vértice.

123 Método dos poliedros flexíveis
O algoritmo envolve quatro operações de busca, que para o caso da minimização da função objetivo têm as seguintes formas: onde é o melhor vértice. Expansão Reflexão Contração Redução

124 Método dos poliedros flexíveis
O critério usado por Nelder e Mead para terminar a busca é o seguinte:

125 DIMENSIONAMENTO POR SIMULAÇÕES SUCESSIVAS
EMPREGADO POR “SOFTWARES” COMERCIAIS Empregam, para dimensionamento, os módulos ordenados para simulação. Mas exige um procedimento de otimização: função objetivo (a ser minimizada): diferença, em valor absoluto, entre os valores obtidos para as variáveis de saída e os valores estipulados como metas variáveis de projeto: as dimensões dos equipamentos

126 Exemplo: Extrator FO = |x – 0,008| T oC W = 3.750 kgB/h
rafinado y = 0,032kg AB/kg B r = 0,60 extrato Q* = kgA/h xo*= 0,02 kg AB/kg A To oC Ts oC x* = 0,008 kgAB/kg A alimentação solvente Normal Simulações Sucessivas T oC W = ??? kgB/h rafinado y = kg AB/kg B extrato W = kgB/h Q* = kgA/h xo*= 0,02 kg AB/kg A To oC Ts oC x = ??? kgAB/kg A alimentação solvente FO = |x – 0,008|

127 Enunciado Formal do Problema
PROGRAMAÇÃO LINEAR Enunciado Formal do Problema max L(x) = 8,1 x1 + 10,8 x2 {x1, x2} s.a.: 0,80 x1 + 0,44 x2  ,05 x1 + 0,10 x2  ,10 x1 + 0,36 x2  x1  x2  0

128 x2 = L/10,8 – (8,1/10,8) x1 (família de retas)
Função Objetivo L(x) = 8,1 x1 + 10,8 x2 (linear) x2 = L/10,8 – (8,1/10,8) x1 (família de retas) 10 20 30 40 x1 (1.000 b/d) x2 L= L= L= L= L=81.000

129 3.7 REGIÃO VIÁVEL 0,80 x1 + 0,44 x2  (gasolina) 0,05 x1 + 0,10 x2  (querosene) ,10 x1 + 0,36 x2  (combustível) x1  0 x2  0 10 20 30 40 x1 (1.000 b/d) x2 A B C D E gasolina querosene óleo Qualquer ponto no interior ou sobre a fronteira da Região Viável é uma Solução Viável região convexa !

130 A Solução Ótima se localiza em pelo menos um dos Vértices da Região Viável
10 20 30 40 x1 (1.000 b/d) x2 A B C D E óleo querosene gasolina Solução (C): (14.000, ) (L = )

131 Como automatizar a busca pelo o vértice ótimo?
Busca Exaustiva Método do Ponto Interior Método dos Conjuntos Ativos

132 Métodos da busca exaustiva e dos conjuntos ativos
Ignorando os pontos interiores, restringindo a busca à fronteira da região viável e, na fronteira, restringindo a busca aos vértices. 10 20 30 40 x1 (1.000 b/d) x2 A B C D E óleo querosene gasolina Solução: (26.207, 6.897) (L= ) 81.000 (como???)

133 Para tanto, os passos são os seguintes:
1. Restringir a busca à fronteira da região viável Transformando as restrições de desigualdade em restrições de igualdade  variável de FOLGA 2. Restringir a busca, na fronteira, aos vértices Busca exaustiva: examinar todos os vértices das restrições explosão combinatória  Conjuntos Ativos: examinar os vértices da região viável método Simplex 

134 Incorporando as folgas fi às restrições de desigualdade
Max L(x) = 8,1 x1 + 10,8 x2 {x1, x2} s.a.: 0,80 x1 + 0,44 x2  (gasolina) ,05 x1 + 0,10 x2  (querosene) ,10 x1 + 0,36 x2  (combustível) x1  x2  0 Max L(x,f) = 8,1 x1 + 10,8 x2 {x1, x2} s.a.: 0,80 x1 + 0,44 x ,05 x1 + 0,10 x ,10 x1 + 0,36 x x1  x2  0 f1 = (gasolina) = (querosene) = (combustível) f2 f3

135 3.9 Algoritmo SIMPLEX (Dantzig, 1947)
O SIMPLEX parte da origem e visita vértices adjacentes na busca da solução ótima, invertendo sucessivamente o papel de 2 variáveis: uma do problema (básica) e uma de projeto (não-básica). Inverter os papéis de duas variáveis, consiste em reescrever o sistema de equações em termos de uma outra base.

