Sistemas Lineares Fatoração LU

Apresentação em tema: "Sistemas Lineares Fatoração LU"— Transcrição da apresentação:

1 Sistemas Lineares Fatoração LU

2 Um Pouco de História Johann Carl Friedrich Gauss (ou Gauß) foi um matemático, astrônomo e físico alemão. Conhecido como o príncipe dos matemáticos, muitos o consideram o maior gênio da história da matemática. Seu QI foi estimado em cerca de 240. Gauss não encontrou nenhum colaborador entre os seus colegas matemáticos tendo trabalhado sempre sozinho. Mas, se é verdade que o seu isolamento relativo, a sua compreensão das matemáticas puras e aplicadas, a sua preocupação com a astronomia e o uso freqüente que faz do latim têm a marca do século XVIII, é inegável que, nos seus trabalhos, se reflete o espírito de um novo período. Se, tal como os seus contemporâneos Kant, Goethe, Beethoven e Hegel, se manteve à margem das grandes lutas políticas da sua época, a verdade é que, no seu próprio campo, Gauss expressou as novas idéias da sua época de uma forma muito poderosa.

3 As suas publicações, a sua abundante correspondência, as suas notas, e os seus manuscritos mostram que ele possuía uma das maiores virtuosidades científicas de todos os tempos. No ano de 1801 Carl Friedich Gauss utilizou o método para calcular a órbita do asteróide Ceres com pouquíssimas informações (anotações do astrônomo siciliano Giuseppe Piazzi quem batizou o asteróide com o nome ao observar- lo pela primeira vez). O trabalho de Gauss causou sensação quando Ceres reapareceu na constelação de virgem, local aproximado aos seus cálculos. Uma versão preliminar da eliminação de Gauss apareceu pela primeira vez no livro chinês “Nove Capítulo de Artes Matemática”. Até então o poder do método não tinha sido reconhecido. Mais tarde o método foi popularizado quando Willian Jordan (engenheiro alemão) em 1888 publicou no seu livro de geodésica intitulado “Handbuch der Vermessungskund”.

4 Embora as idéias tenham sido conhecidas antes, muitos vezes o credito pela popularização da decomposição LU é atribuída ao lógico e matemático britânico Alan Turing (precursor do computador), pelo seu trabalho de nesse assunto. Ao final dos anos 1970, a Fundação Nacional de Ciências e o Departamento de Energia dos EUA financiaram o desenvolvimento de rotinas computacionais para inverter matrizes e resolver sistemas de equações lineares. Aquele pesquisa levou a um conjunto de programas Fortran chamada LINPAC que são uma referencia para muitos algoritmos computacionais de hoje. Inclusive o chamado MATLAB. As rotinas LIMPAC estão organizadas em torno de quatro fatorações de matrizes, uma das quais é a decomposição LU. C.B. Moler, J.J. Dongarra, G.W. Stewart e J.R. Brunch, os principais programadores do LINPAC, basearam muitas de suas idéias no trabalho de Jemes Boyle e Kenneth Dritz, do Laboratório Argonne (nos EUA).

5 Resolução de Sistemas Lineares
Métodos numéricos Métodos Iterativos ou Indiretos Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Exatos ou Diretos Método de Eliminação de Gauss Fatoração LU

6 Fatoração (Decomposição) LU
Seja o sistema linear Ax = b. O processo de fatoração para resolução deste sistema consiste em decompor a matriz A dos coeficientes em um produto de dois ou mais fatores e, em seguida, resolver uma seqüência de sistemas lineares que nos conduzirá à solução do sistema linear original. Por exemplo, se pudermos realizar a decomposição: A = CD, o sistema linear Ax = b, pode ser escrito: (CD)x = b Se y = Dx, então resolver o sistema linear Ax = b é equivalente a resolver o sistema linear Cy = b, e em seguida, o sistema linear Dx = y.

7 Decomposição LU A vantagem dos processos de fatoração é que podemos resolver qualquer sistema linear que tenha A como matriz de coeficientes. Se o vetor b for alterado, a resolução do novo sistema linear será quase que imediata. A fatoração LU é um dos processos de fatoração mais empregados. Nesta fatoração a matriz L é triangular inferior com diagonal unitária e a matriz U é triangular superior.

8 Esquema Prático para a Fatoração LU
Observe que teoricamente: Para obtermos as matrizes L e U, devemos calcular a inversa de Lk−1 e Uk−1. Entretanto na prática podemos calcular L e U simplesmente aplicando a definição de produto e de igualdade de matrizes, isto é, impondo que LU = A.

9 Esquema Prático para a Fatoração LU
Seja então: LU = e a matriz A =

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11 Esquema Prático para a Fatoração LU
Para obtermos os elementos da matriz L e da matriz U devemos calcular os elementos das linhas de U e os elementos da colunas de L na seguinte ordem: 1ª linha de U: Fazendo o produto da 1ª linha de L por todas as colunas de U e igualando com os elementos da 1ª linha de A, obtemos,

12 Esquema Prático para a Fatoração LU
1ª coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L, (da 2ª a até a nª), pela 1ª coluna de U e igualando com os elementos da 1ª coluna de A, (abaixo da diagonal principal), obtemos ,

13 Esquema Prático para a Fatoração LU
2ª linha de U: Fazendo o produto da 2ª linha de L por todas as colunas de U, (da 2ª até a nª), e igualando com os elementos da 2ª linha de A, ( da diagonal principal em diante), obtemos ,

14 Esquema Prático para a Fatoração LU
2ª coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L (da 3ª até a nª) pela 2ª coluna de U e igualando com os elementos da 2ª coluna de A, (abaixo da diagonal principal), obtemos ,

15 Esquema Prático para a Fatoração LU
Se continuarmos calculando 3ª linha de U, 3ª coluna de L, 4ª linha de U, 4ª coluna de L, etc . . ., teremos as fórmulas gerais:

16 Aplicação à Solução de Sistemas Lineares
Seja o sistema Ax = b de ordem n determinado, onde A satisfaz as condições da fatoração LU. Então o sistema Ax = b pode ser escrito como: LUx = b. Transformamos o sistema linear Ax = b no sistema equivalente LUx = b cuja solução é facilmente obtida. Fazendo Ux = y, a equação acima reduz-se a Ly = b. Resolvendo o sistema triangular inferior Ly = b, obtemos o vetor y. Substituindo o valor de y no sistema Ux = y obtemos um sistema triangular superior cuja solução é o vetor x que procuramos. Assim, a aplicação da fatoração LU na resolução de sistemas lineares requer a solução de dois sistemas triangulares.

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19 Bibliografia ANTON, H. & BUSBY, R. Algebra Linear Contemporânea. Editora Bookman. Porto Alegre RUGGIERO, M.G. & LOPES, V.L.R. Cálculo Numérico – Aspectos Computacionais, Pearson Education. São Paulo

20 Grupo 1: Adriana Ferreira Carlos Eduardo Cláudio Mandacaru Michael Ferreira Roberto Medeiros Rúbia Mayra