136 = 24.000 (gasolina) = 2.000 (querosene) = 6.000(combustível)
A mudança de base é executada aplicando o Algoritmo de Gauss-Jordan à Matriz Aumentada (Tableau) do sistema de equações lineares. 0,80 x1 + 0,44 x ,05 x1 + 0,10 x ,10 x1 + 0,36 x2 + L(x) = 8,1 x1 + 10,8 x2 f1 f2 f3 = (gasolina) = (querosene) = (combustível) x1 x2 f1 f2 f3 b 0,80 0,44 1 24.000 0,05 0,10 2.000 0,1 0,36 6.000 8,10 10,80 L O Lucro é incluído na matriz para que os seus coeficientes sofram as mesmas transformações e fique expresso automaticamente na nova base.

137 Critério para a troca de papéis (PIVOTAMENTO)
Projeto  Problema Identifica-se a variável de projeto de maior coeficiente positivo na expressão do Lucro (a que mais contribui para o aumento do Lucro). OBS: coeficiente mais negativo no caso de minimização. L(x) = 8,1 x1 + 10,8 x2 : x1 = x2 = 0  L = 0 aumento em x2  contribui mais para o aumento de L Problema  Projeto Identifica-se o menor valor positivo de b/a, sendo b o vetor dos termos independentes (coluna da direita) e a o vetor dos coeficientes na coluna da variável de projeto escolhida acima. (corresponde a restrição mais próxima ao aumentar a variável de projeto)

138 Nenhuma para entrar  FIM
x1 x2 f1 f2 f3 0,14 4,21 1 897 1,72 -7,59 26.207 -0,86 13,79 6.897 -4,66 -87,52 L Ponto D Com f1 = f2 = 0 L = Projeto  Problema Identifica-se a variável de projeto de maior coeficiente POSITIVO na expressão do Lucro (a que mais contribui para o aumento do Lucro) Nenhuma para entrar  FIM

139 Ponto D Com f1 = f2 = 0 0,14 4,21 1 x1 897 1,72 -7,59 x2 26.207 -0,86 13,79 f1 = 6.897 -4,66 -87,52 f2 L f3 x1= x2 = f3 = 897 L =

140 Solução: Ponto D x1= 26. 207 x2 = 6. 897 gasolina = 24
Solução: Ponto D x1= x2 = gasolina = (f1 = 0) querosene = (f2 = 0) óleo = (f3 = 897) L = 10 20 30 40 x1 (1.000 b/d) x2 A B C D E óleo querosene gasolina 81.000

141 Análise de Sensibilidade
Pode ser efetuada através dos valores implícitos (“shadow prices” ou “custos marginais”) dos produtos, que aparecem na última linha do Tableau Final, com sinal trocado. Corresponde aos multiplicadores de Lagrange das restrições ativas. x1 x2 f1 f2 f3 0,14 4,21 1 897 1,72 -7,59 26.207 -0,86 13,79 6.897 -4,66 -87,52 L bL = - Por ex.: um aumento de 100 b/d de gasolina (restrição ativa f1) implicaria em um aumento de 100 * 4,66 = 466 $/d no lucro da unidade.

142 Ou seja, cada b/d produzido de gasolina contribui internamente com 4,66 $/d para o lucro, enquanto que seu preço de venda no mercado externo é de 36 $/b.

143 Métodos do Ponto Interior
Restringe a busca aos pontos interiores da região viável. 10 20 30 40 x1 (1.000 b/d) x2 A B C D E óleo querosene gasolina Solução: (26.207, 6.897) (L= ) 81.000 (como???)

144 3.10 Algoritmo de Karmarkar (1984, Dikin, 1967)
max {f(x) = cT x} {x} sujeito a: A x  b x  0 origem  d dp dr  Aplica uma projeção do vetor direção (d = f = c) no espaço nulo das restrições transformadas em igualdade. A busca segue então na direção projetada até as proximidades de uma restrição, obtendo o ponto xk.

145 O problema é então normalizado por:
xk+1 = D1 x , onde D = diag(xk) e reformulado para que o ponto de partida do próximo estágio esteja eqüidistante de todos os hiperplanos que formam o poliedro (ou seja, o centróide): A x = A DD1 x = A D xk+1 f(x) = cT DD1 x = cT D xk+1 resultando no novo problema: max f(x) = cT D x {x} sujeito a: A D x  b x  0 Repetindo o procedimento até a convergência.

146 Algoritmo de Karmarkar
max {f(x) = cT x} {x} sujeito a: A x  b x  0 Entrada: A, b, c, x0, critério de parada e 